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1、精心整理精心整理数学分析中求极限的方法总结1 利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：定理 1.1 ：如果00xxlim fx =, lim gx =xx（ ）（ ）（1）000lim( )( )lim( )lim( )xxxxxxfxg xf xg x（2）000xxlimfxgx= lim fx) lim( )xxxxg x（ ） （ ）（3）若 B 0 则：000lim( )( )lim( )lim( )xxxxxxf xf xg xg x（4）00xlim c( )lim( )xxxf xcfxc（5）00lim( )lim( )nnnxxxxf xf x（n 为自
2、然数）上述性质对于,xxx也同样成立i由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例 1. 求225lim3xxx的极限解：由定理中的第三式可以知道例 2. 求312lim3xxx的极限解：分子分母同时乘以x12式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例 3. 已知1111 22 31nxnn，求limnnx解：观察11=1122111=2 323111=n1nn-1n因此得到1111 22 31nxnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
3、理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理所以1limlim11nnnxn2 利用导数的定义求极限导数的定义：函数f(x) 在0x 附近有定义，则如果存在，则此极限值就称函数f(x) 在点0x的导数记为0fx。即在这种方法的运用过程中， 首先要选好 f(x) 。 然后把所求极限都表示成f(x) 在定点0x的导数。例 4. 求2lim22xxxctgx的极限解：2lim22xxxctg x22112lim222lim22xxxxtg xtg xtgxxx3 利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：（1）0sinlim1xxx，（
4、2）1lim 1xxex但我们经常使用的是它们的变形：（1）sinlim1,0xxx，（2）1lim 1,xexx求极限。例5：xxxx10)1()21(lim解：为了利用极限exxx10)1(lim故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理的指数互为倒数进行配平。xxxx10)1()21(lim=xxxx10)131(lim=313310)131
5、(limexxxxxx例6：20cos1limxxx解：将分母变形后再化成“0/0 ”型所以=2202sin2limxxx=21)2(2sin21lim220xxx例 7: 求xxx10)21(lim的极限解：原式 =221210)21()21(limexxxxx利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。4利用函数的连续性因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的, 所以如果)(xf是初等函数 , 且0x是)(xf的定义区间内的点 , 则)()(lim00xfxfxx。例8
6、：612arcsinlim1xx解: 因为复合函数arcsin是初等函数 , 而x1是其定义区间内的点 , 所以极限值就等于该点处的函数值. 因此例8：求xxsinlnlim2解：复合函数xsinln在2x处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值即有2sinlnsinlnlim2xx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理=1ln2sinlim=0 5 利用两个准则求极限。（1） 函数极限的迫
7、敛性：若一正整数 N,当 nN时， 有nnnxyz且limlim,nnxxxza则有limnxya。利用夹逼准则求极限关键在于从nx的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列ny和nz，使得nnnyxz。例 9：求nx的极限解：因为nx单调递减，所以存在最大项和最小项则221nnnxnnn又因为22limlim11xxnnnnn（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。例 12：设1110,61,2,nnxxxnn。试证数列nx的极限存在 , 并求此极限。解: 由110x及24x知12xx 。设对某个正整数 k有1kkxx，则有21166kkkkxxxx从而由
8、数学归纳法可知 , 对一切自然数 n, 都有1nnxx，即数列nx单调下降 , 由已知易见.)2, 1(0nxn即有下界 , 根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。令Axnnlim对nnxx61两边取极限，有6所以有260解得A=3,或2。因为.)2, 1(0nxn，所以0，舍去2, 故lim3nnx6利用洛必达法则求未定式的极限定义 6.1 ：若当xa（或x）时，函数fx和Fx都趋于零 ( 或无穷大 ) ，则极限名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共
9、13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理)()(lim)(xFxfxax可能存在、也可能不存在，通常称为00型和型未定式。例如：xxxtanlim0,(00型); bxaxxsinlnsinlnlim0,(型). 定理 6.2 ：设（ 1）当x时, 函数fx和Fx都趋于零 ; （2） 在 a 点的某去心邻域内 ,fx和Fx都存在且0Fx;（3）)()(lim)(xFxfxax存在( 或无穷大 ), 则定义 6.3 ：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 例10：xxxxxx222220sincossinlim解：43000(s
10、incos )(sincos )sincossincoslim=limlimxxxxxxxxxxxxxxxxxx在利用洛比达法则求极限时， 为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换， 并注意观察所求极限的类型如下例，例 11：求lim0xxex1解：lim0xxex1=111limlim00tttteet洛必达法则通常适用于以下类型：0型：例 12 求lim(arctan )2xxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - -
11、- - - - - 精心整理精心整理解原式2221arctan112limlimlim11111xxxxxxxx. 型：例 13 求2lim sectanxxx. 解1sin1sinsectancoscoscosxxxxxxx，故原式221sincoslimlim0cossinxxxxxx. 00型：例 14 求0limxxx. 解原式ln0limlnln00limlim1xxxxexxxxxeee. 1型：例 15 求lim 1xxex. 解原式lim1xeeexeex. 0型：例 16 求tan01lim ()xxx. 解原式tanlntan01limln()tanln00limlimxx
12、xxexxxxxeee，而tan00lim(tan ln )lim(ln )0xxxxxxxx，因此：原式 =1. 7. 用泰勒展式来求极限用此法必须熟记基本初等函数的展开式, 它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形, 有时可用项的泰勒展开式来代替该项 , 使运算十分简便。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理例17：4202cosli
13、mxexxx解：因为所以例18：)11ln(lim2xxxx解：因为当x时，10x所以从而于是注意：如果该题利用其他方法就不容易做了。8. 利用定积分求极限由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限. 若要利用定积分求极限， 其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提 1/n, 而余下的项可用通式写成 n项之和的形式的表达式 , 一般可用定积分的定义去求。利用定积分可求如下二种形式的极限: nnnfnfnfx)(.)2()1(lim型定理8.1 ：设fx在0 ，1 上可积，则有例19：求极限nnnnnx.21lim解：令fxx，fx在0,1 上可积
14、。nxnnfnfnf)(.)2()1(lim型定理8.2 ：若)(xf在0,1 上可积，则例20：求nnnx!lim解：!12lim= lim*.*nnxxnnnnnn令fxx, 则有：例 21：求)212111(limnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：不难看出，其中的和式是函数发xxf11)(在区间1 ,0上的
15、一个积分和。（这里所取的是等分分割，,1nxinininii,1（.2 .1ni） ，所以当然，也可把 J 看作xxf1)(在2, 1上的定积分，同样有9. 利用无穷小的性质求极限i我们知道在某一过程中为无穷大量的倒数是无穷小量; 有界函数与无穷小量的乘积, 仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。例22：2374lim21xxxx解：当1x时分母的极限为 0，而分子的极限不为 0，可先求出所给函数的倒数是无穷大量：2374lim21xxxx=74231=0利用无穷小量的倒数是无穷大量故2374lim21xxxx=例23：极限xxxxsin1sinlim20解：xxxxsin1si
16、nlim20因为1sinlim0xxx；当0x时，x为无穷小量，1sinx为有界量，故01sinlim0xxx；所以原式 =0。例24：求极限31sinlim1xxxx解：因为1sin1x所以x1sin是有界函数故31xx在x时是无穷小量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。所以011sinlim3xxxx. 10. 利用等价无穷小的代换求极限利用等价无穷小
17、代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷小量(0x)xxxexxxxarctanarcsin1)1ln(tansin等价无穷小有重要性质: 设,且lim存在，则lim=lim, 这个性质表明 , 求两个无穷小量之比的极限时, 分子, 分母均可用等价无穷小量之比的极限时, 分子, 分母均可用等价无穷小量代替, 从而使计算大大简化。i例25：极限xxtgx5sin3lim0解：当0x时，xxxxtg55sin,33, 例26：求极限302sinsin2limxxxx解：302sins
18、in2limxxxx=20)cos1(2sinlimxxxxx=11lim220xxx错误的解法是：022lim2sinsin2lim3030xxxxxxxx( 错在对加减中的某一项进行了等价无穷小代换) 11. 利用级数收敛的必要条件求极限i给出一数列nu, 对应一个级数1nnu若能判定此级数收敛 , 则必有0limnnu。 由于判别级数收敛的方法较多 , 因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便。例27：求极限)1 ,1(,!)1).(1(limxxnnaaann解：设级数0!)1).(1(nnxnnaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
19、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理其中nnxnnaaau!)1).(1(由达朗贝尔判别法知级数收敛, 再由级数收敛的必要条件0limnnu可知：例28：求极限nnnnn!2lim解：设nnnnnnu!2lim级数1nnu为 n2 项级数。由比值审敛法：!2)!1()!1(2lim2lim11nnnnuunnnnnnn=nnnn)1(2lim=nnn)11(12lim=12e所以1!2nnnnn收敛，故nnnnn!2lim=0 12. 利用极限定义验证极限用极限定义验证极
20、限，是极限问题的一个难点。做这类题目的关键是对任意给定的正数，如何找出定义中所说的 N或确实存在。这实际上是利用逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力。例27：11lim355nnnn证：任给0要找 N , 使Nn时，有即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理11353nnn，显然，当 n较大时，如2n，有=2134n, 因此要使11353nnn成立，当n=2时，只要即342n或34n。这样一来，
21、取) 34 ,2max(N, 则当nN 时，则有2n及34n, 因此上述各式成立。证毕。13. 涉及单侧极限与双侧极限的问题例 28：求函数11)(xxxf在1x处的左右极限，并说明在1x处是否有极限。解：2)111(lim)(lim11xxxfxx，0)1)1(1(lim)(lim11xxxfxx，因为)(lim)(lim11xfxfxx，所以 f(x) 在 x=-1 处的极限不存在。利用该方法就极限时，只有当左右极限存在且相等是才能说明极限是存在的注：本例是axfxfaxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000的直接应用。14. 利用微分中值定理和积分中值定理求极限名师资料总结
22、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理例29：3sin022limxxxx解：因为由微分中值定理2ln2sin22sinxxxx（介于 x与xsin之间）原式=30sin0sinlim*sin22limxxxxxxxxx=2003cos1lim)2ln2(limxxx=62ln例 30：求3sin022limxxxx的极限解：3sin3sinsinsin2222xxxxxxxxxx由微分中值定理得，2ln2sin
23、22sinxxxx（介于x与xsin之间）原式=62ln3cos12ln2sinsin2220030sin0limlimlimlimxxxxxxxxxxxx15. 利用柯西准则来求数列极限。柯西准则：要使nx有极限的充要条件使任给0, 存在自然数 N，使得当nN 时，对于任意的自然数m 有nmnxxi例31：nxn1.31211没有极限。证明：对任意的 n，取m=n,我们有=2121.2121.2111nnnnn因此，对于210，对任意的 N，当nN 时，取 m=n 就有即变量nx 没有极限。16. 换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
24、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 精心整理精心整理例 321lim (1)xxx. 解令xt，则原式 =1lim 1ttt1limtttt111lim1111tttt=e例 33: 求11limlnxxxxx解：令1xtx则16. 数列极限转为函数极限求解例 34 求21lim(1sin)nnnn. 解令1tn, 则原式2320001sinsin1coslim(1)limlim3ttttttttttt，所以在0t时，1 cost与212t等价，因此，原式20212lim13ttt16. 在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时， 首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -
