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1、单自由度单自由度计算例题计算例题重重 点：刚度系数、柔度系数点：刚度系数、柔度系数 频率频率 难难 点：刚度系数、柔度系数点：刚度系数、柔度系数例题1 图示体系，不计梁重，弹簧的刚度图示体系，不计梁重，弹簧的刚度KN = ，梁的抗弯刚，梁的抗弯刚度为度为EI，求自振频率。，求自振频率。 mL/2L/2KN解：质点的位移由惯性力产生解：质点的位移由惯性力产生运动方程：运动方程：式中，式中， 为单位力作用于质点时产生的位移为单位力作用于质点时产生的位移P=1 1. 弹簧受力为弹簧受力为1 ， 弹簧的伸长弹簧的伸长2. 简支梁中点简支梁中点 受力也为受力也为1 ，中点挠度为，中点挠度为P=13. 质
2、点的位移：质点的位移：代入运动方程，得：代入运动方程，得：一般地mLLKN引引 例例刚度法刚度法柔度法柔度法KNK1KNP=1例题例题2 图示结构，梁的刚度为图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度，弹簧的刚度KN = ，不计梁，不计梁的自重，求自振频率的自重，求自振频率 L/32L/3mKNP=1解：在质点处作用单位力解：在质点处作用单位力 ，用力法求由此产生的位移，用力法求由此产生的位移P=1P=1X基本体系P=1MP图2L/9X=1图P=118L/89M图P=12L/9图运动方程：运动方程：代入运动方程，得：代入运动方程，得：例题例题3图示结构，图示结构，ABAB和和DEDE杆的刚度均为杆的
3、刚度均为EIEI，而，而BDBD杆的刚度为无限杆的刚度为无限刚性。刚性。B B和和D D处各有集中质量处各有集中质量m m ，试求结构的自振频率。，试求结构的自振频率。 3L/4L/43L/4L/4mmABCDE解：解：1）动力自由度为）动力自由度为1 以刚性杆以刚性杆BD的转角的转角 为变量建立振动方程为变量建立振动方程 质点位移质点位移 2）求转角）求转角 时需在时需在C处施加的力矩处施加的力矩(转动刚度转动刚度) K *AB杆的杆端弯矩和杆端剪力杆的杆端弯矩和杆端剪力 ABK*DE 杆的杆端弯矩和杆端剪力杆的杆端弯矩和杆端剪力 3）取）取BD为研究对象，如图为研究对象，如图 MC=0 A
4、BKBDVBAMBAVDEMDEC4）振动方程：）振动方程：DE取取C结点的平衡，结点的平衡，MC=0FIFICv例题例题4 如图，不计杆的自重，求自振频率。如图，不计杆的自重，求自振频率。 EI=常数常数 LLLm解：质点的水平振动解：质点的水平振动, 动力自由度为动力自由度为1 方程一般形式：方程一般形式：求质点的侧移刚度求质点的侧移刚度 K，可以采用位移法，可以采用位移法-方法方法1 在在B结点作用结点作用K,使结点侧移为使结点侧移为1 时的位移法方程时的位移法方程LLLmABCDK13I/L13i3iiMP图图3I/LR1PR2P令 解出K 运动方程：运动方程：写出运动方程写出运动方程
5、LLLmKVBCVBA侧移为侧移为1 1需施加的力需施加的力K K看成支座移动时内力计算看成支座移动时内力计算求质点的侧移刚度求质点的侧移刚度 K，可以采用位移法，可以采用位移法-方法方法2 1RR KVBCVBA侧移为侧移为1 1需施加的力需施加的力K Kv例题例题5 已知，已知，K1= ，K2= ，EI=常数。求自振频率常数。求自振频率 LK1K2m解：在质点上作用单位力，求出位移，利用公式解：在质点上作用单位力，求出位移，利用公式方法方法1v1）是超静定结构，本题用力法求位移较简单）是超静定结构，本题用力法求位移较简单 P=1MP图LP=1X=11图4L/73L/7P=1 M图 4/7v
6、图乘求位移图乘求位移P=1MP图L4L/73L/7P=1 M图 4/7方法方法2K1AA点的侧移刚度怎么考虑？点的侧移刚度怎么考虑？K1K2K=K1+K2v例题例题6图示简支梁跨中有质量图示简支梁跨中有质量m，梁端受动力矩，梁端受动力矩Msint作用，不计作用，不计梁的质量。求质点的动位移和支座梁的质量。求质点的动位移和支座A处的动转角。处的动转角。 Msint mLLABC解：动荷载不作用在质点上，需建立振动方程解：动荷载不作用在质点上，需建立振动方程 建立方程的依据：建立方程的依据： 1. 质点的位移由动力矩质点的位移由动力矩Msint和惯性力和惯性力 共同产生共同产生 2. A端的转角也
7、由动力矩端的转角也由动力矩Msint和惯性力和惯性力 共同产生共同产生 1）求出动力矩为）求出动力矩为1及惯性力为及惯性力为1时在质点及时在质点及A端处产生的位移及端处产生的位移及转角转角 P=1M=1L/41 M1图图 M2图图 2) 由叠加原理可得振动方程由叠加原理可得振动方程 3）求解方程设方程的解为设方程的解为：把上式代入第把上式代入第2个方程中，得个方程中，得 v*例题例题7 图示结构，梁的刚度为图示结构，梁的刚度为EI，弹簧的刚度，弹簧的刚度KN = ，不计，不计梁的自重，梁的自重，= 。求。求B点的最大动力位移反应点的最大动力位移反应 L/3L/3L/3P sint mABCDK
8、N1）求B点的柔度P=1P=1X基本体系P=1MP图2L/9X=1图v求柔度P=118L/89M图P=12L/9图2）求动力荷载为）求动力荷载为1时在质点出产生的位移时在质点出产生的位移 P=1X=1 MP图 图2L/92L/9P=1 171L /801 2L /9 75L /801P=1 M图 MP图3）振动方程）振动方程 设方程的解为：设方程的解为：例题例题8 求图示结构求图示结构B点的最大竖向动位移点的最大竖向动位移BV ，并绘最大动力弯矩图。，并绘最大动力弯矩图。已知，已知，EI=常数，不计阻尼常数，不计阻尼 LLLABCDmKN解：解：1）动力自由度）动力自由度1 ，D点的竖向位移点
9、的竖向位移ABCD用柔度法建立振动方程用柔度法建立振动方程 2）振动方程的形式）振动方程的形式B和和D点的竖向位移由惯性力和动力荷载共同产生点的竖向位移由惯性力和动力荷载共同产生原理：原理：v3）方程中各系数P=11DBP=11/2L / 2BD MP图 BDqL/4qL2/23) 先解第二个方程先解第二个方程,以以 代入方程，得：代入方程，得： 以代入第一个方程，得：代入第一个方程，得：v4）最大动力弯矩图）最大动力弯矩图 MP图 BDqL/4qL2/2P=11/2L / 2BD 13qL2/28 qL2/2 习题课习题课建立振动方程，求最大动位移建立振动方程，求最大动位移mEILLmEI建
10、立方程的依据：建立方程的依据：质点位移由惯性力与动荷载质点位移由惯性力与动荷载共同产生共同产生1L12L11、1L12L质点的最大位移：质点的最大位移：动力系数：动力系数：mLLEImEI建立方程的依据：建立方程的依据：质点位移由惯性力与动荷载共同产生质点位移由惯性力与动荷载共同产生P=1LL/2P=1L=7L3/12EI2、3、mLLEIKNKN=3EI/L3mEIKNKNKNP=1L211/LKNKNP=1L211/L=39L3/24EIKNLP=13L/45/4KNLP=12求自由振动频率，求自由振动频率，EA=6EI/L2 EI=常数LmEALLAmEAAEAP=1-1P=1L=L/E
11、A+L3/3EIK= 1/+24EI/L34、LLEI=常数,LmEAEAysK11K211K12K2215、EA=6EI/L2FI方法方法1位移法方程位移法方程EAys消去消去s(t) 即得振动方程。即得振动方程。FI12yEI/L3-12yEI/L3EA(s-y)/L3sEI/L3方法方法2LmEALLA求质点的最大动位移，结构最大动弯矩图求质点的最大动位移，结构最大动弯矩图6、EI=常数EA=6EI/L2与前例对应与前例对应3PL/53PL/53PL/53PL/2mEI1=EIEILL求下列结构质点求下列结构质点m的最大动位移，并画出最大动力弯矩图，的最大动位移，并画出最大动力弯矩图，刚
12、度刚度EI1= 练习题练习题3EI/L2K3EI/L2K=6EI/L3 3PL/4最大动力弯矩图最大动力弯矩图3PL/4KNmLLLLL求下列结构质点求下列结构质点m的最大动位移，并画出最大动力弯矩图。的最大动位移，并画出最大动力弯矩图。EI=常数常数 练习题练习题KNmLLLLLmKNy1-3EI/L213EI/L30EI/13L230EI/13L26EI/13L212EI/13L29EI/13L29EI/13L2KNm3EI/ L2 ymax=13PL3 /62EI 30/626/6212/629/629/62KNm39/62单位：pL位移法位移法KNmMPR1R2KNmM1r11r21KNM2r12r22KNm3i/LMR作业问题作业问题3i/LKNm3i/LMPM3i3i3i2i4ir=13iM3i3i3i2i4ir=13iKNm3i/LMPRPK
