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1、如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。任意格点多边形，只要数出多边
2、形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数 2-1这个公式是皮克(Pick)在 1899 年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。皮克定理的证明：将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360 度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数2-1 所以格点多边形
3、面积为：图内格点个数+周界格点数2-1 。皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应用，到初中还会进一步学习皮克定理。例 1：求下面各图形的面积。【解析】：图是个平行四边形，周界上有10 个格点，图内有4个格点， 根据格点面积公式，图的面积为： 4+102-1=8 ；图是个梯形，周界上有8 个格点，图内有2 个格点，根据格点面积公式，图的面积为：2+8 2-1=5；图是个三角形，周界上有6 个格点，图内有4 个格点，根据格点面积公式，图的面积为： 4+6 2-1=6；以上 3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3 种图形的面积计算
4、，不能用面积公式计算。图是个六边形，周界上有8 个格点，图内有9 个格点，根据格点面积公式，图的面积为： 9+8 2-1=12。这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。例 2：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？【解析】：这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。喇叭周界上有8 个格点，图内没有格点，面积为：0+8 2-1=3；小猫周界上有20 个格点，图内有2 个格点，面积为：2+202-1=11 ；小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。躯干面积： 0+122-1=5 ；尾巴面积： 0+4 2-1=1 ；总面积： 5+1=6。像小狗图案这样，由两
5、个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。例 3：下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。【解析】：这个礼盒平面图是由3 个独立的格点多边形组成的。左边三角形面积可以用皮克公式求出：4+42-1=5 ；右边三角形面积可以用皮克公式求出：2+62-1=4 ；下面长方形长为6、宽为 3，可以直接用长方形面积公式算出面积：63=18；所以上图总面积为：5+4+18=27。例 4：你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？【解析】：这里所说的图形既包括凸多边形，也包括凹多边形。图中有8 个三
6、角形：AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC ；有 3 个四边形： ADBC,ABDC,ABCD。可以用皮克公式算出每个图形的面积，例如四边形ADBC 的面积为：21+82-1=24 。其它图形的面积：（略）。鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。四周的花儿，紫的，黄的，白的，红的，竞相开放。大红花儿，张着大嘴，放声歌唱；灯笼花儿，随风摇坠，四处飘香；剑兰花儿，形态独特，毫不逊色。它们与荷塘之景交相辉映，美不胜收此时，我的心情兴奋到极点，好久好久没有看过如此美的景色了。若果我有一双会画画的手，我定把这如痴如醉的荷塘活色生香的描绘一番；若果我有一部高像素的相机，我定不放过每个花开的镜头；若果我是一个诗人，我定把这荷塘每片光鲜艳丽的色泽融入人生的诗篇。我更期待，期待盛夏的荷塘色，期待那更加妖娆多姿，色泽鲜艳的荷花，期待初夏生机勃勃、挥汗如雨的激情生活！
