《高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程课件 新人教A版选修22》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程课件 新人教A版选修22（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程 主题主题1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积1.1.试列举几个目前为止能求面积的平面图形，并说明试列举几个目前为止能求面积的平面图形，并说明是什么方法？是什么方法？提示：提示：如图三角形，正方形，梯形，平行四边形，不如图三角形，正方形，梯形，平行四边形，不规则四边形，圆等都可利用公式求出面积规则四边形，圆等都可利用公式求出面积. .2.2.圆的面积如何推导的？圆的面积如何推导的？提示：提示：可把圆通过分割的方法转化为三角形面积求解，可把圆通过分割的方法转化为三角形面积求解，如图，易知分割越细，所求三角形面积的和越接近
2、圆如图，易知分割越细，所求三角形面积的和越接近圆的面积的面积. .3.3.在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成在实际生活中，经常会遇见一些不规则的曲边围成的平面图形的平面图形( (如图蔬菜大棚的横截面如图蔬菜大棚的横截面) )，这种图形的面，这种图形的面积如何求呢？积如何求呢？提示：提示：可以对截面图形进行分割，分割越细所得小图可以对截面图形进行分割，分割越细所得小图形越接近矩形，然后对每个小形越接近矩形，然后对每个小“矩形矩形”求面积，再求求面积，再求和和. .结论：结论：1.1.曲边梯形的含义曲边梯形的含义它有三条边是直线，其中两条互相平行，第三条与前它有三条边是直线，其中两条互相
3、平行，第三条与前两条互相垂直，第四条边是一条曲线的一段弧，它与两条互相垂直，第四条边是一条曲线的一段弧，它与任一条平行于它的邻边的直线至多只交于一点任一条平行于它的邻边的直线至多只交于一点. .2.2.求面积方法求面积方法将曲边梯形沿与曲边对应的直线边将其分割成无数个将曲边梯形沿与曲边对应的直线边将其分割成无数个小长方形条，然后通过求小长方形条，然后通过求_近似近似代替曲边梯形的面积代替曲边梯形的面积. .所有长方形条面积之和所有长方形条面积之和【微思考微思考】利用利用“以直代曲以直代曲”思想求曲边梯形的面积时，是否必思想求曲边梯形的面积时，是否必须等分自变量的取值区间？须等分自变量的取值区间
4、？提示：提示：不一定不一定. .等分的目的仅是为了便于计算等分的目的仅是为了便于计算. .主题主题2 2 求汽车行驶的路程求汽车行驶的路程1.1.比较求曲边梯形的面积是把曲边梯形分割成比较求曲边梯形的面积是把曲边梯形分割成n n个矩形个矩形求和，再取极限得到，求变速运动的汽车行驶的路程求和，再取极限得到，求变速运动的汽车行驶的路程是如何处理的？是如何处理的？提示：提示：把整个路程分割为把整个路程分割为n n个时间段，在每一段上近似个时间段，在每一段上近似看作是匀速运动来求和，再取极限看作是匀速运动来求和，再取极限. .2.2.求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积的思想方法求汽车行驶的路程与求曲边
5、梯形的面积的思想方法和步骤相同吗？和步骤相同吗？提示：提示：相同相同. .结论：结论：变速直线运动的路程的求解方法以变速直线运动的路程的求解方法以“_”的方的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求_问题问题. .即将区间即将区间a,ba,b等分成等分成n n个区间，个区间，在每个小区间上，由于在每个小区间上，由于v(tv(t) )的变化很小，可以认为汽的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得间上行驶路程的近似值，再求和得s s的近似值，最后让的近似
6、值，最后让n n趋向无穷大就得到趋向无穷大就得到s s的精确值的精确值. .不变代变不变代变匀速直匀速直线运动的路程线运动的路程【微思考微思考】求汽车行驶的路程可以用求曲边梯形面积的方法和步求汽车行驶的路程可以用求曲边梯形面积的方法和步骤，那变力做功能否用这种方法？骤，那变力做功能否用这种方法？提示：提示：可以，步骤相同可以，步骤相同. .【预习自测预习自测】1.1.下列函数在下列函数在R R上不是连续函数的是上不是连续函数的是( )( )A.yA.y=x=x2 2 B.yB.y=|x| =|x| C.yC.y= = D.yD.y= = 【解析解析】选选D.D.对于函数对于函数y= y= ，当
7、，当x=0x=0时函数无意义时函数无意义. .2.2.和式和式 (y(yi i+1)+1)可表示为可表示为( )( )A.(yA.(y1 1+1)+(y+1)+(y5 5+1) B.y+1) B.y1 1+ +y y2 2+y+y3 3+y+y4 4+y+y5 5+1+1C.yC.y1 1+ +y y2 2+y+y3 3+y+y4 4+y+y5 5+5 D.(y+5 D.(y1 1+1)(+1)(y y2 2+1)+1)(y(y5 5+1)+1)【解析解析】选选C. (yC. (yi i+1)=(y+1)=(y1 1+1)+(y+1)+(y2 2+1)+(y+1)+(y3 3+1)+1)+(y
8、(y4 4+1)+(y+1)+(y5 5+1)=y+1)=y1 1+y+y2 2+y+y3 3+y+y4 4+y+y5 5+5.+5.3.3.在在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(xf(x) )在区间在区间x xi i，x xi+1i+1上上的近似值等于的近似值等于( )( )A.A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值f(xf(xi i) )B.B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值f(xf(xi+1i+1) )C.C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值f(f(i i)()(i ix xi i，x xi+1i+1) )D.D.以上答案均不正确以上答案均不
9、正确【解析解析】选选C.C.由求曲边梯形面积的由求曲边梯形面积的“近似代替近似代替”知，知，C C正确正确. .4.4.一辆汽车做变速直线运动，汽车的速度一辆汽车做变速直线运动，汽车的速度v(v(单位：单位：m/sm/s) )与时间与时间t(t(单位：单位：s)s)之间具有如下函数关系：之间具有如下函数关系：v(tv(t) ) 6t.6t.求汽车在求汽车在0t20t2这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程s s时，将时，将行驶时间等分成行驶时间等分成n n段，下列关于段，下列关于n n的取值中，所得估计的取值中，所得估计值最精确的是值最精确的是( )( )A.5 B.10 C.20 D.50
10、A.5 B.10 C.20 D.50【解析解析】选选D.D.将行驶时间等分得越细，得到的估计值将行驶时间等分得越细，得到的估计值越精确越精确. .类型一类型一 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积【典例典例1 1】(1)(1)由直线由直线x=1x=1，y=0y=0，x=0x=0和曲线和曲线y=xy=x3 3所围成所围成的曲边梯形，将区间的曲边梯形，将区间4 4等分，则曲边梯形面积的近似值等分，则曲边梯形面积的近似值( (取每个区间的右端点函数值取每个区间的右端点函数值) )是是( )( )(2)(2017(2)(2017惠州高二检测惠州高二检测) )求由抛物线求由抛物线y=2xy=2x2 2与直线
11、与直线x=0x=0，x=x=t(tt(t0)0)，y=0y=0所围成的曲边梯形的面积时，将区间所围成的曲边梯形的面积时，将区间0 0，t t等分成等分成n n个小区间，则第个小区间，则第i-1i-1个区间为个区间为( )( )【解题指南解题指南】(1)(1)利用四个矩形的面积近似代替利用四个矩形的面积近似代替. .(2)(2)可先利用分割的方法求出第可先利用分割的方法求出第i i个小区间再确定第个小区间再确定第i-1i-1个小区间个小区间. .【解析解析】(1)(1)选选D. D. (2)(2)选选D.D.在在0 0，t t上等间隔插入上等间隔插入(n-1)(n-1)个分点，把区个分点，把区间
12、间0 0，t t等分成等分成n n个小区间，每个小区间的长度均个小区间，每个小区间的长度均为为 ，故第，故第i-1i-1个区间为个区间为 【延伸探究延伸探究】1.1.本例本例(1)(1)中的曲边梯形的面积为中的曲边梯形的面积为 . .【解析解析】将区间将区间0,10,1等分成等分成n n个小区间后取每个小个小区间后取每个小区间的右端点函数值所求得的和为区间的右端点函数值所求得的和为取极限得曲边梯形的面积为取极限得曲边梯形的面积为 2.2.本例本例(1)(1)中，若取每个区间的左端点函数值，不经过中，若取每个区间的左端点函数值，不经过计算，比较两个近似值的大小计算，比较两个近似值的大小. .【解
13、析解析】因为函数因为函数y=xy=x3 3在区间在区间0,10,1上是增函数，故上是增函数，故取每个区间的左端点函数值所求的和比取每个区间的取每个区间的左端点函数值所求的和比取每个区间的右端点函数值所求的和小右端点函数值所求的和小. .答案：答案：【方法总结方法总结】求曲边梯形面积的三个注意点求曲边梯形面积的三个注意点(1)(1)求解的数学思想是以直代曲和无限逼近的思想求解的数学思想是以直代曲和无限逼近的思想. .(2)(2)求解过程有四步求解过程有四步, ,即分割、近似代替、求和与取极即分割、近似代替、求和与取极限限. .(3)(3)求解的关键是近似代替求解的关键是近似代替. .提醒：分割越
14、细，结果越准确提醒：分割越细，结果越准确. .类型二类型二 变速运动的路程变速运动的路程【典例典例2 2】汽车以汽车以v=v=v(tv(t)()(函数函数v=v=v(tv(t) )在在(0,+)(0,+)上为连上为连续函数续函数) )在笔直的公路上行驶在笔直的公路上行驶, ,在在0,20,2内经过的路程内经过的路程为为s,s,下列说法中正确的是下列说法中正确的是 . .将将0 0，2 2n n等分等分, ,若以每个小区间左端点的速度近若以每个小区间左端点的速度近似代替时似代替时, ,求得的求得的s sn n是是s s的不足近似值的不足近似值( (s sn ns);s);将将0,20,2n n等
15、分等分, ,若以每个小区间右端点的速度近似若以每个小区间右端点的速度近似代替时代替时, ,求得的求得的s sn n是是s s的过剩近似值的过剩近似值( (s sn ns);s);将将0,20,2n n等分等分, ,当当n n很大时很大时, ,求出的求出的s sn n就是就是s s的准确值的准确值; ;ss的准确值就是由直线的准确值就是由直线t=0,t=2,v=0t=0,t=2,v=0和曲线和曲线v=v=v(tv(t) )所所围成的图形的面积围成的图形的面积. .【解题指南解题指南】利用曲边梯形面积的求法去判断利用曲边梯形面积的求法去判断. .【解析解析】由曲边梯形面积的求法知只有当由曲边梯形面
16、积的求法知只有当n n无穷大时求出无穷大时求出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与小区间的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与小区间上的取值无关，只有上的取值无关，只有正确，对于正确，对于当当n n很大时，并未点很大时，并未点明有多大，应该是无穷大时明有多大，应该是无穷大时S Sn n对应的极限值对应的极限值. .答案：答案：【方法总结方法总结】求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题求变速直线运动路程的问题, ,方法和步骤类似于求曲边方法和步骤类似于求曲边梯形的面积梯形的面积, ,用用“以直代曲以直代曲”“”“无限逼近无限逼近”的思想求解的思想求解.
17、 .求解过程为求解过程为: :分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限. .应特别注意求变速直线运动的区间应特别注意求变速直线运动的区间. .【巩固训练巩固训练】一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时一辆汽车做变速直线运动，设汽车在时刻刻t t的速度的速度v(tv(t)= )= ，求汽车在，求汽车在t=1t=1到到t=2t=2这段时间内这段时间内运动的路程运动的路程s.s.【解析解析】(1)(1)分割分割把区间把区间1,21,2等分成等分成n n个小区间个小区间 (i=1,2(i=1,2，n)n)，每个区间的长度每个区间的长度tt= = ，每个时间段行驶的路程记为，每个时间段行驶的
18、路程记为ssi i(i(i=1,2=1,2，n).n).故路程和故路程和s sn n= = ssi i. .(2)(2)近似代替近似代替当当n n很大时，即很大时，即tt很小时，在区间很小时，在区间 上，可上，可以认为以认为v(tv(t)= )= 的值变化很小，近似地等于一个常的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为等于数，不妨认为等于 局部小范围内局部小范围内“以以直代曲直代曲”，则有，则有(3)(3)求和求和(4)(4)取极限取极限【课堂小结课堂小结】1.1.知识总结知识总结2.2.方法总结方法总结(1)(1)“以直代曲以直代曲”求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法. .(2)(2)“以不变代变以不变代变”求变速直线运动的路程的方法求变速直线运动的路程的方法. .
