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1、如下图,在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上,如果任意相邻平行线之间的距离都相等,我们就把这样两组平行线的交点称为格点(如下图中的红点),把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度,把每个小正方形的面积看作一个面积单位(如图中带阴影的方格)。一个多边形的顶点如果全是格点,这个多边形就叫做格点多边形,本讲就,学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便,一般有三种方法:规则的格点多边形,可以运用多边形的面积公式求出面积;一些简单而又特殊的格点多边形,可以通过数格子求出面积;较复杂的不规则图形,一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始,很少用。任意格点多边形,只要数出多边
2、形周界上的格点的个数及图内格点的个数,就可用下面的皮克公式算出面积:格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数 2-1这个公式是皮克(Pick)在 1899 年给出的,被称为“皮克定理”,这是一个实用而有趣的定理。皮克定理的证明:将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分;而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形,且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆,少了其外角对应的扇形面积,因任意多边形的外角和是360 度,正好是个整圆,所以周界上圆在图内的面积为:周界格点数2-1 所以格点多边形
3、面积为:图内格点个数+周界格点数2-1 。皮克定理的证明过程比较抽象,孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式,掌握格点面积公式的应用,到初中还会进一步学习皮克定理。例 1:求下面各图形的面积。【解析】:图是个平行四边形,周界上有10 个格点,图内有4个格点, 根据格点面积公式,图的面积为: 4+102-1=8 ;图是个梯形,周界上有8 个格点,图内有2 个格点,根据格点面积公式,图的面积为:2+8 2-1=5;图是个三角形,周界上有6 个格点,图内有4 个格点,根据格点面积公式,图的面积为: 4+6 2-1=6;以上 3个图形都是规则图形,但四年级学生还没有学过这3 种图形的面积计算
4、,不能用面积公式计算。图是个六边形,周界上有8 个格点,图内有9 个格点,根据格点面积公式,图的面积为: 9+8 2-1=12。这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。例 2:下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少?【解析】:这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。喇叭周界上有8 个格点,图内没有格点,面积为:0+8 2-1=3;小猫周界上有20 个格点,图内有2 个格点,面积为:2+202-1=11 ;小狗图案可以看着是两个格点多边形组成,先分别求出每个格点多边形的面积,再求出总面积。躯干面积: 0+122-1=5 ;尾巴面积: 0+4 2-1=1 ;总面积: 5+1=6。像小狗图案这样,由两
5、个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形,要求其总面积,一般先求出每个独立多边形的面积,再求和,以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。例 3:下面是一个漂亮礼盒的平面图,请你求出它的面积。【解析】:这个礼盒平面图是由3 个独立的格点多边形组成的。左边三角形面积可以用皮克公式求出:4+42-1=5 ;右边三角形面积可以用皮克公式求出:2+62-1=4 ;下面长方形长为6、宽为 3,可以直接用长方形面积公式算出面积:63=18;所以上图总面积为:5+4+18=27。例 4:你知道下图中共有多少个图形吗?每个图形的面积各是多少?【解析】:这里所说的图形既包括凸多边形,也包括凹多边形。图中有8 个三
6、角形:AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC ;有 3 个四边形: ADBC,ABDC,ABCD。可以用皮克公式算出每个图形的面积,例如四边形ADBC 的面积为:21+82-1=24 。其它图形的面积:(略)。鱼儿,在水中串上串下,吐着顽皮的泡泡;鸟儿从荷叶上空飞过,想亲吻荷花姑娘的芳泽。四周的花儿,紫的,黄的,白的,红的,竞相开放。大红花儿,张着大嘴,放声歌唱;灯笼花儿,随风摇坠,四处飘香;剑兰花儿,形态独特,毫不逊色。它们与荷塘之景交相辉映,美不胜收此时,我的心情兴奋到极点,好久好久没有看过如此美的景色了。若果我有一双会画画的手,我定把这如痴如醉的荷塘活色生香的描绘一番;若果我有一部高像素的相机,我定不放过每个花开的镜头;若果我是一个诗人,我定把这荷塘每片光鲜艳丽的色泽融入人生的诗篇。我更期待,期待盛夏的荷塘色,期待那更加妖娆多姿,色泽鲜艳的荷花,期待初夏生机勃勃、挥汗如雨的激情生活!