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1、线性代数课题组1.5线性方程组和克莱姆法则克莱姆法则2.线性方程组的基本概念1.线性代数课题组（1 1） : :未知量，未知量， : :常数项或方程的右端常数项或方程的右端( (这里这里m m与与n n未必相等未必相等) ) : :系数系数一、线性方程组的基本概念线性代数课题组线性方程组的解线性方程组的解: :一组数一组数 方程组中的未知量方程组中的未知量 时，方程组中的每个时，方程组中的每个如果如果 则方程变成则方程变成 （2 2） （2 2）叫做）叫做(1)(1)的对应的对应齐次线性方程组齐次线性方程组，而（，而（1 1）称）称为为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. .显然，显然， 是是齐
2、次线性方程组（齐次线性方程组（2 2）的解，并称为（）的解，并称为（2 2）的）的零解零解 当用它们依次替换当用它们依次替换方程都成立方程都成立. . 线性代数课题组当当m=n时时叫做叫做n阶线性方程组阶线性方程组. . 它的系数它的系数 组成的行列式组成的行列式称为方程组称为方程组 系数行列式系数行列式. . 线性代数课题组定理定理（克莱姆法则）（克莱姆法则）系数行列式系数行列式 则方程组有则方程组有惟一解惟一解 若线性方程组若线性方程组二、克莱姆法则线性代数课题组例例1 1 解线性方程组解线性方程组 解解 系数行列式系数行列式线性代数课题组所以，方程组有唯一解所以，方程组有唯一解线性代数课
3、题组由克莱姆法则得由克莱姆法则得, , 同理可求得同理可求得, , 线性代数课题组推论推论1 1 ：若齐次线性方程组：若齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 ，则方程组，则方程组只有零解只有零解. . 推论推论2 2 ：若齐次线性方程组：若齐次线性方程组 有有非零解非零解, ,则系数行列式则系数行列式 线性代数课题组例例2 2 判断方程组判断方程组 是有零解还是有非零解是有零解还是有非零解? ? 解解 由于系数行列式由于系数行列式线性代数课题组所以方程组只有零解所以方程组只有零解. .线性代数课题组 例例3 3 已知已知 有非零解有非零解, , 求求 k . . 解解线性代数课题组练习练习
4、有非零解？有非零解？问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组解解线性代数课题组齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.线性代数课题组思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆能否用克莱姆法则解方程组法则解方程组?为什么为什么?此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.线性代数课题组1. 1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件用克莱姆法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数
5、等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .三、小结线性代数课题组本章本章小结小结概要概要本章重点内容可以归结为五个方面：本章重点内容可以归结为五个方面：一个概念（一个概念（n n阶行列式）阶行列式）两种计算行列式的方法两种计算行列式的方法四类可直接求出的行列式四类可直接求出的行列式几种特殊行列式的计算方法几种特殊行列式的计算方法克莱姆法则克莱姆法则线性代数课题组一个概念（一个概念（
6、n阶行列式）阶行列式）四类可直接求出的行列式四类可直接求出的行列式1对角行列式对角行列式2. 2. 上三角形行列式上三角形行列式线性代数课题组3. 下三角形行列式下三角形行列式4. 4. 副对角行列式副对角行列式线性代数课题组化简化简化简为前面四类基本行列式化简为前面四类基本行列式降阶降阶最常用最基本的就是把行最常用最基本的就是把行列式化为上列式化为上三角行列式三角行列式利用行列式性质，在某一行利用行列式性质，在某一行（列）构造出尽可能多的零，（列）构造出尽可能多的零，再按该行（列）展开再按该行（列）展开构造尽可能多的零构造尽可能多的零两种计算行列式的方法两种计算行列式的方法线性代数课题组三种
7、特殊行列式的计算方法三种特殊行列式的计算方法1.计算方法：计算方法：将各行（列）元素都加到第将各行（列）元素都加到第1 行（列），提取公因式，再化行（列），提取公因式，再化 为三角行列式为三角行列式2.爪型爪型计算方法：计算方法：见见P11-例例6，用主对角线元素，用主对角线元素 将行或列化零将行或列化零 3.三对角三对角计算方法：计算方法：递推法递推法 线性代数课题组4.计算方法：计算方法：展开展开线性代数课题组克莱姆法则克莱姆法则1. 1. 如果如果n阶线性方程组的阶线性方程组的系数行列式系数行列式 ， 则方程组有惟一解则方程组有惟一解. . 2. 若若n阶阶齐次线性方程组的系数行列式齐次线性方程组的系数行列式 ，则方程组只有零解，则方程组只有零解. 3. 若若n阶阶齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 ，则系数行列式，则系数行列式 .线性代数课题组= = =9 9（4 4）线性代数课题组= = = =个人观点供参考，欢迎讨论
