2022年菱形性质和判定复习

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1、菱形性质和判定复习(教案 ) 适用学科数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60 知识点1.菱形的性质2.菱形的判定教学目标1.掌握菱形的定义；2.探索并掌握菱形的性质；3.会用菱形的定义和性质进行有关的论证和计算，会用菱形的对角线长来计算菱形的面积。4.菱形的判定定理的运用教学重点1.菱形的掌握菱形的性质和应用。2.掌握菱形的性质推导及面积计算方法的推导教学难点1.应用菱形的定义和性质进行合理的论证和计算2,运用综合法解决菱形的相关题型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 30 页教学过程一、 复习预习回顾 :

2、平行四边形的性质和判断学习过程：教师活动： 教师教具演示，移动平行四边形的一边，使之一组邻边相等，引出菱形与平行四边形的关系，由此得到菱形的概念。学生活动：一剪一剪：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可1、观察所剪的菱形纸片，思考下列问题：（1）哪些线段是相等的？哪些角是相等的？（2）有哪些是等腰三角形？哪些是直角三角形？（3）它是轴称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？A D O C B 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 30 页2、归纳菱形的特殊性质：（1）边（2）对角线（3

3、）对称性一探究一、 1、自主自习：菱形的对边 _。菱形的性质菱形的四边_。菱形的对角线 _ 。菱形是 _ 对称图形。菱形的面积 =_ 或菱形的面积= _ 四边 _ 的平行四边形是菱形。一组_ 的四边形是菱形。菱形的判定：对角线_ 的平行四边形是菱形。对角线 _ 的四边形是菱形。2、合作探究：如图，四边形ABCD 是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD 长 10 cm ，求： (1)对角线 AC 的长度； (2) 菱形 ABCD 的面积由此（ 2）推出： S 菱形 = 对角线乘积的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 30

4、 页二、知识讲解考点 1 菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 3

5、0 页易错点 1 重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形， 但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质， 同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。精选学习资

6、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 30 页三、 例题精析【例题 1】【题干】 菱形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示 AOC=45 ，OC=，则点 B的坐标为（）A、 （，1）B、 （1，）C、 （+1 ，1） D、 （1，+1 ）【答案】 故选 C【解析】：根据菱形的性质，作CDx 轴，先求C 点坐标，然后求得点B 的坐标解答： 解：作 CDx 轴于点 D，四边形 OABC 是菱形， OC=， OA=OC=，又AOC=45 OCD 为等腰直角三角形， OC=， OD=CD=OCsin45 =1 ，则点 C 的坐标为（ 1

7、，1） ，又BC=OA=，B 的横坐标为OD+BC=1+，B 的纵坐标为CD=1 ，则点 B 的坐标为（+1 ，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 30 页【例题 2】【题干】 如图，在ABC中， AB=AC ，D 是 BC 的中点，连接AD ，在 AD 的延长线上取一点 E，连接 BE，CE（1）求证：ABEACE；（2）当 AE 与 AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由【答案】（1）证明：AB=AC ，点D 为 BC 的中点，BAE= CAE， AE=AEABEACE（SAS） （2）解：当

8、AE=2AD （或 AD=DE或 DE=AE）时，四边形ABEC 是菱形理由如下： AE=2AD ，AD=DE，又点 D 为 BC 中点， BD=CD，四边形 ABEC 为平行四边形， AB=AC ，四边形 ABEC 为菱形【解析】由题意可知三角形三线合一，结合SAS 可得ABEACE四边形ABEC 相邻两边 AB=AC ，只需要证明四边形ABEC 是平行四边形的条件，当AE=2AD （或 AD=DE或DE=AE）时，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 30 页【例题 3】如图，在由

9、12 个边长都为1 且有一个锐角为60 的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长【答案 】：解：如图所示， PD=1 ，每个菱形有一个角是60 ， PC=APB=90 斜边 CD=2 ，CB=，DA=，AB=4 【解析 】根据已知求得PD ，PC 的长，再根据勾股定理即可求得斜边的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 30 页四、课堂运用【基础】 1、如图：在菱形ABCD 中， AC=6 ，BD=8 ，则菱形的边长为（）A

10、、 5 B、10 C、6 D、8 【答案 】解：设AC 与 BD 相交于点O，由菱形的性质知：AC BD，OA=AC=3 ， OB=BD=4 在 Rt OAB 中， AB=5 所以菱形的边长为5故选 A【解析 】 ：根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可知每个直角三角形的直角边，根据勾股定理可将菱形的边长求出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 30 页2、已知：如图，在梯形ABCD中，ABCD，BC=CD，ADBD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形【答案】 ADBD，ABD是 Rt

11、E是AB的中点，BE=12AB，DE=12AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），BE=DE，EDB=EBD，CB=CD，CDB=CBD，ABCD，EBD=CDB，EDB=EBD=CDB=CBD，BD=BD，EBDCBD（SAS ） ，BE=BC，CB=CD=BE=DE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 30 页菱形BCDE （四边相等的四边形是菱形）3、如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4） ，B（ 3，0） （1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式【答案】（1）A（0，4） ，B（ 3，0）

12、 ，OB=3 ，OA=4 ，AB=5 在菱形ABCD中，AD=AB=5 ，OD=1 ，D（0， 1） （2）BCAD，BC=AB=5 ，C（ 3， 5） 设经过点 C 的反比例函数解析式为y=xk把（ 3，5）代入解析式得：k=15 ，y=x15【解析】 根据菱形的性质及反比例函数图像得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 30 页【巩固】：1、如图，在 ?ABCD 中， E，F 分别为边AB，CD 的中点，连接DE、BF、 BD（1）求证：ADECBF（2）若 AD BD，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论

13、【答案 】 （1）证明：在平行四边形ABCD 中，A= C，AD=BC ， E、 F 分别为 AB、CD 的中点， AE=CF 在AED 和CFB 中，AEDCFB（SAS） ；（2）解：若AD BD，则四边形BFDE 是菱形证明：AD BD，ABD 是直角三角形，且ADB=90 E是 AB 的中点， DE= AB=BE 由题意可知EB DF且 EB=DF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 30 页四边形 BFDE 是平行四边形四边形 BFDE 是菱形【解析 】1）根据题中已知条件不难得出，AD=BC ，A= C，E、

14、F 分别为边AB、CD 的中点，那么AE=CF ，这样就具备了全等三角形判定中的SAS，由此可得出AEDCFB（2）直角三角形ADB 中， DE 是斜边上的中线，因此DE=BE ，又由 DE=BF ， FD BE 那么可得出四边形BFDE 是个菱形2. 、如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于O，AE 平分BAD，交 BC 于 E，CAE=15 ，那么AOB=【答案 】 ：解：CAE=15 和AE 平分BADBAO=45 +15 =60 ，又AO=BO，ABO 为等边三角形，AOB=60 ，故答案为60 【解析 】根据CAE=15 和AE 平分BAD，即可求得BAO=60 ，再根据OA=OB即

15、可判定ABO 为等边三角形，即可求AOB，即可解题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 30 页3、如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC， AB=AD ，BAD 的平分线AE 交 BC 于点 E，连接 DE（1）求证：四边形ABED 是菱形；（2）若ABC=60 ，CE=2BE ，试判断CDE的形状，并说明理由【答案】（1）证明：如图，AE平分BAD，1= 2， AB=AD ，AE=AE ，BAEDAE， BE=DE ， AD BC，2= 3= 1， AB=BE ， AB=BE=DE=AD ，四边形 ABED 是菱形（2

16、）解：CDE是直角三角形如图，过点D 作 DF AE 交 BC 于点 F，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 30 页则四边形 AEFD 是平行四边形， DF=AE ， AD=EF=BE ， CE=2BE ， BE=EF=FC ， DE=EF ，又ABC=60 ，AB DE，DEF=60 ，DEF是等边三角形， DF=EF=FC ，CDE是直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 30 页【拔高 】1、如图，在菱形ABCD 中，BAD=80 ，AB

17、 的垂直平分线交对角线AC 于点 F，点 E 为垂足，连接DF ，则CDF为（）解答： 解：如图，连接BF，在BCF 和DCF 中， CD=CB，DCF= BCF，CF=CF BCFDCFCBF= CDF FE 垂直平分AB，BAF= 80 =40 ABF= BAF=40 ABC=180 80 =100 ，CBF=100 40 =60 CDF=60 【解析 】：连接 BF，利用SAS 判定BCFDCF，从而得到CBF= CDF，根据已知可注得CBF 的度数，则CDF也就求得了3、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这

18、四个点，得四边形EFGH（1）如图 1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 30 页四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明） ；（2）如图 3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设ADC （ 0 90 ），试用含 的代数式表示HAE；求证： HE HG；四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由【答案】（1）答：四边形EFGH 的形状是正方形（2）解：HAE 90 a，在平行四边形ABCD 中 AB CD，BAD 180 AD

19、C 180 a，HAD 和EAB 是等腰直角三角形，HADEAB 45 ，HAE 360 HADEABBAD 360 45 45 （180 a）90 a，答：用含 的代数式表示HAE是 90 a证明：AEB和DGC 是等腰直角三角形， AE22AB，DG22CD，在平行四边形ABCD 中， ABCD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 30 页 AE DG，HAD 和GDC 是等腰直角三角形，HDACDG 45 ，HDGHDAADCCDG 90 aHAE，HAD 是等腰直角三角形， HA HD ，HAEHDC， HE HG

20、答：四边形EFGH 是正方形，理由是：由同理可得：GH GF，FGFE， HE HG， GH GF EFHE，四边形 EFGH 是菱形，HAEHDG，DHGAHE，AHDAHGDHG 90 ，EHGAHGAHE 90 ，四边形 EFGH 是正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 30 页【解析】（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；（2） HAE 90 a， 根据平行四边形的性质得出， BAD 180 a， 根据HAD 和EAB是等腰直角三角形，得到HADEAB 45 ，求出HAE即可；根据AE

21、B和DGC 是等腰直角三角形，得出AE22AB，DG 22CD，平行四边形的性质得出ABCD ， 求出HDG 90 aHAE，证 HAEHDC，即可得出HEHG ；由同理可得：GH GF， FG FE，推出GH GF EFHE ，得出菱形EFGH ，证 HAEHDG，求出AHD 90 ，EHG 90 ，即可推出结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 30 页课程小结1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具

22、有自己独特的性质：边的性质：对边平行且四边相等角的性质：邻角互补，对角相等对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形3、菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 30 页【基础】1、如图，在菱形ABCD 中， AB=5 ，BCD=120 ，则对角线 AC 等于（）A、 20 B、15 C、10 D、5 【答案】解：AB=BC ，B+ BCD=180 ，BCD=120 B=60 ABC为

23、等边三角形 AC=AB=5故选 D【解析】根据菱形的性质及已知可得ABC为等边三角形，从而得到AC=AB 2.能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直 B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 30 页【答案】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可解：菱形的判定方法有三种：定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边相等；对角线互相垂直平分的四边形是菱形只有D 能判定为是菱形，故选 D【解析】根据菱形的判定方法：对角线互相垂直平分来判断即可

24、3、如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC 上一点，PE AB， PF AD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？【答案】 解：是菱形理由如下：PE AB， PF AD，且PE=PF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 30 页AC是DAB的角平分线，DAC=CAE，四边形ABCD是平行四边形，DC AB，DCA= CAB， DAC= DCA，DA=DC，平行四边形ABCD是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共

25、 30 页【巩固】1、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形 D 、正方形【答案】故选C【解析】 本题可通过整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad得到（ab）2+（ b c）2+ （cd）2+ （a d）2=0 ，从而得出a=b=c=d，四边形一定是菱形解：整理配方式子a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，2（a2+b2+c2+d2）=2 （ab+bc+cd+ad） ， ）（ab）2+ （bc）2+ （cd）2+ （ad）2=0 ，由非负数的性质可知： （ab ）=0

26、 ， （bc）=0 ， （cd）=0 ， （ad）=0 ， a=b=c=d，四边形一定是菱形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 30 页【拔高 】1、如图，已知点D 在ABC 的 BC 边上，DE AC交 AB 于 E， DF AB 交 AC 于 F（1）求证： AE=DF ；（2）若 AD 平分BAC，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由【答案】证明： （1）DE AC，ADE= DAF，同理DAE= FDA， AD=DA，ADEDAF， AE=DF ；（2）若 AD 平分BAC，四边形 AEDF 是菱形， DE

27、AC， DF AB，四边形 AEDF 是平行四边形，DAF= FDA AF=DF 平行四边形 AEDF 为菱形【解析】 1）利用 AAS 推出ADEDAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 30 页（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA 是?，再利用AD 是角平分线，结合AE DF，易证DAF= FDA，利用等角对等边，可得 AF=DF ，从而可证 ?AEDF 实菱形2、如图，已知ABC的面积为3，且 AB=AC ，现将ABC沿 CA 方向平移CA 长度得到 EF

28、A（1）求ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF 与 BE 的位置关系，并说明理由；（3）若BEC=15 ，求AC 的长【答案】解： （1）连接 BF，由题意知ABCEFA， BA EF，且BA=EF 四边形 ABFE 为平行四边形，S平行四边形ABFE=2S EAFABC扫过图形的面积为S ABC+S平行四边形ABFE=3+6=9；（2）由（ 1）知四边形ABFE 为平行四边形，且AB=AE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 30 页四边形 ABFE 为菱形， AF 与 BE 互相垂直且平分（3）过点 B 作 B

29、D CA 于点 D， AB=AE ，AEB= ABE=15 BAD=30 BD= AB=AC BD?AC=3 ，AC?AC=3 AC2=12 AC=2【解析】（1）根据题意：易得ABCEFA， BA EF，且BA=EF ，进而得出S平行四边形ABFE=2S EAF，故可求出ABC扫过图形的面积为S ABC+S平行四边形ABFE；（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE 为菱形，故AF 与 BE互相垂直且平分；（3）根据题意易得：所以AEB= ABE=15 ，BD?AC=3 ，AC?AC=3 ，进而可得AC 的长度3、 已知：在梯形ABCD中，ADBC， ABC 90 ，BC 2AD，E是BC的

30、中点，连接AEAC（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图 1） ，求证：AOECOF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 30 页（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图 2） ，求证：四边形EFDG是菱形【答案】（1）证明：点 E 是 BC 的中点， BC2AD ， EC BE21BCAD ，又AD DC，四边形 AECD 为平行四边形， AE DC，AEOCFO，EAOFCO，AOECOF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页

31、，共 30 页（2）证明：连接DE， DE 平行且等于BE，四边形 ABED 是平行四边形，又ABE 90 ，ABED 是矩形， GE GAGBGD21BD 21AE， E F 分别是 BCCD 的中点， EF GE 是CBD 的两条中线， EF21BD GD，GE21CDDF，又 GEGD， EF GDGEDF，四边形 EFDG 是菱形【解析】（1）由点 E 是 BC 的中点， BC2AD ，可证得四边形AECD 为平行四边形，即可得AOECOF；（2）连接 DE，易得四边形ABED 是平行四边形，又由ABE 90 ，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EFGDGEDF，则可得四边形EFDG 是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 30 页