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1、习题 3 3-1原长为m5.0的弹簧,上端固定,下端挂一质量为kg1.0的物体,当物体静止时,弹簧长为m6.0现将物体上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,以放手时开始计时,取竖直向下为正向,写出振动式。(g 取 9.8)解:振动方程:cos()xAt,在本题中,kxmg,所以9.8k;9.8980.1km。取竖直向下为x 正向,弹簧伸长为0.1m 时为物体的平衡位置,所以如果使弹簧的初状态为原长,那么:A=0.1m,当 t=0 时, x=-A,那么就可以知道物体的初相位为 。所以:0.1cos98xt()即:0.1cos(98 )xt。3-3一质点沿x轴作简谐振动,振幅为cm12,周期为s2。当
2、0t时,位移为cm6,且向x轴正方向运动。求: (1)振动表达式; (2)s5. 0t时,质点的位置、速度和加速度; (3)如果在某时刻质点位于cm6x,且向x轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解: ( 1)由题已知A=0.12m,T=2 s ,2T又 t=0 时,06xcm,00v,由旋转矢量图,可知:3故振动方程为:0.12cos3xtm();(2)将 t=0.5 s 代入得:0.12cos0.12cos0.10436xtm(),0.12 sin0.12cos0.188/36vtm s(),2220.12cos0.12cos1.03/36atm s(),方向指向坐标原点,即
3、沿x 轴负向;(3)由题知,某时刻质点位于6cm2Ax,且向x轴负方向运动,如图示,质点从P位置回到平衡位置Q处需要走32,建立比例式:2tT,Px2A3Q有:56ts。3-4两质点作同方向、 同频率的简谐振动,振幅相等。 当质点 1 在2/1Ax处,且向左运动时,另一个质点2在2/2Ax处,且向右运动。求这两个质点的位相差。解:由旋转矢量图可知:当质点 1 在2/1Ax处,且向左运动时,相位为3,而质点 2 在2/2Ax处,且向右运动,相位为43。所以它们的相位差为。3-5当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?解:由212
4、PEk x,212kEmv,有:221cos ()2PEk At,2222211sin ()sin ()22kEmAtk At,(1)当2Ax时,由cos()xAt,有:1cos()2t,3sin()2t,14PEE,34kEE;(2)当12PkEEE时,有:22cos ()sin ()tt1cos()2t,20.7072xAA。3-9沿一平面简谐波的波线上,有相距2.0m的两质点A与B,B点振动相位比A点落后6,已知振动周期为2.0s,求波长和波速。解:根据题意,对于A、B 两点,mx2612,而相位和波长之间满足关系:221212xxx,代入数据,可得:波长=24m。又T=2s,所以波速1
5、2/um sT。3-10已知一平面波沿x轴正向传播,距坐标原点O为1x处P点的振动式为)cos( tAy,波速为u,求:(1)平面波的波动式;(2)若波沿x轴负向传播,波动式又如何? 解: ( 1)设平面波的波动式为0cosxyAtu(),则P点的振动式为:10cosPxyAtu(),与题设P点的振动式cos()PyAt比较,有:10xu,平面波的波动式为:1cos()xxyAtu;(2)若波沿x轴负向传播,同理,设平面波的波动式为:0cosxyAtu(),则P点的振动式为:10cosPxyAtu(),与题设P点的振动式cos()PyAt比较,有:10xu,平面波的波动式为:1cos ()xx
6、yAtu。3-11 一 平 面 简 谐 波 在 空 间 传 播 , 如 图 所 示 , 已 知A点 的 振 动 规 律 为cos(2)yAt,试写出:(1)该平面简谐波的表达式;(2)B点的振动表达式(B点位于A点右方d处) 。解: ( 1)仿照上题的思路,根据题意,设以O点为原点平面简谐波的表达式为:0cos2xyAtu(),则A点的振动式:0cos2AlyAtu()题设A点的振动式cos(2)yAt比较,有:02lu,该平面简谐波的表达式为:2cos)(uxultAy(2) B 点的振动表达式可直接将坐标xdl,代入波动方程:2cos2cos)()(udtAuldultAy3-12 已知一
7、沿x正方向传播的平面余弦波,s31t时的波形如图所示,且周期T为s2。(1)写出O点的振动表达式;(2)写出该波的波动表达式;(3)写出A点的振动表达式;(4)写出A点离O点的距离。解:由图可知:0.1Am,0.4m,而2Ts,则:/0.2/uTm s,2T,25k,波动方程为:00.1cos(5)ytxO点的振动方程可写成:00.1cos()Oyt由图形可知:s31t时:0.05Oy,有:00.050.1cos()3考虑到此时0Od yd t,03,53(舍去)那么:(1)O点的振动表达式:0.1cos()3Oyt;(2)波动方程为:0.1cos(5)3ytx;(3)设A点的振动表达式为:0
8、.1cos()AAyt由图形可知:s31t时:0Ay,有:cos()03A考虑到此时0Ad yd t,56A(或76A)A 点的振动表达式:50.1cos()6Ayt,或70.1cos()6Ayt;(4)将 A 点的坐标代入波动方程,可得到A 的振动方程为:0.1cos(5)3AAytx,与( 3)求得的A 点的振动表达式比较,有:5563Attx,所以:mxA233.0307。3-13一平面简谐波以速度m/s8.0u沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出:(1)原点的振动表达式;(2)波动表达式;(3)同一时刻相距m1的两点之间的位相差。解:这是一个振动图像!由图可知A=0.5cm,设原点处的振动方程为:305 10cos()Oyt。(1)当0t时,302.5 10Oty,考虑到:00Otd yd t,有:03,当1t时,10Oty,考虑到:10Otd yd t,有:32,56,原点的振动表达式:355 10cos()63Oyt;(2)沿x轴负方向传播,设波动表达式:355 10cos()63ytk x而512460.825ku,35245 10cos()6253ytx;(3)位相差:2523.2724xk xrad。