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1、第十二章全等三角形12.3 12.3 角平分线的性质角平分线的性质12.3第第1课时课时角平分线的性质角平分线的性质第十二章全等三角形第1课时角平分线的性质A 知识要点分类练B 规律方法综合练C 拓广探究创新练第1课时角平分线的性质A 知识要点分类练知识点知识点 1 1角的平分线的画法角的平分线的画法1 1作作AOBAOB 的平分线时，以点的平分线时，以点 O O 为圆心，某一长度为半径作弧，为圆心，某一长度为半径作弧，与与 OAOA，OBOB 分别交于点分别交于点 C C，D D，然后分别以点，然后分别以点 C C，D D 为圆心，适当的长为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这
2、个适当的长度为度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为( ( A A ) ) 1 11 1A A大于大于 CD BCD B等于等于 CD CD 2 22 21 1C C小于小于 CD DCD D以上选项都不对以上选项都不对 2 2第1课时角平分线的性质2 2用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图 12123 31 1 所所示，则能说明示，则能说明AOCAOCBOCBOC 的依据是的依据是( ( A A ) ) 图图 12123 31 1 A ASSS BSSS BASA ASA C CAAS DAAS D角平分线上的点到角两边的距离相等角平分
3、线上的点到角两边的距离相等 第1课时角平分线的性质【解析】【解析】连接连接 NCNC，MCMC，根据角的平分线的作法可知，在，根据角的平分线的作法可知，在OCMOCM 和和OCNOCN 中，中，OMOMONON，MCMCNCNC，OCOC 是公共边，故可由是公共边，故可由“SSSSSS”得出得出OCMOCMOCNOCN，进而说明，进而说明AOCAOCBOC. BOC. 第1课时角平分线的性质3 3如图如图 12123 32 2，作，作 的补角，然后再画补角的平分的补角，然后再画补角的平分线线( (不写作法，保留作图痕迹不写作法，保留作图痕迹 ) ) 图图 12123 32 2 解：解：如图所示
4、如图所示 第1课时角平分线的性质知识点知识点 2 2角的平分线的性质角的平分线的性质4 420172017台州如图台州如图 12123 33 3，P P 是是AOBAOB 的平分线的平分线 OCOC 上一点，上一点，PDPDOBOB，垂足为，垂足为 D D，若，若 PDPD2 2，则点，则点 P P 到边到边 OAOA 的距离是的距离是( ( B B ) ) 图图 12123 33 3 A A1 B1 B2 C.2 C. 3 D3 D4 4 第1课时角平分线的性质【解析】【解析】如图过点如图过点 P P 作作 PEPEOAOA 于点于点 E E，P P 是是AOBAOB 的平分线的平分线 OC
5、OC 上一点，上一点，PDPDOBOB，PEPEOAOA，PEPEPDPD2. 2. 第1课时角平分线的性质5 5 如图如图 12123 34 4 所示，所示， 在在ABCABC 中，中， ACBACB9090， BEBE 平分平分ABCABC，EDEDABAB 于点于点 D D，如果，如果 ACAC3 3，那么，那么 AEAEDEDE 等于等于( ( B B ) ) 图图 12123 34 4 A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5 5 【解析】【解析】由由 BEBE 平分平分ABCABC，ACBACB9090，EDEDABAB 可判定可判定 CECEDEDE，故，故 AEAEDEDE
6、AEAECECEACAC3. 3. 第1课时角平分线的性质6 6如图如图 12123 35 5 所示，所示，在在ABCABC 中，中，C C9090，ADAD 平分平分BACBAC，2 215 cm15 cm交交 BCBC 于点于点 D.D.已知已知 ABAB10 10 cmcm，CDCD3 3 cmcm，则则ABDABD 的面积为的面积为_ 图图 12123 35 5 【解析】【解析】可由可由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得得ABDABD 中中 ABAB1 12 2边上的高等于边上的高等于 3 cm3 cm，S SABDABD 10103 315
7、(cm15(cm ) ) 2 2第1课时角平分线的性质7 7如图如图 12123 36 6，OPOP 平分平分MONMON，PAPAONON 于点于点 A A，Q Q 是射线是射线 OMOM2 2上的一个动点若上的一个动点若 PAPA2 2，则，则 PQPQ 的最小值为的最小值为_ 图图 12123 36 6 【解析】【解析】当当 PQPQOMOM 时，时，PQPQ 最小根据角的平分线的性质，可知此时最小根据角的平分线的性质，可知此时 PQPQPAPA2. 2. 第1课时角平分线的性质8 8如图如图 12123 37 7，在，在 ABCABC 中，中， ADAD 平分平分 BACBAC，D D
8、 是是 BCBC 的中点，的中点，DEDEABAB 于点于点 E E，DFDFACAC 于点于点 F.F.求证：求证： B B C. C. 图图 12123 37 7 第1课时角平分线的性质证明：证明：ADAD 平分平分BACBAC，DEDEABAB，DFDFACAC， DEDEDFDF，BEDBEDCFDCFD9090. . D D 是是 BCBC 的中点，的中点，BDBDCD. CD. 在在 RtRtBDEBDE 和和 RtRtCDFCDF 中，中， DEDEDFDF，DBDBDCDC， RtRtBDEBDERtRtCDF(HL)CDF(HL)， B BC. C. 第1课时角平分线的性质B
9、 规律方法综合练9 9如图如图12123 38 8，OPOP 平分平分 AOBAOB ，PAPAOAOA，PBPBOBOB，垂足分别，垂足分别为为 A A，B.B.下列结论中不一定成立的是下列结论中不一定成立的是( ( D D ) ) 图图 12123 38 8 A APAPAPB BPB B POPO 平分平分 APB APB C COAOAOB DOB D ABAB 垂直平分垂直平分OP OP 第1课时角平分线的性质【解析】【解析】由角的平分线的性质可得由角的平分线的性质可得 PAPAPBPB；再由；再由 RtRtOAPOAPRtRtOBPOBP 可得可得POPO 平分平分APBAPB，所
10、以，所以 OAOAOBOB；只有；只有 D D 项不一定成立项不一定成立 第1课时角平分线的性质1010如图如图 12123 39 9，在，在 ADAD 是是BACBAC 的平分线，的平分线，DEDEABAB 交交 ABAB 于于点点 E E，DFDFACAC 交交 ACAC 于点于点 F.F.若若 S SABCABC7 7，DEDE2 2，ABAB4 4，则，则ACAC 的长的长为为( ( B B ) ) 图图 12123 39 9 A A4 B4 B3 C3 C6 D6 D5 5 第1课时角平分线的性质【解析】【解析】ADAD 是是BACBAC 的平分线，的平分线，DEDEABAB，DFD
11、FACAC， DEDEDFDF2. 2. 1 1ABAB4 4，S SABDABD 4 42 24. 4. 2 2S SABCABC7 7，S SACDACD3 3， 3 32 2ACAC3.3.故选故选 B. B. 2 2第1课时角平分线的性质1111如图如图12123 31010，在，在 ABCABC 中，中， BCBCACAC， C C9090， ADAD 平平分分 CABCAB ， DEDE ABAB ，垂足为，垂足为E E， ABAB 12 cm12 cm ，那么，那么BDEBDE的周长为的周长为1212_cm. _cm. 图图 12123 310 10 第1课时角平分线的性质【解析
12、】【解析】C C9090，ADAD 平分平分CABCAB，DEDEABAB， DEDECD. CD. 易证易证 RtRtACDACDRtRtAEDAED， ACACAE. AE. 又又BCBCACAC，BCBCAEAE， BDEBDE 的周长的周长BDBDDEDEBEBEBDBDCDCDBEBEBCBCBEBEAEAEBEBEABAB12 cm. 12 cm. 故答案为故答案为 12. 12. 第1课时角平分线的性质1212如图如图 12123 31111，ADADBCBC，ABCABC 的平分线的平分线 BPBP 与与BADBAD 的平的平分线分线 APAP 相交于点相交于点 P P，过点，
13、过点 P P 作作 PEPEABAB 于点于点 E.E.若若 PEPE2 2，则两平行线，则两平行线4 4ADAD 与与 BCBC 间的距离为间的距离为_ 图图 12123 311 11 第1课时角平分线的性质【解析】【解析】过点过点 P P 作作 MNMNADAD 于点于点 M M，交，交 BCBC 于点于点 N. N. ADADBCBC， MNMNBC. BC. BPBP 是是ABCABC 的平分线，的平分线， PNPNPEPE2. 2. APAP 是是BADBAD 的平分线，的平分线， PMPMPEPE2 2， ADAD 与与 BCBC 之间的距离是之间的距离是 4. 4. 第1课时角平
14、分线的性质1313如图如图 12123 31212 所示，已知所示，已知 OEOE 平分平分 AOBAOB，BCBCOAOA 于点于点 C C，ADADOBOB 于点于点 D.D.求证：求证： EAEAEB. EB. 图图 12123 312 12 第1课时角平分线的性质证明：证明：OEOE 平分平分AOBAOB，BCBCOAOA，ADADOBOB， ECECEDED，ACEACEBDEBDE9090. . 在在ACEACE 和和BDEBDE 中，中， ?ACEACEBDEBDE，?ECECEDED， ?CEACEADEBDEB，ACEACEBDE(ASA)BDE(ASA)， EAEAEB.
15、EB. 第1课时角平分线的性质1414如图如图 12123 31313，BDBD 为为ABCABC 的平分线，的平分线， ABABBCBC，点，点 P P 在在 BDBD上，上，PMPMADAD 于点于点 M M，PNPNCDCD 于点于点 N. N. 求证：求证： PMPMPN. PN. 图图 12123 313 13 第1课时角平分线的性质证明：证明：BDBD 为为ABCABC 的平分线，的平分线， ABDABDCBD. CBD. ?ABABCBCB，?在在ABDABD 和和CBDCBD 中，中，?ABDABDCBDCBD， ?BDBDBDBD，ABDABDCBD(SAS)CBD(SAS)
16、， ADBADBCDB. CDB. 点点 P P 在在 BDBD 上，上，PMPMADAD，PNPNCDCD， PMPMPN. PN. 第1课时角平分线的性质1515某同学这样画某同学这样画AOBAOB 的平分线：如图的平分线：如图 12123 31414 所示，分别在所示，分别在OAOA，OBOB 上截取上截取 OCOCODOD，OEOEOFOF，连接，连接 DEDE，CFCF，设，设 DEDE，CFCF 相交于点相交于点 P P，过点过点 P P作射线作射线 OPOP， 则则 OPOP 平分平分AOB.AOB.你认为他的画法正确吗？如果正确，你认为他的画法正确吗？如果正确，请说明理由；如果
17、不正确，请加以改正请说明理由；如果不正确，请加以改正 图图 12123 314 14 第1课时角平分线的性质解：解： 这位同学的画法是正确的理由如下：在这位同学的画法是正确的理由如下：在EODEOD 和和FOCFOC 中，中，?ODODOCOC，?EODEODFOCFOC，EODEODFOC(SAS)FOC(SAS)， ?OEOEOFOF，OEPOEPOFP.OFP.OCOCODOD，OEOEOFOF，CECEDF. DF. ?CPECPEDPFDPF，?在在CEPCEP 和和DFPDFP 中，中，?CEPCEPDFPDFP， ?CECEDFDF，CEPCEPDFP(AAS)DFP(AAS)，
18、PEPEPF. PF. 第1课时角平分线的性质?OEOEOFOF，?在在EPOEPO 和和FPOFPO 中，中，?POPOPOPO， ?PEPEPFPF，EPOEPOFPO(SSS)FPO(SSS)， EOPEOPFOPFOP，即，即 OPOP 平分平分AOB.AOB. 第1课时角平分线的性质新知梳理C 拓广探究创新练1616如图如图 12123 31515，P P 为为ABCABC 的平分线上的一点，点的平分线上的一点，点D D 和点和点 E E分别在分别在 ABAB 和和 BCBC 上，且上，且 BDBEBDBE，PDPDPEPE，试探究，试探究 BDPBDP 与与BEPBEP 的数量的数
19、量关系，并给予证明关系，并给予证明 图图 12123 315 15 第1课时角平分线的性质解：解：BDPBDPBEPBEP180180. . 证明：过点证明：过点 P P 作作 PMPMABAB 于点于点 M M，PNPNBCBC 于点于点 N. N. 由角平分线的性质，得由角平分线的性质，得 PMPMPN. PN. 在在 RtRtDPMDPM 和和 RtRtEPNEPN?PDPDPEPE，中，中，? ?PMPMPNPN，RtRtDPMDPMRtRtEPN(HL)EPN(HL)， ADPADPBEP. BEP. BDPBDPADPADP180180， BDPBDPBEPBEP180180. .
