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1、专题五立体几何第3讲立体几何中的向量方法主干知识梳理热点分类突破真题与押题1.以以多多面面体体(特特别别是是棱棱柱柱、棱棱锥锥或或其其组组合合体体)为为载载体体，考考查查空空间间中中平平行行与与垂垂直直的的证证明明，常常出出现现在在解解答答题题的的第第(1)问问中中，考考查查空空间间想想象象能能力力，推推理理论论证证能能力力及及计计算算能能力力，属属低低中中档问题档问题.2.以以多多面面体体(特特别别是是棱棱柱柱、棱棱锥锥或或其其组组合合体体)为为载载体体，考考查查空空间间角角(主主要要是是线线面面角角和和二二面面角角)的的计计算算，是是高高考考的的必必考考内容，属中档题内容，属中档题.3.以
2、以已已知知结结论论寻寻求求成成立立的的条条件件(或或是是否否存存在在问问题题)的的探探索索性性问问题题，考考查查逻逻辑辑推推理理能能力力、空空间间想想象象能能力力以以及及探探索索能能力力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题考情解读3主干知识梳理1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设设直直线线l的的方方向向向向量量为为a(a1，b1，c1).平平面面、的的法法向向量分别为量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同以下相同).(1)线面平行线面平行laa0a1a2b1b2c1c20
3、.(2)线面垂直线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算设设直直线线l，m的的方方向向向向量量分分别别为为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平平面面、的的法法向向量量分分别别为为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同以下相同).(1)线线夹角线线夹角(2)线面夹角线面夹角(3)面面夹角面面夹角设半平面设半平面、的夹角为的夹角为(0)，提提醒醒求求二二面
4、面角角时时，两两法法向向量量的的夹夹角角有有可可能能是是二二面面角的补角，要注意从图中分析角的补角，要注意从图中分析.3.求空间距离求空间距离直直线线到到平平面面的的距距离离，两两平平行行平平面面的的距距离离均均可可转转化化为为点到平面的距离，点点到平面的距离，点P到平面到平面的距离：的距离：d (其中其中n为为的法向量，的法向量，M为为内任一点内任一点).热点一利用向量证明平行与垂直热点二利用向量求空间角热点三利用空间向量求解探索性问题热点分类突破例1如图，在直三棱柱如图，在直三棱柱ADEBCF中，面中，面ABFE和面和面ABCD都是正方形都是正方形且互相垂直，且互相垂直，M为为AB的中点，
5、的中点，O为为DF的中点的中点.运用向量方法证明：运用向量方法证明：(1)OM平面平面BCF；热点一利用向量证明平行与垂直思维启迪 从从A点点出出发发的的三三条条直直线线AB、AD，AE两两两两垂垂直直,可建立空间直角坐标系可建立空间直角坐标系.证明方法一由题意，得方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以两两垂直，以A为原点建立如图所示的空为原点建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系.棱柱棱柱ADEBCF是直三棱柱，是直三棱柱，AB平面平面BCF， 是平面是平面BCF的一个法向量，的一个法向量，且且OM 平面平面BCF，OM平面平面BCF.(2)平面平面MDF平面平面EFCD.证明 设平
6、面设平面MDF与平面与平面EFCD的一个法向量分别为的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).同理可得同理可得n2(0,1,1).n1n20，平面平面MDF平面平面EFCD.又又OM 平面平面BCF，OM平面平面BCF.(2)由题意知，由题意知，BF，BC，BA两两垂直，两两垂直，OMCD，OMFC，又，又CDFCC，OM平面平面EFCD.又又OM 平面平面MDF，平面平面MDF平面平面EFCD.(1)要要证证明明线线面面平平行行，只只需需证证明明向向量量 与与平平面面BCF的的法法向向量量垂垂直直；另另一一个个思思路路则则是是根根据据共共面面向向量量定定理理证证明
7、向量明向量 与与 ， 共面共面.(2)要要证证明明面面面面垂垂直直，只只要要证证明明这这两两个个平平面面的的法法向向量量互互相相垂垂直直；也也可可根根据据面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理证证明明直直线线OM垂垂直直于于平平面面EFCD，即即证证OM垂垂直直于于平平面面EFCD内内的的两两条条相相交交直直线线,从从而而转转化化为为证证明明向向量量 与与 向向量、量、 垂直垂直.思维升华变式训练1如图，在四棱锥如图，在四棱锥PABCD中，中，PA平平面面ABCD，底面，底面ABCD是菱形，是菱形，PAAB2，BAD60，E是是PA的中点的中点.(1)求证：直线求证：直线PC平面平面BDE；证明
8、设设ACBDO.因为因为BAD60，AB2，底面，底面ABCD为菱形，为菱形，所以所以BO1，AOCO ，ACBD.如图，以如图，以O为坐标原点，以为坐标原点，以OB，OC所所在直线分别为在直线分别为x轴，轴，y轴，过点轴，过点O且平行且平行于于PA的直线为的直线为z轴，建立空间直角坐标轴，建立空间直角坐标系系Oxyz，(1)设平面设平面BDE的法向量为的法向量为n1(x1，y1，z1)，所以所以PC平面平面BDE.故故BDPC.(2)求证：求证：BDPC；例2如图，五面体中，四边形如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，是矩形，ABEF，AD平面平面ABEF，且且AD1，AB EF2，AFBE
9、2 ，P、Q分分别为别为AE、BD的中点的中点.(1)求证：求证：PQ平面平面BCE；热点二利用向量求空间角思维启迪 易易知知PQ为为ACE的中位线；的中位线；证明连连接接AC，四四边边形形ABCD是是矩矩形形，且且Q为为BD的中点，的中点，Q为为AC的中点，的中点，又在又在AEC中，中，P为为AE的中点，的中点，PQEC，EC 面面BCE，PQ 面面BCE，PQ平面平面BCE.(2)求二面角求二面角ADFE的余弦值的余弦值.思维启迪 根据根据AD平面平面ABEF构建空间直角坐标系构建空间直角坐标系.解如图，取如图，取EF的中点的中点M，则，则AFAM，以以A为坐标原点，以为坐标原点，以AM、
10、AF、AD所在直所在直线分别为线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系.则则A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(0,2,0).令令x1，则，则y1，z2，故故n(1,1,2)是平面是平面DEF的一个法向量的一个法向量.由图可知所求二面角为锐角，由图可知所求二面角为锐角，(1)运运用用空空间间向向量量坐坐标标运运算算求求空空间间角角的的一一般般步步骤骤：建建立立恰恰当当的的空空间间直直角角坐坐标标系系；求求出出相相关关点点的的坐坐标标；写写出出向向量量坐坐标标；结结合合公公式式进进行行论论证、计算；证、计算；转化为几何结论转化为几何结论.思维升华(2)求求
11、空空间间角角注注意意：两两条条异异面面直直线线所所成成的的角角不不一一定定是是直直线线的的方方向向向向量量的的夹夹角角，即即cos |cos |.两两平平面面的的法法向向量量的的夹夹角角不不一一定定是是所所求求的的二二面面角角，有有可可能能为为两两法法向向量量夹夹角角的的补补角角.直直线线和和平平面面所所成成的的角角的的正正弦弦值值等等于于平平面面法法向向量量与与直直线线方方向向向向量量夹夹角角的的余余弦弦值值的的绝绝对对值值，即即注注意意函函数数名称的变化名称的变化.思维升华变式训练2 如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥OABC的侧棱的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且两两垂直，且OA1，OBO
12、C2，E是是OC的中点的中点.(1)求求O点到面点到面ABC的距离；的距离；解以以O为原点，为原点，OB、OC、OA所在直线所在直线分别为分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，如图如图.则有则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).设平面设平面ABC的法向量为的法向量为n1(x，y，z)，取取n1(1,1,2)，(2)求二面角求二面角EABC的正弦值的正弦值.设平面设平面EAB的法向量为的法向量为n(x，y，z)，取取n(1,2,2).由由(1)知平面知平面ABC的一个法向量为的一个法向量为n1(1,1,2).例3如图，在直三棱柱如图，在
13、直三棱柱ABCA1B1C1中，中，ABBC2AA1，ABC90，D是是BC的中点的中点.(1)求证：求证：A1B平面平面ADC1；热点三利用空间向量求解探索性问题由由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，为矩形，O为为A1C的中点的中点.证明连接连接A1C，交，交AC1于点于点O，连接，连接OD.又又D为为BC的中点，的中点，所以所以OD为为A1BC的中位线，的中位线，所以所以A1BOD.因为因为OD 平面平面ADC1，A1B 平面平面ADC1，所以所以A1B平面平面ADC1.(2)求二面角求二面角C1ADC的余弦值；的余弦值；解由由ABCA1B1C1是
14、直三棱柱，且是直三棱柱，且ABC90，得得BA，BC，BB1两两垂直两两垂直.以以BC，BA，BB1所在直线分别为所在直线分别为x，y，z轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.设设BA2，则，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，易知平面易知平面ADC的一个法向量为的一个法向量为v(0,0,1).因为二面角因为二面角C1ADC是锐二面角，是锐二面角，所以二面角所以二面角C1ADC的余弦值为的余弦值为 .(3)试试问问线线段段A1B1上上是是否否存存在在点点E，使使AE与与DC1成成60角？若存在，确定角
15、？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由点位置；若不存在，说明理由.解假设存在满足条件的点假设存在满足条件的点E.因为点因为点E在线段在线段A1B1上，上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设故可设E(0，1)，其中，其中02.因为因为AE与与DC1成成60角，角，所以当点所以当点E为线段为线段A1B1的中点时，的中点时，AE与与DC1成成60角角.空空间间向向量量最最适适合合于于解解决决这这类类立立体体几几何何中中的的探探索索性性问问题题，它它无无需需进进行行复复杂杂的的作作图图、论论证证、推推理理，只只需需通通过过坐坐标标运运算算进进行行判判断断.解解题题时时，把把要要成成立立
16、的的结结论论当当作作条条件件，据据此此列列方方程程或或方方程程组组，把把“是是否否存存在在”问问题题转转化化为为“点点的的坐坐标标是是否否有有解解,是是否否有有规规定定范范围围内内的的解解”等等，所所以以为为使使问问题题的的解解决更简单、有效，应善于运用这一方法决更简单、有效，应善于运用这一方法.思维升华变式训练3如图，在三棱锥如图，在三棱锥PABC中，中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，点，点D为为BC的中点的中点.(1)求二面角求二面角APDB的余弦值；的余弦值；解ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB，PCAPCB，PCAC，PCCB，又又ACCBC，PC平面平面AC
17、B，且，且PC，CA，CB两两垂直，两两垂直，故以故以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以CB，CA，CP所在直线为所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，轴建立空间直角坐标系，则则C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，设平面设平面PAD的一个法向量为的一个法向量为n(x，y，z)，设二面角设二面角APDB的平面角为的平面角为，且，且为钝角，为钝角，(2)在在直直线线AB上上是是否否存存在在点点M，使使得得PM与与平平面面PAD所所成成角角的的正正弦弦值值为为 ，若若存存在在，求求出出点点M的的位位置置；若不存在，说明理由若不存在，说明理由.解方法一存在，
18、方法一存在，M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点的中点.解得解得x1或或x2，M(1,1,0)或或M(2,4,0)，在在直直线线AB上上存存在在点点M，且且当当M是是AB的的中中点点或或A是是MB的中点时，的中点时，使得使得PM与平面与平面PAD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .方法二存在，方法二存在，M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点的中点.M是是AB的中点或的中点或A是是MB的中点的中点.在在直直线线AB上上存存在在点点M，且且当当M是是AB的的中中点点或或A是是MB的中点时，的中点时，使得使得PM与平面与平面PAD所成角的正弦值为所成角的正弦值为 .空空间间向向量量在在处
19、处理理空空间间问问题题时时具具有有很很大大的的优优越越性性，能能把把“非非运运算算”问问题题“运运算算”化化，即即通通过过直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量，把把立立体体几几何何中中的的平平行行、垂垂直直关关系系，各各类类角角、距距离离以以向向量量的的方方式式表表达达出出来来，把把立立体体几几何何问问题题转转化化为为空空间间向向量量的的运运算算问问题题.应应用用的的核核心心是是充充分分认认识识形形体体特特征征，进进而而建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，通通过过向向量量的的运运算算解解答答问问题题，达达到到几几何何问问题题代代数数化化的的目目的的，同同时时注注意意运算的
20、准确性运算的准确性.本讲规律总结提提醒醒三三点点：(1)直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量所所成成角角的的余余弦弦值值的的绝绝对对值值是是线线面面角角的的正正弦弦值值，而而不不是是余余弦弦值值.(2)求求二二面面角角除除利利用用法法向向量量外外，还还可可以以按按照照二二面面角角的的平平面面角角的的定定义义和和空空间间任任意意两两个个向向量量都都是是共共面面向向量量的的知知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和和二二面面角角的的棱棱垂垂直直的的向向量量，并并且且两两个个向向量量的的方方向向均均指指向向棱棱或或者者都都从从棱棱指
21、指向向外外，那那么么这这两两个个向向量量所所成成的的角角的的大大小小就是二面角的大小就是二面角的大小.如图所示如图所示.真题感悟押题精练真题与押题真题感悟(2014北北京京)如如图图，正正方方形形AMDE的的边边长长为为2，B，C分分别别为为AM，MD的的中中点点，在在五五棱棱锥锥PABCDE中中，F为为棱棱PE的的中中点点，平平面面ABF与与棱棱PD，PC分分别别交交于于点点G，H.真题感悟(1)求证：求证：ABFG；证明在正方形在正方形AMDE中，因为中，因为B是是AM的中点，的中点，所以所以ABDE.又因为又因为AB 平面平面PDE，DE 平面平面PDE，所以所以AB平面平面PDE.因因
22、为为AB 平平面面ABF，且且平平面面ABF平平面面PDEFG，所以所以ABFG.真题感悟(2)若若PA底底面面ABCDE，且且PAAE，求求直直线线BC与与平面平面ABF所成角的大小，并求线段所成角的大小，并求线段PH的长的长.解因为因为PA底面底面ABCDE，所以所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系Axyz，则则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)， (1,1,0).真题感悟设平面设平面ABF的一个法向量为的一个法向量为n(x，y，z)，令令z1，则，则y1，所以，所以n(0，1,1).设直线设直线BC与平
23、面与平面ABF所成角为所成角为，真题感悟设点设点H的坐标为的坐标为(u，v，w).即即(u，v，w2)(2,1，2)，所以所以u2，v，w22.真题感悟即即(0，1,1)(2，22)0，押题精练如图所示，已知正方形如图所示，已知正方形ABCD和矩形和矩形ACEF所在的所在的平面互相垂直，平面互相垂直，AB ，AF1.(1)求直线求直线DF与平面与平面ACEF所成角的正弦值；所成角的正弦值；解以以C为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以CD，CB，CE所在直线为所在直线为x轴，轴，y轴，轴，z轴，建立如图所示轴，建立如图所示的空间直角坐标系，的空间直角坐标系，押题精练因因为为平平面面ABCD平平面面ACEF，且且平平面面ABCD平平面面ACEFAC，押题精练押题精练
