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1、常微分方程的概念第六章 常微分方程本章学习要求：n了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.n了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程和一阶线性方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的 解法.1、含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数可以不出现，但其导数一定要出现。未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。二、微分方程的定义二、微分方程的定义(本章内容) 例常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程2、常微分方程的阶数微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶二阶一阶一
2、阶微分方程的一般表示形式微分方程的一般表示形式一阶微分方程一阶微分方程n阶微分方程阶微分方程引例2 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解特解引例1 通解:特解:1、微分方程的解解 不含任意常数的解. 三、主要问题三、主要问题-求方程的解求方程的解初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .初值问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .常微分方程常微分方程初始条件初始条件问题问题分歧问题分歧问题初始条件初始条件: : 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件. .初值
3、问题初值问题: : 求微分方程满足初始条件的解的问题求微分方程满足初始条件的解的问题. .一阶一阶: :过定点的积分曲线过定点的积分曲线; ;二阶二阶: :常微分方程常微分方程初始条件初始条件也称为初值问题也称为初值问题问题问题柯西柯西 例1解解微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解 例1解解微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解有何想法？有何想法？2、积分曲线（解的几何意义）积分曲线（解的几何意义）常微分方程解的几何图形称为它的常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线积分曲线。通解通解的图形是一族积分曲线。的图形是一族积分曲线。特解特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。 例2解解所求特解为所求特解为补充补充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等积分法初等积分法. .求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)四、小结四、小结微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件;特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线;思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.谢 谢！结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！24
