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1、SCAPI子空间跟踪算法及其应用n答辩学生：n指导教师：1 在信号处理领域中，为了抽取混杂在噪声中的低秩信息，我们通常采用对采样数据矩阵进行奇异值分解或对采样数据自相关矩阵进行特征值分解的方法。利用特征值的相对大小，可以将数据矩阵或数据协防差矩阵的几何空间即特征空间划分为信号子空间和噪声子空间，以此为基础，借助不同的方法可以抽取低秩的有用信息。这就是特征子空间的基本思想。因此，特征子空间起着非常重要的作用。研究背景及意义 传统的提取子空间信息的方法是数据自相关矩阵的特征值分解（EVD）或者数据矩阵的奇异值分解（SVD），但是这些分解的缺陷是计算量太大，达到 ，其中N为观测数据的长度，不适于工程
2、问题的实时应用。并且在许多实时应用中，如移动信号方位的跟踪、活动目标的时变信道识别、第三代移动通信中的多用户检测，等等，其数据自相关矩阵或者协方差矩阵是变化的，此时需要解决在一次或几次采样的基础上自适应地估计出时变的数据自相关矩阵（协方差矩阵）的瞬时特征值分解或数据矩阵的瞬时奇异值分解。研究背景及意义1经典幂法 幂法的起源最早可以追溯到1966年。幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及其对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵。1经典幂法 设实矩阵 有一个完全的特征向量组，其特征值为 ，相应的特征向量为 。已知的主特征值是实根，且满足条件， 幂法的基本思想是任取一个非零的初
3、始向量 ，由矩阵 构造一向量序列1经典幂法称为迭代向量。由假设， 可表示为于是1经典幂法其中 。由假设 ，故 ，从而 。 这说明序列 越来越接近 的对应于 特征值 的特征向量，或者说当 充分大时即迭代向量 为 的特征向量的近似向量（除一个因子外）。由假设，故经典幂法 下面再考虑主特征值的 的计算，用 表示 的第 个分量，则故也就是说两相邻迭代向量分量的比值收敛到主特征值。经典幂法 应用幂法计算 的主特征值 及对应的特征向量时，如果 或（ ），迭代向量 的各个不等于零的分量将随 而趋于无穷（或趋于零），这样在计算机实现时就可能“溢出”，为了克服这个缺点，需要将迭代向量加以规范化。幂法的演变 经典
4、幂法只能得到一个主特征对，而实际应用中需要计算p-维主子空间，那么有学者将同时迭代的思想用到幂迭代算法中其中 是一个 初始主子空间矩阵。同样为了防止在迭代过程中， 变得过大或过小 ，我们在上式的右边乘上 即保证迭代矩阵的模是1。 幂法的演变 然而如果只进行迭代，不进行正交化，最后的每一个列向量都会收敛到主特征值，这不是我们想要的结果。 为了克服这个的缺陷，就需要对 进行正交化操作其中 是正交矩阵， 是上三角矩阵或者下三角矩阵。 幂法的演变将上面两式结合得其中 容易证明 是一个酉矩阵，因此 和 作为子空间的估计是等同的。幂法的演变 在应用中，数据的自相关矩阵的迭代更新形式为那么结合上面的讨论，我
5、们可以得出准确的迭代形式为 其中 满足 ， 定义为 ，那么 就是 的一个平方根。投影近似 在2005年，法国的Badeau等人，阐述了一种快速子空间跟踪算法，该算法的主要思想是如果假设 可以准确地张成 的r维主子空间，由2式可以得出其中 ，在这种情况下，由于 和 两个正交的矩阵，那么其中 是一个正交矩阵。投影近似 现在如果假设 近似地张成 r维主空间，那么相应的5式将变为 ，并且 变为近似的正交。利用这一近似迭代式变为接着进行一系列计算，可以得出FAPI子空间跟踪算法。SCAPI子空间跟踪算法 尽可能地减少跟踪子空间的计算量一直是广大学者追求的目标，同样也是我们的目标。通过研究我们发现在5式中
6、的 有时候接近于单位阵。这时，我们考虑用近似式经过计算化简迭代式7变为 在此基础上，经过的计算化简，得到新的子空间跟踪算法-SCAPI子空间跟踪算法。列成表如下SCAPI子空间跟踪算法初始化每次迭代如下输入数据向量：PAST主要步骤：SCAPI主要步骤SCAPI的快速算法 通过一些计算以及代换技巧技巧，可以推出SCAPI算法的快速算法，计算步骤如下：PAST主要步骤：同上FSCAPI主要步骤：计算复杂度 通过分析，快速SCAPI子空间跟踪算法的计算复杂度相比于FAPI算法，减少了 。虽然计算复杂度降低的并不多，但是还是非常有意义的。下面我们对新产生算法的性能进行分析。性能分析1.跟踪误差比较，
7、 时，PAST，FAPI，FSCAPI子空间算法的跟踪误差 性能分析2.正交误差分析， 时，PAST，FAPI，FSCAPI正交性误差比较 性能分析3.最大主角， 时，FSCAPI最大主角 性能分析4.最大主角比 FSCAPI算法与FAPI算法最大主角之比 FSCAPI算法与OPAST算法最大主角之比 FSCAPI算法与PAST算法最大主角之比 多用户检测 多用户检测是移动通信系统的关键技术之一。盲自适应多用户检测技术由于只需要使用期望用户的特征波形和定时信息就可以消除CDMA系统中的多址干扰，是目前研究的热点。基于子空间方法的MMSE盲多用户检测最初由Xiao dong Wang中提出，他将
8、子空间思想用于多用户检测技术，提出子空间多用户检测结构，其基本思想是用信号子空间参数表示出线性多用户检测器的权向量，最终解出期望用户信号。方法的计算核心是矩阵特征值与特征向量的跟踪计算问题。基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测信号模型： 考虑一个具有K个用户的同步基带DS-CDMA通信系统，在高斯信道中，经过码片匹配滤波器和码片速率采样后，在一个符号间隔内，接收端的输出样本为一个N维向量：其中， 和 表示第 个用户的信号接收幅值和数据比特； 为用户 的归一化扩频码向量， 为第 个用户的扩频信号序列，N为扩频增益，符号T表示矩阵的转置；n是均值为0，协方差矩阵为 （ 阶单位阵）的高斯白噪声
9、向量。 基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测 为了方便和不失一般性，假设K个用户的扩频码是线性独立的。记： ， ，于是接收数据的自相关矩阵为基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测对矩阵 进行特征值分解，得其中： ； ； 含有 的 个最大特征值； 中为相应的正交特征向量； 含有 的 个最小的特征值； 中为相应的正交特征向量。 为信号子空间，它的正交部分 为噪声子空间。 假设待检测用户为用户1，一个线性MMSE检测器解调第1个用户数据的解调向量为w，则判决器的输出为在约束条件 下，最小化 ，用信号子空间参数表示可得到MMSE检测器w为基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测 设子空间跟
10、踪算法得到的信号子空间的正交规范基为 ，则 ，其中 为正交阵。应用数据压缩技术，将接收数据 压缩，得到一个 维的压缩数据向量 ，它的自相关矩阵为所以基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测压缩，得到一个的递推式为从而，用户1的线性MMSE检测器可表示为取 的递推公式为应用矩阵求逆引理，则 的递推式为基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测压缩，得到一个的递推式为此时w的计算只需跟踪计算 即可，计算步骤总结如下：基于FSCAPI-MMSE算法的多用户检测压缩，得到一个的递推式为仿真实验1.误码率 ， FSCAPI-DCMMSE与NAHJ-DCMMSE误码率 仿真实验2.信干比 ， FSCAPI-DCMMSE与NAHJ-DCMMSE时间平均信干比致谢 感谢大学四年来教育过我的恩师，他们是魏志强，彭高辉，李鹏，黄春艳，李艳玲，王彩霞，赵峰，翟艳丽，张愿章，左卫兵，张青年，张洪瑞，陈自高，叶晓枫，袁合才，丁凤霞，岳红伟，等等
