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1、1提纲提纲2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换 2Robotics 数学根底2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示1.1.位置描画位置描画 在直角坐标系在直角坐标系A A中中, ,空间恣意一点空间恣意一点p p的位置的位置(Position)(Position)可用可用3x13x1列向量列向量( (位置矢量位置矢量) )表示表示: :2.2.方位描画方位描画 空间物体空间物体B B的方位的方位(Orientat
2、ion)(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系可由某个固接于此物体的坐标系BB的三个单位主矢量的三个单位主矢量xB,yB,zBxB,yB,zB相对于相对于参考坐标系参考坐标系A A的方向余弦组成的的方向余弦组成的3x33x3矩阵描画矩阵描画. . 3Robotics 数学根底2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示 上述矩阵称为旋转矩阵上述矩阵称为旋转矩阵, ,它是正交的它是正交的. .即即 假设坐标系假设坐标系B B可由坐标系可由坐标系A,A,经过绕经过绕A A的某一的某一坐标轴获得坐标轴获得, ,那么绕那么绕x,y,zx,y,z三轴的旋转矩阵分别三轴的旋转矩阵分别为
3、为4Robotics 数学根底2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示 这些旋转变换可以经过右图推导这些旋转变换可以经过右图推导这是绕这是绕Z Z轴的旋转轴的旋转. . 其它两轴只需把坐标次序互其它两轴只需把坐标次序互换可得上页结果换可得上页结果. .5Robotics 数学根底2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示旋转矩阵的几何意义旋转矩阵的几何意义: :1) 1) 可以表示固定于刚体上的坐标系可以表示固定于刚体上的坐标系BB对参对参考坐标系的姿态矩阵考坐标系的姿态矩阵. .2) 2) 可作为坐标变换矩阵可作为坐标变换矩阵. .它使得坐标系它使得坐标系BB中中的点的坐标的点
4、的坐标 变换成变换成AA中点的坐标中点的坐标 . .3) 3) 可作为算子可作为算子, ,将将BB中的矢量或物体变换到中的矢量或物体变换到AA中中. .6Robotics 数学根底2.1 2.1 位置和姿态的表示位置和姿态的表示3.3.位姿描画位姿描画 刚体位姿刚体位姿( (即位置和姿态即位置和姿态),),用刚体的方位用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示，即7Robotics 数学根底2.2 2.2 坐标变换坐标变换平移坐标变换平移坐标变换 坐标系坐标系AA和和BB具有一样的方具有一样的方位位, ,但原点不重合但原点不重合. .那么点那么点P
5、 P在两个在两个坐标系中的位置坐标系中的位置矢量满足下式矢量满足下式: :8Robotics 数学根底2.2 2.2 坐标变换坐标变换2.2.旋转变换旋转变换 坐标系坐标系AA和和BB有一样的原点但有一样的原点但方位不同方位不同, ,那么点那么点P P的的在两个坐标系中的位在两个坐标系中的位置矢量有如下关系置矢量有如下关系: :9旋转矩阵-举例例1 知转动坐标系OUVW中的两点aUVW(4，3，2) T和bUVW(6，2，4) T，假设OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。 解 Robotics 数学根底10旋转矩阵-举例例2 知参考坐标系OXYZ中的
6、两点aXYZ(4，3，2) T和bXYZ(6，2，4) T，假设OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。 解 Robotics 数学根底11 合成旋转矩阵合成旋转矩阵: :例例1：在：在动坐坐标中有一固定点中有一固定点 ，相，相对固固定参考坐定参考坐标系系 做如下运做如下运动： Rx, 90； R(z, 90)； R(y,90)。求点。求点 在固定参考坐在固定参考坐标系系 下的位置。下的位置。 解解1：用画图的简一方法：用画图的简一方法 Robotics 数学根底12解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R x, 90 R z, 90 R y, 9
7、0 2-14 2-15 2-16 Robotics 数学根底13 上述计算方法非常繁琐，可以经过一系列计算得到上述上述计算方法非常繁琐，可以经过一系列计算得到上述结果。将式结果。将式2-142-152-16联写为如下方式：联写为如下方式： R3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：为二者之间的关系矩阵，我们令： 定义定义1： 当当动动坐坐标标系系 绕绕固固定定坐坐标标系系 各各坐坐标标轴轴顺顺序序有有限限次转动时，其合成旋转矩阵为各根本旋转矩阵依旋转顺序左乘。次转动时，其合成旋转矩阵为各根本旋转矩阵依旋转顺序左乘。留意：旋转矩阵间不可以交换留意：旋转矩阵间不可以交换 Robotics 数学根底14
8、旋转次序对变换结果的影响Robotics 数学根底15合成旋转矩阵为了表示了表示绕OXYZOXYZ坐坐标系各系各轴的一的一连串有限串有限转动，可把根本旋，可把根本旋转矩矩阵连乘起来。由于矩乘起来。由于矩阵乘法不可交乘法不可交换，故完成，故完成转动的次序是重要的。例如，的次序是重要的。例如，先先绕OXOX轴转 角，然后角，然后绕OZOZ袖袖转 角，再角，再绕OYOY转 角；表示角；表示这种种转动的的旋旋转矩矩阵为 假设转动的次序变化为，先绕OY转角绕OX轴转角，然后绕OZ袖转角，再绕OX轴转角；表示这种转动的旋转矩阵为 Robotics 数学根底16除绕OXYZ参考系的坐标轴转动外，OUVW坐标
9、系也可以绕它本人的坐标轴转动。这时，合成旋转矩阵可按下述简单规那么求得：1. 两坐标系最初重合，因此旋转矩阵是一个33单位矩阵I3。2假设OUVW坐标系绕OXYZ坐标系的一坐标轴转动，那么可对上述旋转矩阵左乘相应的根本旋转矩阵。3假设OUVW坐标系绕本人的一坐标铀转动，那么可对上述旋转矩阵右乘相应的根本旋转矩阵合成旋转矩阵规那么先先绕OYOY轴转 角，角，然后然后绕OWOW袖袖转角，再角，再绕OUOU转角；表示角；表示这种种转动的旋的旋转矩矩阵为Robotics 数学根底17Robotics 数学根底2.2 2.2 坐标变换坐标变换3.3.复合变换复合变换 普通情况原点普通情况原点既不重和既不
10、重和, ,方位也不方位也不同同. .这时有这时有: : (2- (2-13)13)18Robotics 数学根底2.2 2.2 坐坐标变换标变换例例2.1 2.1 知坐知坐标标系系BB的初始位姿与的初始位姿与AA重合重合, ,首首先先BB相相对对于于AA的的ZAZA轴转轴转30,30,再沿再沿AA的的XAXA轴轴挪挪动动1212单单位位, ,并沿并沿AA的的YAYA轴轴挪挪动动6 6单单位位. .求位置求位置矢量矢量APB0APB0和旋和旋转转矩矩阵阵BAR.BAR.设设点点p p在在BB坐坐标标系中系中的位置的位置为为BP=3,7,0,BP=3,7,0,求它在坐求它在坐标标系系AA中的位中的
11、位置置. .19开场20普通来说，n维空间的齐次坐标表示是一个n+1维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。 式中式中i, j, ki, j, k为为x, y, z x, y, z 轴上的单位轴上的单位矢量，矢量，a= , b= , c= a= , b= , c= ，w w为比例系数为比例系数 显然，齐次坐标表达并不是独一的，随显然，齐次坐标表达并不是独一的，随w w值的不同而不同。在计算机图学中，值的不同而不同。在计算机图学中，w w 作为通用比例因子，它可取恣意正值，但作为通用比例因子，它可取恣意正值，但在机器人的运动分析中，总是取在
12、机器人的运动分析中，总是取w=1 w=1 。列矩阵列矩阵Robotics 数学根底2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 - 齐次坐标齐次坐标21例：可以表示为：可以表示为： V=3 4 5 1T V=3 4 5 1T 或或 V=6 8 10 2T V=6 8 10 2T 或或 V=-12 -16 -20 -4T V=-12 -16 -20 -4T Robotics 数学根底2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 - 齐次坐标齐次坐标22 齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在OXYZ坐标系中表示是独一的x、y、z而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。 Robotics 数
13、学根底2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 - 齐次坐标齐次坐标23 几个特定意义的齐次坐标：0, 0, 0, nT坐标原点矢量的齐次坐标，n为恣意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。Robotics 数学根底2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 - 齐次坐标齐次坐标24Robotics 数学根底2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换1.1.齐次变换齐次变换 (2-13) (2-13)式
14、可以写为式可以写为: : (2-14)(2-14)P P点在点在AA和和BB中的位置矢量分别增广为中的位置矢量分别增广为: :而齐次变换公式和变换矩阵变为而齐次变换公式和变换矩阵变为: : (2- (2-15,16)15,16)25Robotics 数学根底2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换2.2.平移齐次坐标变换平移齐次坐标变换 A A分别沿分别沿BB的的X X、Y Y、Z Z坐标轴平移坐标轴平移a a、b b、c c间隔的平移齐次变换矩阵写为：间隔的平移齐次变换矩阵写为：用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改动用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改动特性。特性。例例2-3:2-3:求
15、矢量求矢量2i+3j+2k2i+3j+2k被矢量被矢量4i-3j+7k4i-3j+7k平移得平移得到的新矢量到的新矢量. .26Robotics 数学根底2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换3.3.旋转齐次坐标变换旋转齐次坐标变换将上式增广为齐次式：将上式增广为齐次式：27Robotics 数学根底2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 引入齐次变换后，引入齐次变换后，延续的变换可以变延续的变换可以变成矩阵的连乘方式。成矩阵的连乘方式。计算简化。计算简化。 例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕Z轴转90度后，再绕Y轴转90度。例2-5：在上述根底上再平移4，-3，7。28举例例阐明：明：
16、例例1：动坐坐标系系0起起始始位位置置与与固固定定参参考考坐坐标系系0重重合合,动坐坐标系系0做做如如下下运运动：R(Z,90) Ry,90 Trans(4，-3, 7)，求合成矩，求合成矩阵 解解1：用画图的方法：用画图的方法： Robotics 数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换相相对变换对变换29解解2：用计算的方法：用计算的方法 以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。假设我们做如下变换，也可以得到一样的结果：假设我们做如下变换，也可以得到一样的结果： 例例2：先先平平移移Trans (4,-3,7)；绕当当前前 轴
17、转动90；绕当前当前 轴转动90；求合成旋；求合成旋转矩矩阵。 2-202-20Robotics 数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换相相对变换对变换30解解1：用画图的方法：用画图的方法 解解2：用：用计算的方法算的方法 2-212-21Robotics 数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换相相对变换对变换31Robotics 数学根底2.3 2.3 齐次坐标变换齐次坐标变换 由矩阵乘法没有由矩阵乘法没有交换性，可知变换次交换性，可知变换次序对结果影响很大。序对结果影响很大。32式式2-202-20和和式式2-212-21无无论论在在方方式式上上，还还是是在在结结果果
18、上上都都是是一一致致的的。因因此此我们有如下的结论：我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2 2种情况：种情况：定定义义1 1：假假设设一一切切的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标标轴轴旋旋转转或或平平移移，那么依次左乘，称为绝对变换。那么依次左乘，称为绝对变换。定定义义2 2：假假设设动动坐坐标标系系相相对对于于本本身身坐坐标标系系的的当当前前坐坐标标轴轴旋旋转转或或平平移移，那那么么齐次变换为依次右乘，称为相对变换。齐次变换为依次右乘，称为相对变换。 结结果果均均为为为为动动坐坐标标系系在在固固定定坐坐标标中中的
19、的位位姿姿位位置置+ +姿姿态态。相相对对于于固固定定坐坐标系，标系， 也就是说，动坐标系绕本身坐标轴做齐次变换，要到达绕固定坐标系相等也就是说，动坐标系绕本身坐标轴做齐次变换，要到达绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。的结果，就应该用相反的顺序。 Robotics 数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换相相对变换对变换33Robotics 数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换绕绕固定固定轴轴x-y-zx-y-z旋旋转转 RPY RPY角角34Robotics 数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换z-y-xz-y-x欧拉角欧拉角 35Robotics
20、数学根底2.3 2.3 齐齐次坐次坐标变换标变换z-y-zz-y-z欧拉角欧拉角36Robotics 数学根底2.3 2.3 齐次坐标变换矩阵的几何意义齐次坐标变换矩阵的几何意义37习题1 1：OO与与OO初初始始重重合合，OO作作如如下下运运动：绕Z Z轴转动3030 ；绕X X轴转动6060 ；绕Y Y轴转动9090 。求。求T T。 38习题2 2：OO与与OO初始重合，初始重合，OO作如下运作如下运动：绕X X轴转动9090；绕w w轴转动9090；绕Y Y轴转动9090。求。求 T T；改改动旋旋转顺序，序，动系如何旋系如何旋转才干才干获得一得一样的的结果。果。 解解： 解解： 绕Z
21、 Z轴转动9090； 绕X X轴转动9090； 绕Y Y轴转动9090。 解解： 绕v v轴转动9090； 绕u u轴转动9090； 绕w w轴转动9090。 39习题3 3： 矢量矢量 在在OO中表示中表示为 ，OO相相对于于OO的的齐次次变换为： 解：解：1 1 40解：解：2 2 解：解：3 3 41Robotics 数学根底2.4 2.4 物体的变换及物体的变换及 逆变换逆变换1.1.物体位置描画物体位置描画 物体可以由固物体可以由固定于其本身坐标系定于其本身坐标系上的假设干特征点上的假设干特征点描画。物体的变换描画。物体的变换也可经过这些特征也可经过这些特征点的变换获得。点的变换获得
22、。42Robotics 数学根底2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换1.1.物体位置描画物体位置描画43Robotics 数学根底2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换2.2.齐次坐标的复合变换齐次坐标的复合变换BB相对于相对于A: ABT; A: ABT; CC相对于相对于B: BCT;B: BCT;那么那么CC相对于相对于A:A:44Robotics 数学根底2.4 2.4 物体的物体的变换变换及逆及逆变换变换3.3.齐齐次坐次坐标标的逆的逆变换变换BB相相对对于于A: ABT; A: ABT; AA相相对对于于B: BAT;B: BAT;两者互两者互为为逆矩
23、逆矩阵阵. .求逆的方法求逆的方法: :1.1.直接求直接求ABT-1ABT-12.2.简简化方法化方法45Robotics 数学根底2.4 2.4 物体的变换及逆变换物体的变换及逆变换3.3.齐次坐标的逆变换齐次坐标的逆变换普通普通, ,假设假设那么那么46Robotics 数学根底2.4 2.4 物体的变换物体的变换 及逆变换及逆变换3.3.变换方程初步变换方程初步B:B:基坐标系基坐标系T:T:工具坐标系工具坐标系S:S:任务台坐标任务台坐标系系G:G:目的坐标系目的坐标系 或工件坐标或工件坐标系系满足方程满足方程47习题习题4 4： 如下图，如下图，1 1写出写出 、 、 、 ；2 2
24、求求 解：解：1 1 48解解2 2：根据定义：根据定义2 2，绕本身旋转，右乘，绕本身旋转，右乘49Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋通用旋转变换转变换1.1.通用旋通用旋转变换转变换公式公式求求: :绕绕从原点出从原点出发发的的f f旋旋转转角角时时的旋的旋转转矩矩阵阵. .S:S:物体上固接的坐物体上固接的坐标标系系T:T:参考坐参考坐标标系系C:ZC:Z轴轴与与f f重合的重合的辅辅助坐助坐标标系系xTYTZTTCSzSf, ZcO50Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋通用旋转变换转变换在在SS上取一点上取一点p,p,其坐其坐标为标为向量向量P,P,它它绕绕
25、TT中中直直线线f f旋旋转转角。角。1 1 将将SS上上p p点坐点坐标变换标变换到到TT中，其坐中，其坐标为标为2 2 直接直接计计算算绕绕f f旋旋转转的坐的坐标为标为， 目前上式在目前上式在TT无法直接求。采取如下步无法直接求。采取如下步骤骤：3 3 建立建立辅辅助坐助坐标标系系CC，使其，使其Z Z轴轴与与f f重合。重合。这样这样问题问题 变为绕变为绕ZCZC旋旋转转。将。将SS中的点中的点p p变换变换到到CC中，中，变换变换 为为：4 4 在在CC中中绕绕Z Z轴轴旋旋转转有：有：5 5 将将CC中坐中坐标变换标变换回回TT中有，中有，51Robotics 数学根底2.5 2.
26、5 通用旋转变换通用旋转变换步骤步骤2 2和和5 5中的结果应该一样，中的结果应该一样，即：即：由于由于CC的的Z Z轴与轴与f f重合重合, ,所以所以52Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换根据坐标轴的正交性根据坐标轴的正交性, , ,有有令令 , ,那么那么53Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋通用旋转变换转变换2.2.等效等效转转角与角与转轴转轴给给出任一旋出任一旋转变换转变换, ,可以由上式求得可以由上式求得进进展等效旋展等效旋转转角的角的转轴转轴. .知旋知旋转变换转变换R,R,令令R=Rot(f,),R=Rot(f,),即即有有将上式将
27、上式对对角角线线元素相加元素相加, ,并并简简化得化得54Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换非对角元素成对相减非对角元素成对相减, ,有有平方后有平方后有设设 , ,55Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋通用旋转变换转变换例例2-7 2-7 一坐一坐标标系系BB与参考系重合与参考系重合, ,现现将其将其绕经绕经过过原点的原点的轴轴 转转30,30,求求转转动动后的后的B.B.以以 , ,代入算式代入算式, ,有有56Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋转变换通用旋转变换普通情况普通情况, ,假设假设f f不经过原点不经过原点, ,而过而
28、过q q点点(qx,qy,qz),(qx,qy,qz),那么齐次变换矩阵为那么齐次变换矩阵为: :其中其中, ,57Robotics 数学根底2.5 2.5 通用旋通用旋转变换转变换例例2-8 2-8 一坐一坐标标系系BB与参考系重合与参考系重合, ,现现将其将其绕经绕经过过q=1,2,3Tq=1,2,3T的的轴轴 转转30,30,求求转动转动后的后的B.B.以以 , ,代入算式代入算式, ,有有58Robotics 数学根底MatlabMatlab运用与矩阵计算运用与矩阵计算MatlabMatlab是美国是美国MathworksMathworks公司推出的数值公司推出的数值计算软件计算软件.
29、 .在数值计算及科学研讨中在数值计算及科学研讨中, ,是其是其它言语无法相比的它言语无法相比的. .其主要特点有其主要特点有: :1.1.言语简约紧凑言语简约紧凑, ,运用方便灵敏运用方便灵敏, ,库含数极其丰库含数极其丰富富. .2.2.具有非常多的矩阵函数具有非常多的矩阵函数, ,矩阵计算异常方便矩阵计算异常方便. .3.3.具有多种功能的工具包具有多种功能的工具包. .4.4.具有与具有与FORTRANFORTRAN、C C等同样多的运算符和构造等同样多的运算符和构造控制指令的同控制指令的同 时，语法限制却不严厉，使程序设计很自在时，语法限制却不严厉，使程序设计很自在. .5.5.图形功
30、能强大图形功能强大, ,数据可视化好数据可视化好. .6.6.原程序和库函数代码公开原程序和库函数代码公开. .但但. .程序执行效率较低程序执行效率较低. .本节主要引见其矩阵计算在机器人分析中的运本节主要引见其矩阵计算在机器人分析中的运用用. .59Robotics 数学根底MatlabMatlab运用与矩阵计算运用与矩阵计算矩阵的输入矩阵的输入: :1)1)矩阵的直接输入矩阵的直接输入.(.(操作操作) ) 以以 作为首尾作为首尾, ,行分隔用行分隔用; ;, ,元素分隔用元素分隔用, ,或空格或空格. .2)2)矩阵编辑器矩阵编辑器.(.(操作操作) ) 先在任务区定义矩阵先在任务区定
31、义矩阵, ,用编辑器修正矩阵用编辑器修正矩阵. .3)3)用函数创建矩阵用函数创建矩阵, ,如如.(.(操作操作) ) zeros(m,n): zeros(m,n):零矩阵零矩阵 ones(m,n): ones(m,n):全部元素都为全部元素都为1 1的矩阵的矩阵 eye(m,n): eye(m,n):单位阵单位阵 randn(m,n): randn(m,n):正态分布的随机矩阵正态分布的随机矩阵 vander(A): vander(A):由矩阵由矩阵A A产生的产生的VandermondeVandermonde矩阵矩阵60Robotics 数学根底MatlabMatlab运用与矩阵计算运用与
32、矩阵计算矩阵的计算矩阵的计算.(.(操作操作) )1)1)加减加减2)2)转置转置3)3)乘法乘法4)4)除法与线性方程组除法与线性方程组5)5)逆逆6)6)幂和指数幂和指数61Robotics 数学根底MatlabMatlab运用与矩阵计算运用与矩阵计算例例: : 计算计算: :62Robotics 数学根底习题:2.3:2.3坐坐标系系BB初始与初始与AA重合重合, ,让BB绕ZBZB旋旋转角角; ;然后再然后再绕XBXB转角角. .求把求把BPBP变为APAP的旋的旋转矩矩阵. .63Robotics 数学根底习题:2.3:2.3变化化坐坐标系系BB初始与初始与AA重合重合, ,让BB绕
33、ZBZB旋旋转角角; ;然后再然后再绕XAXA转角角. .求把求把BPBP变为APAP的旋的旋转矩矩阵. .64Robotics 数学根底习题:2.3:2.3变化化坐坐标系系BB初始与初始与AA重合重合, ,让BB绕ZBZB旋旋转角角; ;然后再然后再绕XAXA转角角. .求把求把BPBP变为APAP的旋的旋转矩矩阵. .65Robotics 数学根底习题习题:2.9:2.9将图将图(a)(a)变换到变换到(b).(b).66Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解一解一67Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解一解一68Robotics 数学根底习题习题:2
34、.9 :2.9 解一解一69Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解一解一70Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解一解一71Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解一解一72Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解二解二73Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解二解二74Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解二解二75Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解三解三76Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解三解三77Robotics 数学根底习题习题:2.9 :2.9 解三解三78谢谢！
