《高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式课 新人教A版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式课 新人教A版必修4（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、任意角的三角函数及诱导公式任意角的三角函数及诱导公式【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】1.1.与角与角终边相同的角的集合为终边相同的角的集合为 2.角度制与弧度制的换算3.3.弧度制下扇形的弧长和面积公式弧度制下扇形的弧长和面积公式(1)(1)弧长公式：弧长公式：l=_.=_.(2)(2)面积公式：面积公式： |r4.4.任意角的三角函数任意角的三角函数(1)(1)定义定义1 1：设任意角：设任意角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(xP(x，y)y)，则则sinsin=_=_，coscos=_=_， (x0). (x0).(2)(2)定义定义2 2：设任意角：设任意角的终边上
2、任意一点的终边上任意一点P P的坐标为的坐标为(x(x，y)y)，r=|OP|=_r=|OP|=_，则，则sinsin=_=_，coscos=_=_，tantan=_(x0).=_(x0).yx5.5.同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式_+_=1_+_=1；_=_=tantan. .sin2cos26.6.诱导公式诱导公式(1)(1)公式：公式： _ _， _ _， _ _，kZkZ， _ _， _ _， _ _，sincostan-sin-costan _ _， _ _， _ _， _ _， _ _， _ _，-sincos-tansin-cos-tan _ _， _ _， _ _
3、， _. _.(2)(2)记忆口诀：奇记忆口诀：奇_偶偶_，符号看，符号看_._.cossincos-sin变不变象限【易错提醒易错提醒】1.1.关注角的概念的推广关注角的概念的推广(1)(1)由由于于角角的的概概念念的的推推广广，有有些些术术语语的的含含义义也也发发生生了了变变化化. .如如小小于于9090的角可能是零角、锐角或负角的角可能是零角、锐角或负角. .(2)(2)注注意意象象限限角角、锐锐角角、钝钝角角等等概概念念的的区区别别和和联联系系. .如如锐锐角角是是第第一一象象限限角，但第一象限角不一定是锐角角，但第一象限角不一定是锐角. .2.2.确定角所在象限的关注点确定角所在象限
4、的关注点由由三三角角函函数数值值符符号号确确定定角角的的象象限限时时，不不要要忽忽视视的的终终边边可可能能落落在在坐坐标轴上，如标轴上，如sinsin00时，时，终边在第三、四象限或终边在第三、四象限或y y轴负半轴上轴负半轴上. .3.3.关注正切函数的定义域关注正切函数的定义域(1)(1)正切函数正切函数y=y=tanxtanx的定义域为的定义域为 不可写为不可写为 (2)(2)有有关关正正切切的的公公式式( (同同角角三三角角函函数数商商关关系系，诱诱导导公公式式) )应应用用时时有有限限制制条条件件. .4.4.平方关系应用的关注点平方关系应用的关注点由由平平方方关关系系sinsin2
5、 2+cos+cos2 2=1=1，开开方方后后求求另另一一个个三三角角函函数数值值，易易错错的的地地方是未对角所在象限进行讨论方是未对角所在象限进行讨论. .5.5.正确应用诱导公式正确应用诱导公式(1)(1)明明确确诱诱导导公公式式的的基基本本功功能能：将将 的的三三角角函函数数值值化化为为的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用的三角函数值，实现变名、变号或变角等作用. .(2)(2)熟熟悉悉应应用用口口诀诀解解题题，一一方方面面注注意意函函数数名名称称，另另一一方方面面注注意意符符号号的的变化变化. .类型一类型一 象限角及终边相同的角象限角及终边相同的角【典例典例1 1】1.(201
6、51.(2015六安高一检测六安高一检测) )已知已知是锐角，那么是锐角，那么22是是( () )A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角C.C.小于小于180180的正角的正角 D.D.第一或第二象限角第一或第二象限角2.2.已知已知=1690=1690，(1)(1)把把表示成表示成2k+2k+的形式，其中的形式，其中kZkZ，00，2).2).(2)(2)求求，使，使与与的终边相同，且的终边相同，且(-4(-4，-2).-2).【解析解析】1.选C.因因为是是锐角，所以角，所以 所以所以02，所以，所以2可能是第一或第二象限角，可能是第一或第二象限角，也可能是也可能是终边
7、落在落在y轴非非负半半轴上的角，故上的角，故选C.【延伸探究延伸探究】典例典例1 1中中“锐锐”改改“钝钝”，那么，那么 是第几象限角？是第几象限角？【解析解析】因因为是是钝角，所以角，所以，所以所以 所以是第一象限角所以是第一象限角.【方法技巧方法技巧】1.1.灵活应用角度制或弧度制表示角灵活应用角度制或弧度制表示角(1)(1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用注意同一表达式中角度与弧度不能混用. .(2)(2)角度制与弧度制的换算角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为设一个角的弧度数为，角度数为，角度数为n n，则，则 2.2.象限角的判定方法象限角的判定方法(1)(1)根据图象判定根据图
8、象判定. .利用图象实际操作时，依据是终边相同利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为的角的概念，因为0 0360360之间的角与坐标系中的射线之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系可建立一一对应的关系. .(2)(2)将角转化到将角转化到0 0360360范围内范围内. .在直角坐标平面内，在直角坐标平面内，0 0360360范围内没有两个角终边是相同的范围内没有两个角终边是相同的. .【拓展延伸拓展延伸】理解角的概念的三个理解角的概念的三个“明确明确”【变变式式训训练练】如如图图所所示示，用用弧弧度度制制表表示示顶顶点点在在原原点点，始始边边重重合合于于x x轴轴的非负半轴
9、，终边落在阴影部分的角的集合的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合. .【解析解析】(1)将阴影部分看成是由将阴影部分看成是由OA逆逆时针转到到OB所形成所形成.故故满足条件的角的集合足条件的角的集合为 (2)若将若将终边为OA的一个角改写的一个角改写为 ，此，此时阴影部分可以阴影部分可以看成是看成是OA逆逆时针旋旋转到到OB所形成，故所形成，故满足条件的角的集合足条件的角的集合为 (3)将将图中中x轴下方的阴影部分看成是由下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋上方的阴影部分旋转rad而得到，所以而得到，所以满足条件的角的集合足条件的角的集合为 (4)与第与第(3)小小题的解法的解法类似，
10、将第二象限阴影部分旋似，将第二象限阴影部分旋转rad后可得到第四象限的阴影部分，所以后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合足条件的角的集合为 【补偿训练补偿训练】1.1.下列与下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是的终边相同的角的表达式中正确的是( () )A.2k+45A.2k+45(kZ)(kZ) B.kB.k360360+ + ，kZkZC.kC.k360360-315-315(kZ)(kZ) D.kD.k+ + ，kZkZ【解析解析】选C.C.角度与弧度不能混用，故角度与弧度不能混用，故A A、B B错误. .k k+ + ，k kZ Z，表，表示示终边落在直落在直线y=
11、xy=x上的角，故上的角，故D D错误. =45. =45，-315-315=-360=-360+45+45，故故4545与与-315-315终边相同，所以与相同，所以与 终边相同的角可表示相同的角可表示为k k360360-315-315，k kZ Z. .2.2.与与-2002-2002终边相同的最小正角是终边相同的最小正角是_._.【解析解析】因因为-2002=-6360+158，所所以以与与-2002终边相相同同的的角角可可表表示示为k360+158，k Z，其其中中最最小小正角是正角是158.答案：答案：158类型二类型二 弧度制下扇形弧长和面积的计算弧度制下扇形弧长和面积的计算【典
12、典例例2 2】(2015(2015吉吉安安高高一一检检测测) )已已知知在在半半径径为为1010的的圆圆O O中中，弦弦ABAB的的长长为为10.10.(1)(1)求弦求弦ABAB所对的圆心角所对的圆心角(0)(0)的大小的大小. .(2)(2)求求所在的扇形弧长所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积及弧所在的弓形的面积S.S.【解析解析】(1)因因为OA=OB=AB=10，所以所以AOB是等是等边三角形，三角形，所以所以= .(2)所在的扇形弧所在的扇形弧长l=|r= 10= ，所在的扇形面所在的扇形面积 等等边AOB中，中，AB边上的高上的高 所以所以 所以所以所在的弓形的面所在的弓形的面积
13、 【方法技巧方法技巧】弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及其注意点弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及其注意点(1)(1)解题策略：解题策略：明确弧度制下弧长公式明确弧度制下弧长公式l=|=|r|r，扇形的面积公式是，扇形的面积公式是S= S= lr r= |r= |r2 2( (其中其中l是扇形的弧长，是扇形的弧长，是扇形的圆心角是扇形的圆心角).).涉涉及及扇扇形形的的周周长长、弧弧长长、圆圆心心角角、面面积积等等的的计计算算，关关键键是是先先分分析析题题目目已已知知哪哪些些量量求求哪哪些些量量，然然后后灵灵活活运运用用弧弧长长公公式式、扇扇形形面面积积公公式式直直接接求求解解
14、或列方程或列方程( (组组) )求解求解. .(2)(2)注意点：注意点：在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. .看清角的度量制，选用相应的公式看清角的度量制，选用相应的公式. .扇形的周长等于弧长加两个半径长扇形的周长等于弧长加两个半径长. .【变变式式训训练练】(1)(1)一一扇扇形形的的圆圆心心角角为为7272，半半径径等等于于20cm20cm，求求扇扇形形的的弧长以及扇形的面积弧长以及扇形的面积. .(2)(2)已已知知扇扇形形的的周周长长为为10cm10cm，面面积积为为4cm4cm2 2，求求扇扇形形的的圆圆心心
15、角角的的弧弧度度数数.(.(只计算只计算0 022之间的角之间的角) )【解析解析】(1)设圆心角心角为，则弧弧长公式：公式：l=|r.扇形面扇形面积公式：公式： 因因为 所以扇形弧所以扇形弧长 扇形面扇形面积 【补补偿偿训训练练】1.1.若若2 2弧弧度度的的圆圆心心角角所所对对的的弧弧长长为为4cm4cm，则则这这个个圆圆心心角角所所夹的扇形的面积是夹的扇形的面积是( () )A.4cmA.4cm2 2B.2cmB.2cm2 2C.4cmC.4cm2 2D.2cmD.2cm2 2【解解析析】选A.设此此圆心心角角所所夹的的扇扇形形的的半半径径为r，则2r=4，所所以以r=2cm，S扇扇=
16、|r2= 222=4(cm2).2.2.如图，点如图，点A A，B B，C C是圆是圆O O上的点，且上的点，且AB=4AB=4，ACB= ACB= ，则劣弧，则劣弧的长为的长为_._.【解析解析】连接接OA，OB，因，因为ACB= ，所以，所以AOB= ，AOB为等等边三角形，故三角形，故圆O的半径的半径r=AB=4.劣弧劣弧的的长为r= .答案：答案：类型三类型三 任意角三角函数的定义任意角三角函数的定义【典典例例3 3】1.(20151.(2015张张掖掖高高一一检检测测) )已已知知角角的的始始边边与与x x轴轴正正半半轴轴重重合合，终边在射线终边在射线3x-4y=0(x0)3x-4y
17、=0(x0)上，则上，则sin-cossin-cos=_.=_.2.2.点点P P从从(1(1，0)0)出出发发，沿沿单单位位圆圆x x2 2+y+y2 2=1=1按按顺顺时时针针方方向向运运动动 弧弧长长到到达达Q Q点，则点，则Q Q的坐标为的坐标为_._.3.3.已已知知是是第第二二象象限限角角，在在第第二二象象限限内内将将角角的的终终边边绕绕原原点点按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转，得得到到第第二二象象限限角角的的终终边边，如如图图所所示示，利利用用单单位位圆圆中中的的三三角函数线比较下列各组数的大小角函数线比较下列各组数的大小. .(1)sin(1)sin，sin.(2)cossin
18、.(2)cos，cos.(3)tancos.(3)tan，tantan. .【解析解析】1.在射在射线3x-4y=0(x0)上任取一点上任取一点P(4a，3a)，aBFAEBF，OAOBOAOB，CPCD.CPsin.(2)coscos.(3)tansin.(2)coscos.(3)tan0，cos0，点，点P在第四象限；在第四象限；当当是第三象限角是第三象限角时，sin0，cos0，点，点P在第三象限；在第三象限；当当是第四象限角是第四象限角时，sin0，点，点P在第二象限在第二象限.答案：答案：四三二四三二【补偿训练补偿训练】1.1.若角若角的终边经过点的终边经过点 则则sin+cossi
19、n+cos的的值为值为_._.2.2.已知角已知角的终边过点的终边过点P(12P(12，a)a)，且，且 求求sin+cossin+cos的值的值. .【解析解析】1.由由题意知，角意知，角的的终边与与单位位圆交点坐交点坐标为，所以所以 所以所以 答案：答案：2.因因为角角的的终边过点点P(12，a)，且，且 ，所以所以 所以所以a=5，所以点所以点P(12，5)到原点的距离到原点的距离r=|OP|= =13，所以所以 类型四类型四 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系【 典典 例例 4 4】 1.(20151.(2015南南 昌昌 高高 一一 检检 测测 ) )已已 知知 tanta
20、n=3=3， 则则 sinsin2 2-3sincos+4=(3sincos+4=() )A.1A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.42.(1)2.(1)已知已知sinsin= = ，并且，并且是第二象限角，求是第二象限角，求coscos和和tantan. .(2)(2)已知已知coscos=- =- ，求，求sinsin和和tantan. .【解析解析】1.选D.原式原式 2.(1) 又因又因为是第二象限角，所以是第二象限角，所以cos0，所以所以 (2)因因为所以所以是第二或第三象限角，是第二或第三象限角，当当是第二象限角是第二象限角时，当当是第三象限角是第三象限角时，【方法技巧方法技
21、巧】1.1.已知三角函数值求其他三角函数值的方法已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)(1)若已知若已知sinsin=m=m，可以先应用公式求得，可以先应用公式求得coscos的值，再由公式求得的值，再由公式求得tantan的值的值. .(2)(2)若已知若已知coscos=m=m，可以先应用公式求得，可以先应用公式求得sinsin的值，再由公式求得的值，再由公式求得tantan的值的值. .(3)(3)若已知若已知tantan=m=m，可以应用公式，可以应用公式及及sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1，求得的值，求得的值. .2.2.已知已知tantan求关于求关于sinsi
22、n，coscos齐次式值的方法齐次式值的方法(1)(1)已知已知tantan=m=m，可以求，可以求的的值值，将将分分子子分分母母同同除除以以coscos或或coscos2 2，化化成成关关于于tantan的的式式子子，从从而达到求值的目的而达到求值的目的. .(2)(2)对对于于asinasin2 2+bsincos+ccos+bsincos+ccos2 2的的求求值值，可可看看成成分分母母是是1 1，利利用用1=sin1=sin2 2+cos+cos2 2进进行行代代替替后后分分子子分分母母同同时时除除以以coscos2 2，得得到到关关于于tantan的式子，从而可以求值的式子，从而可以
23、求值. .【变式训练变式训练】1.(20151.(2015淮安高一检测淮安高一检测) )sin+cossin+cos= =，(0(0，)，则，则tantan=_.=_.【误区警示】解本题时容易忽视对取值范围的判断，导致产生增解.【补偿训练补偿训练】1.1.若若sincossincos= =，则的值是，则的值是( () )A.-2A.-2B.2B.2C.C.2 2D.D.【解析解析】选B.因因为所以所以解得解得tan=1，所以原式所以原式=2.2.若若为第二象限角，则为第二象限角，则=(=() )A.sinA.sinB.-B.-sinsinC.cosC.cosD.-D.-coscos【解析解析】
24、选B.因因为为第二象限角，第二象限角，则cos0，则|sincos|=-sincos，所以原式所以原式=-sin.类型五类型五 诱导公式的应用诱导公式的应用【典例典例5 5】1.1.已知已知sin(-sin(-)=)=logog8 8，且，且，则，则tan(2-)tan(2-)的值为的值为( () )2.(20152.(2015重庆高一检测重庆高一检测) )已知已知为第三象限角，为第三象限角，(1)(1)化简化简f(f() )；(2)(2)若求若求f(f() )的值的值. .【解析解析】1.1.选B.sin(-B.sin(-)=)=sinsin= =logog8 8=-=-，tan(2-)=t
25、an(-) tan(2-)=tan(-) 【方法技巧方法技巧】用诱导公式化简求值的方法用诱导公式化简求值的方法(1)(1)对对于于三三角角函函数数式式的的化化简简求求值值，关关键键在在于于根根据据给给出出角角的的特特点点，将将角角化成化成 的形式，再用的形式，再用“奇变奇变偶不变，符号看象限偶不变，符号看象限”来化简来化简. .(2)(2)解解决决“已已知知某某个个三三角角函函数数值值，求求其其他他三三角角函函数数值值”的的问问题题，关关键键在在于于观观察察分分析析条条件件角角与与结结论论角角，清清除除条条件件与与结结论论之之间间的的差差异异，将将已已知知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用
26、和未知联系起来，还应注意整体思想的应用. .2.(20152.(2015黄冈高一检测黄冈高一检测) )下列三角函数：下列三角函数： 其中函数值与其中函数值与sinsin的值相同的是的值相同的是( () )A.A. B. B.C.C. D. D.【解析解析】选C.因因为 不不满足条件足条件. 满足条件足条件. 不不满足条件足条件. 故不故不满足条件足条件. 故故满足条件足条件.2.2.在下列各式中：在下列各式中：sin(+sin(+)=-)=-sinsin；cos(-+cos(-+)=-)=-cos(-cos(-) )；sin(-2)=-sin(-2)=-sinsin；cos(-cos(-)=)=cos(+cos(+).).正确的序号是正确的序号是_._.【解析解析】对于于式，式，cos(-cos(-+ +)=)=cos-(cos-(- -)=)=cos(cos(- -) )，故故错误，而，而由由诱导公式可判定正确公式可判定正确. .答案：答案：
