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1、第十六讲 数论综合提高二本讲知识点汇总：一、约数、倍数1基本概念如果 a 能被 b 整除（也就是b| a） ，则 b 是 a 的约数（因数） ，a 是 b 的倍数；（1）约数具有“配对”性质：大约数对应小约数（2）2约数个数分解质因数，指数加 1 再相乘；（1）平方数有奇数个约数，非平方数有偶数个约数（2）3约数和公式223如果一个数的质因数分解式为a2b3， 则约数和为1aa1bb b；（1）如 果 一 个 数 的 质 因 数 分 解 式 为abc2， 则 约 数 和 为（2）1a1b1cc2；二、公约数、公倍数1基本概念如果 a 是若干个数公有的约数， 则称 a 是它们的公约数， 其中最大
2、的叫做最大（1）公约数；如果 b 是若干个数公有的倍数， 则称 b 是它们的公倍数， 其中最小的叫做最小（2）公倍数；公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数（3）2计算方法短除法；（1）分解质因数法；（2）辗转相除法（只用于计算两个数的最大公约数） （3）3基本性质ab a, ba, b；（1）两个数的最大公约数是它们和或差的约数；（2）已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来：（3）例如，甲、乙的最大公约数是5，则可以把甲乙分别设为5a 和 5b，其中a、b互质，此时甲乙的最小公倍数是5ab4两个最简分数的最大公约数、最小公倍数： ac a ,c；ac a
3、,c,bdb ,dbdb ,d经典题型约数、倍数一、1约数的配对思想；2约数个数与完全平方数的关系；3求约数个数；4求约数的和；5利用约数个数反推原数的质因数分解形式公约数、公倍数二、1基本计算；2带有应用题背景的公约数公倍数计算；3有关最大公约数和最小公倍数的反求问题；4最大公约数、最小公倍数的质因数的分配例1庆祝高思学校 4 周岁的生日，预计在 12 月 5 日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号 1100 的 100 名高思小明星们组成的方阵， 开始都面朝东方站立， 第一次所有编号是 1 的倍数的向左转， 第二次所有编号是 2 的倍数的小朋友再向左转， 第三次编号是 3 的倍数的小
4、朋友再向左转， ， 最后一次所有编号是 100 的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？分析 首先分析出转几次的人会面朝南方， 这些次数排成一列， 找出这组数列的规律练习 1、有 2012 盏灯，分别对应编号为 1 至 2012 的 2012 个开关现在有编号为 1 至2012 的 2012 个人来按动这些开关已知第1 个人按的开关的编号是 1 的倍数，第2 个人按的开关的编号是 2 的倍数，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数，依次做下去，第 2012 个人按的开关的编号是 2012 的倍数如果最开始的时候，灯全是亮着的，那么这 2012 个人按完后，还有多少盏灯
5、是亮着的？例2一个数有 15 个约数，这个数最小是多少？第二小是多少？分析分析根据约数个数公式分析出含有15 个约数的数的分解质因数形式练习2、有10个约数的自然数最小是多少？有8个约数的最小的奇数是多少？在 35 的倍数中，恰有 35 个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式）例3分析分析 所求数一定含有 35 的质因数， 再结合含有 35 个约数的数的分解质因数形式即可找到解题的突破口练习 3、42 的倍数中，恰好有 42 个约数的数有多少个？三个自然数乘积为 86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10 个那么这三个自例4然数分别是多少？分析分析把含有 8、9、10 个约数的数的
6、分解质因数形式及86400 中个质因数的个数结合在一起进行分析练习 4、三个自然数乘积为 5184，且这三个数的约数个数分别为 A 个、A+1 个、A+2个那么这三个自然数分别是多少？两个整数的差为 7，他们的最小公倍数和最大公约数的差是 689，则这两个数分别是例5多少？分析分析列不定方程求解大雪后的一天，亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长，例6亮亮每步长 54 厘米，爸爸每步长 72 厘米，由于两个人的脚印有重合， 所以雪地上只留下 60 个脚印问：这个花圃的周长是多少米？分析分析这是一道公约数、公倍数的问题，首先回忆一下公约数、公倍数的求法，再思考一下题中各数据之
7、间的关系亲和数（Amicable Pair）亲和数是一种古老的数遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a 和 b，a 的所有真因数之和等于 b，b 的所有真因数之和等于a，则称 a，b 是一对亲和数相传，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题： “我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答： “朋友是你的灵魂的倩影，要象220 和 284一样亲密什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我 ”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱” 从此，把 220 和 284 叫做“亲和数”（也叫“朋友数”或叫“相亲数” ） 这就是“亲和数”这个名称
8、的来源毕达哥拉斯首先发现 220 与 284 就是一对亲和数，在以后的1500 年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数， 面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想， 有些人甚至为此耗尽毕生心血， 却始终没有收获 公元九世纪， 伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜， 或者走出困境数学家们仍然没有找到第二对亲和数距离第一对亲和数诞生 2500 多年以后，历史的车轮转到十七世纪， 1636 年，法国“业余数学家之王”费马终于找到了第二对亲和数17296 和 184
9、16，这个发现也重新点燃寻找亲和数的火炬两年之后， “解析几何之父”法国数学家笛卡尔于1638 年 3月 31 日宣布找到了第三对亲和数9437506和 9363584 费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千五百年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛在十七世纪以后的岁月， 许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列， 他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆 可是，无情的事实使他们省悟到， 已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷 1747 年，年仅39 岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布： 他找到了 30 对亲和数，后来又扩展到 60 对，不
10、仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程时间又过了 120 年，到了 1867 年，意大利有一个爱动脑筋， 勤于计算的 16 岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏让眼皮下的一对较小的亲和数1184 和1210 溜掉了这戏剧性的发现让数学家们大为惊叹在以后的半个世纪的时间里， 人们在前人的基础上， 不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数到了1923 年，数学家麦达其和叶维勒汇总前人研究成果与自己的研究所得，发表了 1095 对亲和数，其中最大的数有25 位同年，另一个荷兰数学家里勒找到了一对有 152 位数的亲和数电子计算机诞生以后， 结束了笔算寻找亲和数的历史， 人们利用计算
11、机， 可以更有效率的寻找和分析亲和数， 但直到今天，亲和数仍有许多未解之谜， 等待着数学家和计算机专家来解决作业1.300 共多少个约数？其中有多少个是6 的倍数？有多少个不是4 的倍数？2.把一张长 108 厘米，宽 84 厘米的长方形纸裁成同样大小的正方形，且纸无剩余，至少能裁成多少个正方形？3.一个小于 200 的自然数，其最小的三个约数之和是 31，那么这个自然数是多少？（请写出所有答案）4.已知两个三位数 M 和 N 互为反序数（M N） ，且它们的最大公约数是 6，那么 N 最小值是多少？5.两个自然数的差是 5，它们的最小公倍数与最大公约数的差是203，则这两个数的和是多少？第十
12、六讲 数论综合提高二例7答案：5详解： 从向东转向南方， 可以转3次、 7次、 11次、 15次等， 即约数个数是3、 7、 11、 100之内的数的约数个数最多的只有12 个（有5 个） 有3 个约数的是 4、9、25、49；有7个约数的是 64；有 11 个约数的数最小是 1024所以有 5 名小朋友最后是面朝南方例8答案：144、324详解：有 15 个约数的数，质因数分解式为14或24前者最小是214，次小的是都很大； 后者最小的是2432， 次小的是3422， 这个数最小是 144， 次小是 324314，例9答案：5674详解：因为 35 含有质因数 5、7，恰有 35 个约数的数
13、只能含有这两个质因数，所以这个数最小是5674例10答案：30，36，80详解：详解：86400 273352，8 222，9 33，10 25易知所求三个数为 30，36，80例11答案：23 和 30详解：详解：两数之差为 7，则他们的最大公约数可能为7 或 1，而 689 也可被最大公约数整除，所以两数的最大公约数为1，即两数互质，所以两数的最小公倍数，即两数之积为690，易知相差 7 且乘积为 690 的两个数为 23 和 30例12答案：答案： 21.6 米练习：练习 1、答案：1968简答： 易知第n号灯被按的次数等于n的约数的个数， 如果n号灯被按灭则灯被按了奇数次，即 n 有奇
14、数个约数， 也就是 n 每个质因子的质数为偶数， 即 n 为完全平方数 易知小于 2012的完全平方数有 44 个,所以还有 1968 盏灯亮着练习 2、答案：48；105练习 3、答案：4032 个简答：因为42 含有质因数 2、3、7，恰有42 个约数的数只能含有这三个质因数，所以这个数最小是26327 4032练习 4、答案：12、16、2764简答：把 5184 分解质因数得：5184 2 3，可凑出三个数是 12、16、27，质数个数分别是 6 个、5 个、4 个作业6.答案：答案：18，6，12简答：简答：通过分解质因数可得答案为18，6，127.答案：答案：63简答：简答：正方形
15、边长为 108 和 84 的最大公约数 12，所以可裁成 63 个正方形8.答案：答案：25，125，161简答：简答：首先最小的约数可知为1，则另外两个较小的约数之和为30，可知另外两个较小约数可以是 5 和 25，则答案为25 和 125；7 和 23，则答案为161；11 和 19，则答案为209；13 和 17，则答案为 221其中小于 200 的为 25，125，1619.答案：答案：204简答：简答：设这M abc，N cba，则由 M 和 N 是 6 的倍数，可知M N 99(ac)是 6的倍数，则ac是 2 的倍数，又由 M 是偶数可知，c 可能取 2、4、6 或 8，带入尝试可求得 N 可以为 204，228，246，258，294，426，438，456，498，618，678，最小的是 20410.答案：答案：29简答：简答：两数相差 5，所以它们的最大公约数为5 或 1，所以分类讨论可得这两个数为12与 17，其和为 29
