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1、第第18章章 隐函数定理及其运用函数定理及其运用1 1 隐隐函数函数一、一、 隐函数概念函数概念下面看隐函数的例子.二、二、隐函数存在性条件的分析函数存在性条件的分析三、三、隐函数定理函数定理ABA +BP0ABA +BP0例例1. 验证方程验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解: 令令那么并求延续 ,由 定理可知,导的隐函数 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且两边对 x 求导两边再对 x 求导令 x = 0 , 留意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导例例2. 设设解法解法1 利用利用隐函数求函数求导再对 x 求导解法解法2 利用公式利用公式设那么两边对
2、 x 求偏导作作业：P151, 1,2 , 3(2)(5), 5.四、隐函数问题举例四、隐函数问题举例( (自练自练) )2 2 隐隐函数函数组组一、一、 隐函数函数组概念概念二、二、隐函数函数组定理定理例例2. 设设解解: 方程组两边对 x 求导，并移项得求练习: 求求答案答案:由题设故有三、反函数三、反函数组与坐与坐标变换作作业：P157, 1, 2(2), 3(1), 6.3 3 几何运用几何运用因本因本节讨论的曲的曲线和曲面的方程以和曲面的方程以隐函数函数(组)给出，故在求它出，故在求它们的切的切线(或切平面或切平面)时都要用到都要用到隐函数函数(组)的微分法。的微分法。一、一、 平面
3、曲平面曲线的切的切线与法与法线例:求x2+y2=4在(2,2)处的切线.二、二、 空空间曲曲线的切的切线与法平面与法平面所求切所求切线方程方程为法平面方程法平面方程为三、三、 曲面方程的切平面与法曲面方程的切平面与法线解解令令切平面方程切平面方程法法线方程方程小结：平面曲线的切线和法线；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线。推导(含义),公式、运用。作作业：P163, 2(2), 3(1), 5, 7.4 4 条件极条件极值值一、一、 条件极条件极值的概念的概念以前所以前所讨论的极的极值问题，其极，其极值点的搜索范点的搜索范围是目的函数的定是目的函数的定义域。但是，另外域。但是，另外还有
4、很多极有很多极值问题，其极，其极值点的搜索范点的搜索范围还遭到遭到各自不同条件的限制。各自不同条件的限制。这种附有种附有约束条件的极束条件的极值问题称称为条件极条件极值问题，不，不带约束条件束条件的极的极值问题称称为无条件极无条件极值问题。二、二、 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法过去把条件极去把条件极值问题化化为无条件极无条件极值问题.例如上述水箱例如上述水箱设计问题.这样就把条件极就把条件极值问题(4)、(5)转化化为函数函数(10)的无条件极的无条件极值问题，这种方法称种方法称为拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法。 (10)中的函数中的函数L称称为拉格朗拉格朗日函数，日函数，辅助助变量量称称为拉
5、格朗日乘数。拉格朗日乘数。三、三、 例例题解解那那么么练习练习2解解得得小小结：条件极条件极值的概念；的概念；拉格朗日乘数法的推拉格朗日乘数法的推导和和实际；拉格朗日乘数法的运用拉格朗日乘数法的运用(处理条件极理条件极值问题): 极极值、最、最值、不等式、不等式,典型例典型例题。 作作业：P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示提示:仿例仿例3).“第第18章章 隐函数定理及其运用的函数定理及其运用的习题课一、内容要求一、内容要求1、了解、了解隐隐函数的概念，了解函数的概念，了解隐隐函数存在独一性定理、可微性定理，函数存在独一性定理、可微性定理，掌握掌握隐隐函数的求函数的求导导
6、法法2、了解、了解隐隐函数函数组组的概念，了解的概念，了解隐隐函数函数组组定理、掌握求定理、掌握求导导法，法，了解反函数定理与坐了解反函数定理与坐标变换标变换3、会求平面曲、会求平面曲线线的切的切线线与法与法线线，空，空间间曲曲线线的切的切线线与与法平面，与与法平面，曲面的切平面与法曲面的切平面与法线线4、会用拉格朗日乘数法、会用拉格朗日乘数法处处理条件极理条件极值问题值问题(极极值值、最、最值值、不等式、不等式)二、作二、作业问题P151，1，2； P158，6三、三、练习参考：参考：P157，例，例4.11 设三个正数的和恒三个正数的和恒为常数，常数，问它它们取何取何值时其乘其乘积最大？最大？
