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1、北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 5 5 三角形内角和定理三角形内角和定理内角三兄弟之争内角三兄弟之争 在在一一个个直直角角三三角角形形里里住住着着三三个个内内角角，平平时时，它它们们三三兄兄弟弟非非常常团团结结. .可可是是有有一一天天，老老二二突突然然不不高高兴兴，发发起起脾脾气气来来，它它指指着着老老大大说说：“你你凭凭什什么么度度数数最最大大，我我也也要要和和你你一一样样大大！”“”“不不行行啊啊！”老老大大说说：“这这是是不不可可能能的的，否否则则，我我们们这这个个家就再也围不起来了家就再也围不起来了”“”“为什么？为什么？” 老二很纳闷老二很纳闷. . 同
2、学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？1 .1 .知识目标知识目标 （1）三角形的内角和定理的证明.（2）掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题. (3)理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用. 2.2.教学重点教学重点（1）三角形内角和定理的证明.（2）三角形内角和定理的推论.3.3.教学难点教学难点（1）三角形内角和定理的证明方法. (2)三角形的外角、三角形内角和定理的推论.我们知道三角形三个内角的和等于我们知道三角形三个内角的和等于180180. .你还记得这个结论的探索你还记得这个结论的探索过程吗过程吗? ?112ABD23C(1)(1)如图如图, ,当时
3、我们是把当时我们是把A A移到移到了了1 1的位置的位置,B B移到了移到了2 2的位的位置置. .如果不实际移动如果不实际移动A A和和B B, ,那那么你还有其它方法可以达到同样么你还有其它方法可以达到同样的效果吗的效果吗? ?(2)(2)根据前面的公理和定理根据前面的公理和定理, ,你能用自己的语言说说这一结论的证你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗明思路吗? ?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗? ?与同伴交流与同伴交流. .三角形内角和定理三角形内角和定理: : 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180. .已知已知: :
4、如图如图,ABCABC . .求证求证:A A +B B +C C =180=180. .证明证明:作作BCBC的延长线的延长线CDCD,过点过点C C作作CECE ABAB,则则你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗? 1= A A(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等), 2= B B(两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等). 又又1+ 2+3=180 (平角的定义平角的定义), A A+ B B+ACBACB=180 (等量代换等量代换).分析分析: :延长延长BCBC到到D D, ,过点过点C C作射线作射线CECEABAB, ,这样这
5、样, ,就相当于把就相当于把A A移到了移到了1 1的位置的位置, ,把把B B移到了移到了2 2的位置的位置. .这里的这里的CDCD,CECE称为称为辅助线辅助线,辅辅助线通常助线通常画成虚线画成虚线.ABCE213D 在证明三角形内角和定理时在证明三角形内角和定理时, ,小明的想法是把三个角小明的想法是把三个角“凑凑”到到A A处处, ,他过点他过点A A作直线作直线PQPQBCBC( (如图如图),),他的想法可以吗他的想法可以吗? ?请你帮小明把想法化为实际行动请你帮小明把想法化为实际行动. .小明的想法已经变为现实小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发由此你受到什么启发?你有新
6、的证法吗你有新的证法吗?证明证明:过点过点A A作作PQPQ BCBC,则则ABC 1= B B(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等), 2= C C(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等),又又1+ 2+33=1800 (平角的定义平角的定义), BACBAC+ B B+C C=1800 (等量代换等量代换).PQ231根据下面的图形根据下面的图形, ,写出相应的证明写出相应的证明. .你还能想出其它证法吗你还能想出其它证法吗?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM试一试试一试三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理 三角
7、形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180. . ABCABC中中,A A+B B+C C= =180.A A+B B+C C= =180的几种变形的几种变形:wA A= =180 (B B+C C).).wB B= =180(A A+C C).).wC C= =180 (A A+B B).).wA A+B B= =180 C C. .wB B+C C= =180 A A. .wA A+C C= =180 B B. .这里的结论这里的结论, ,以后可以直接运用以后可以直接运用. . ABC观察下面一组图形中观察下面一组图形中1 1在各个图形中的位置，你能发现它们在各个图形中的位置，你
8、能发现它们的共同特征吗？的共同特征吗？B BC CA A1D DA AC CB B1D DA AC CB B1D D外角定义：外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角叫做三角形的外角. .三个特征三个特征: : 1. 11. 1的顶点在三角形的一个顶点上的顶点在三角形的一个顶点上; ; 2. 1 2. 1的一条边是三角形的一条边的一条边是三角形的一条边; ; 3. 1 3. 1的另一条边是三角形的某条边的延长线的另一条边是三角形的某条边的延长线. . 想一想想一想:1、每一个三角形有几个外角？、每一个三角形有几个外角？2、每一个顶点处相
9、对应的外角有、每一个顶点处相对应的外角有几个？几个？3、这些外角中有几个外角相等？、这些外角中有几个外角相等？4、三角形的每一个外角与三角形、三角形的每一个外角与三角形的三个内角有什么位置关系的三个内角有什么位置关系?画一个三角形，再画出它所有的外角画一个三角形，再画出它所有的外角.ABDEFC外外角角ABDEFC外外角角归纳归纳：1、每一个三角形都有、每一个三角形都有个个外角外角;2、每一个顶点相对应的外角都有、每一个顶点相对应的外角都有个个; 4、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和、一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角两个不相邻的内角.3、这、这6个外角中有个
10、外角中有3个外角相等个外角相等.探究探究: :你能用推理的方法来论证你能用推理的方法来论证ACDACD= =B B+ +A A吗？吗？你能用你能用几种方法呢？相信你一定能行！几种方法呢？相信你一定能行！D DA AB BC CD ACDACD+ ACBACB=180又又 A A+ B B+ ACBACB=180 A A+ B B= ACDACD 解：解：ABC ACDACD =180 ACBACB A A+ B B =180 ACBACB（邻补角的定义）（邻补角的定义）（三角形内角和（三角形内角和180 ）方法一方法一: :1（作（作CECE/BABA）由平行线的性质由平行线的性质把两个内角转
11、换把两个内角转换可得可得AE E方法二：方法二：擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看擅长画平行线的小明用另一种方法解释了这个性质，看动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下动画，你知道他是怎么解释的吗？哪位同学证明一下. .C CB BD D三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. .D DA AC CB B ACDACD= A A+ B BACDACDA A ACDACD B B结论：结论：3.三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有
12、怎样的大小三角形的一个外角与它不相邻的任意一个内角有怎样的大小 关系关系?三角形外角的性质：三角形外角的性质：性质性质1、三角形的、三角形的一个外角一个外角等于等于与它与它不相邻的两个内角不相邻的两个内角的的和和. B B+C C=CADCAD 性质性质2、三角形的、三角形的一个外角一个外角大于大于任何任何一个与它一个与它不相邻的内角不相邻的内角. CADCAD B B， CADCAD C CA AB BC CD D证明：证明：EACEAC=B B+C C ( (三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和) ) B B=C C ( (已知已知)
13、)B B= = EACEAC( (等式性质等式性质) )A AC CD DB BE E例例1 1 已知已知: :如图在如图在ABCABC中中, ,ADAD平分外角平分外角EACEAC,B B=C C. . 求证：求证：ADADBCBC. . ADAD平分平分EACEAC( (已知已知) )DAEDAE= = EACEAC( (角平分线的定义角平分线的定义) )DAEDAE=B B( (等量代换等量代换) ) ADADBCBC( (同位角相等同位角相等, ,两直线平行两直线平行) )这里是运用了公理这里是运用了公理“同位角相等，两直线同位角相等，两直线平行平行”得到了证实得到了证实.例例2 2
14、已知：如图已知：如图, ,在在ABCABC中中, 1, 1是它的一个是它的一个外角外角, , E E为边为边ACAC上一点上一点, ,延长延长BCBC到到D D, ,连接连接DEDE. .求证求证: 1 2.: 1 2.证明：证明： 1 1是是ABCABC 的一个外角的一个外角 ( (已知已知) ) 1 3 (1 3 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角) )33是是CDECDE 的一个外角的一个外角 ( (外角定义外角定义) )3 2 (3 2 (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角)
15、) 1 2 (1 2 (不等式的性质不等式的性质) )CABF1345ED2跟踪练习跟踪练习1.1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角, ,则这个三角则这个三角形是形是( )( ) A. A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形 C. C.钝角三角形钝角三角形 D.D.无法确定无法确定C C 2.2.如图所示如图所示, ,若若A A=32=32,B B=45=45,C C=38=38, ,则则DFEDFE等于等于( ( ) )A.120A.120 B.115 B.115 C.110 C.110 D.105 D.105F FE ED D
16、C CB BA AB B3.如图，把如图，把ACBACB沿沿DEDE折叠，当点折叠，当点A A落在四边形落在四边形BCEDBCED内部时，内部时，DAEDAE与与1, 2之间有一种数量关系保持不变，这一规律是之间有一种数量关系保持不变，这一规律是（ ） A.A A=1+2 B. 2A A=1+2 C. 3A A=21+2 D. 3A A=2（1+2 ）B BD DA AA AC CE E12B 4.如图所示如图所示, 1=_.14014080801 1120 5.5.已知等腰三角形的一个外角为已知等腰三角形的一个外角为150150, ,则它的底角为则它的底角为_ _. _ _. 30或或75
17、6.如图所示如图所示, A A=50, B B=40, C C=30,则则BDCBDC=_.D DC CB BA A1207.7.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，外角中，外角DCADCA=100=100, , A A=45=45. .求：求：B B和和ACBACB的大小的大小. .A AB BC CD D解解: DCADCA是是ABCABC的一个外角的一个外角(已知已知), B B= DCADCA- -A A=100- -45=55 又又 DCADCA+BCABCA=180(平角平角=180). ACBACB=80(等式的性质等式的性质).10045(三角形的一个外角等于和它不相邻
18、的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).已知已知: :国旗上的正五角星形如图所示国旗上的正五角星形如图所示. .求求:A+B+C+D+E:A+B+C+D+E的度数的度数. .解解:1:1是是BDFBDF的一个外角的一个外角( (外角的意义外角的意义),),分析分析: :设法利用外角把这五个角设法利用外角把这五个角“凑凑”到一到一个三角形中个三角形中, ,运用三角形内角和定理来求解运用三角形内角和定理来求解. . 1= 1=B B+D D( (三角形的一个外角等三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和于和它不相邻的两个内角的和).). 2= 2=C C+E E( (三角
19、形的一个外角等于和它不相邻的两个内三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和角的和).).又又A A+1+2=180+1+2=180( (三角形内角和定理三角形内角和定理).).又又 2 2是是EHCEHC的一个外角的一个外角( (外角的意义外角的意义),),A AB BC CD DE EF F1H H2 A A+B B +C C +D D +E E =180 =180( (等式性质等式性质).).拔尖自助餐拔尖自助餐1.(1)1.(1)如图如图( (甲甲) )，在五角星图形中，求，在五角星图形中，求A A+B B +C C +D D + + E E 的度数的度数. . (2)(2)把图（
20、乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的五角之和 与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？A AE EA AB BC CD DA AE E(甲甲)E EB BC CD DD DC CB B(乙乙)(丙丙)相等，也可凑到一个三角形中相等，也可凑到一个三角形中. .当堂检测当堂检测ABCABC 中中, ,若若A A B B C C , ,则则ABCABC 是（是（ ） A.A.锐角锐角B.B.直角直角C.C.钝角钝角D.D.等腰等腰 一个三角形至少有（一个三角形至少有（ ） A.A.一个锐角一个锐角 B.B.两个
21、锐角两个锐角 C. C.一个钝角一个钝角 D.D.一个直角一个直角B BB B证明：证明： 1 +4=180 2 +5=180 3 +6=180 1+ 2 + 3 +4 +5 +6=3 180=540又又 4+ 5 + 6= 180 (三角形内角和定理三角形内角和定理) 1 +2 +3=540 - - 180= 3603.3.已知：已知：1 1，2 2，3 3是是ABCABC 的三个外角的三个外角 求证：求证：1+2+3=3601+2+3=360. .C C A AB B3126454. 在在ABCABC中中, A A=80, B B= C C , 求求C C的度数的度数.解：在解：在ABCA
22、BC中中, A A+ B B+ C C=180，A A=80 B B+ C C=100 B B= C C B B= C C=50ABC5. 已知三角形三个内角的度数之比为已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三，求这三个内角的度数个内角的度数.解：设三个内角度数分别为：解：设三个内角度数分别为：x x , 3x x , 5x x.列出方程列出方程 x x+3x x+5x x=180 x x=20答：三个内角度数分别为答：三个内角度数分别为20,60,100.三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于180180. .ABCABC中中, ,A A+B B+C C=180=180. .推论推论1: 1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. .推论推论2:2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. .小小 结结
