《小波变换的定义》PPT课件

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1、第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.1 9.1 小波变换的定义小波变换的定义u小波变换的定义小波变换的定义 给定一个基本函数，令给定一个基本函数，令 (9.1.1)(9.1.1) 若若a,ba,b不断地变化，我们可得不断地变化，我们可得 到一族函数到一族函数 。给定平。给定平方可积的信号方可积的信号 ，即即 则小则小x(tx(t) )的小波变换（的小波变换（Wavelet TransformWavelet Transform，WTWT）：）： （）第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 信号信号 的小波变换的小波变换 是是a a和和b b的函数，的函数，b b是时移，是时移，a a是

2、尺度因子。是尺度因子。 又称为基本小波，或母小波。又称为基本小波，或母小波。 是母小是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波经移位和伸缩所产生的一族函数，称之为小波基函数，或简称小波基。波基函数，或简称小波基。 式中式中,b,b的作用是确定对的作用是确定对x(tx(t) )分析的时间位置，分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子也即时间中心。尺度因子a a的作用是把基本小波的作用是把基本小波 作伸缩。作伸缩。式中的因子式中的因子 是为了保证在不同的尺度时，是为了保证在不同的尺度时，始终能和始终能和 母函数有着相同的能量，即母函数有着相同的能量，即第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础

3、令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的令的傅里叶变换为，的傅里叶变换为，由傅里叶变换的性质，的傅里叶变换为：性质，的傅里叶变换为： （）由由ParsevalsParsevals定理，（定理，（）式可重新表为：）式可重新表为： （）此式即为小波变换的频域表达式此式即为小波变换的频域表达式。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.2 小波变换的特点小波变换的特点u 小波变换的恒小波变换的恒Q性性 由小波变换的两个定义可以看出，如果由小波变换的两个定义可以看出，如果 在在时域是有限支撑的，那么它和时域是有限支撑的，那么它和 作内积后将保证作内积后将保证在时域也是有限支撑的，从而实现所

4、希望的时域定位在时域也是有限支撑的，从而实现所希望的时域定位功能，也即功能，也即 反映的是反映的是 在在b b附近的性质；附近的性质；若若 具有带通性质，即具有带通性质，即 围绕着中心频率围绕着中心频率是有限支撑的，那么是有限支撑的，那么 和和 作内积后也将作内积后也将反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定反映在中频率处的局部性质，而实现好的频率定位性质。位性质。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础若若 的时间中心是的时间中心是 , ,时宽是时宽是 ， 的频率中心的频率中心是是 , ,带宽是带宽是 ，那么，那么 的时间中心仍是的时间中心仍是 ，但时，但时宽变成宽变成 ， 的频谱的频谱

5、 的频率中心变为的频率中心变为 带宽变成带宽变成 。这样。这样, , 的时宽带宽积仍是的时宽带宽积仍是 , ,与与a a无关。无关。 定义：定义：为小波为小波 的品质因数，对的品质因数，对 ，其，其= =带宽带宽/ /中心频率中心频率 带宽带宽/ /中心频率中心频率 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系中心和频率中心的关系 图图9.2.2 9.2.2 a a取不同值时小波变换对信号分析的时频区间取不同值时小波变换对信号分析的时频区间第第9 9章章

6、 小波变换基础小波变换基础 由于小波变换的恒由于小波变换的恒Q Q性质，因此在不同尺度下，图性质，因此在不同尺度下，图中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由中三个时、频分析区间（即三个矩形）的面积保持不变。由此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，此，小波变换提供了一个在时、频平面上可调的分析窗口，该分析窗口在高频端（图中该分析窗口在高频端（图中 处）的频率分辨率不好（矩处）的频率分辨率不好（矩形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边形窗的频率边变长），但时域的分辨率变好（矩形的时间边变短）；反之，在低频端（图中变短）；反之，在低频端（图中 处），频率分辨

7、率变处），频率分辨率变好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图中分析好，而时域分辨率变差。但在不同的值下，图中分析窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要窗的面积保持不变，也即时、频分辨率可以随分析任务的要作出调整。作出调整。u小波变换的时域及频率分辨率小波变换的时域及频率分辨率第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对信号中的高频成份往往对应时域中的快变成份。对这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成这一类信号分析时则要求时域分辨率要好以适应快变成份间隔短的需要，对频域的分辨率则可以放宽，当然，份间隔短的需要，对频域的分辨率则可

8、以放宽，当然，时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是时、频分析窗也应处在高频端的位置。低频信号往往是信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的信号中的慢变成份，对这类信号分析时一般希望频率的分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中分辨率要好，而时间的分辨率可以放宽，同时分析的中心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自心频率也应移到低频处。显然，小波变换的特点可以自动满足这些客观实际的需要。动满足这些客观实际的需要。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 用较小的用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细致观察，用

9、较大的频小波对信号作细致观察，用较大的a对信号作低对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分察。小波变换的这一特点即既符合对信号作实际分析时的规律，也符合人们的视觉特点。析时的规律，也符合人们的视觉特点。u小波变换和其它信号分析方法的区别小波变换和其它信号分析方法的区别 傅里叶变换傅里叶变换 傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频傅里叶变换的基函数是复正弦。这一基函数在频域有着最佳的定位功能（频域的域有着最佳的定位功能（频域的 函数），但在时函数），但在时域所对应的范围是域所对应的范围是 - -

10、 ，完全不具备定位功能。，完全不具备定位功能。这是这是FTFT的一个严重的缺点。的一个严重的缺点。 第第9 9章章 小波变换的基础小波变换的基础短时傅里叶变换短时傅里叶变换 重写（重写（）式，即）式，即 (9.2.6)(9.2.6) STFTSTFT不具备恒不具备恒Q Q性质，当然也不具备随着分辨率性质，当然也不具备随着分辨率变化而自动调节分析带宽的能力，如图变化而自动调节分析带宽的能力，如图所示所示。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础图图9.2.3 STFT的时频分析区间的时频分析区间第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 定义定义 (9.2.7) (9.2.7)为信号的为信号的“尺

11、度图（尺度图（scalogramscalogram）”。它也是一种能。它也是一种能量量分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单分布，但它是随位移和尺度的能量分布，而不是简单的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应的随的能量分布。但由于尺度间接对应频率（小对应高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种高频，大对应低频），因此，尺度图实质上也是一种时频分布。时频分布。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 综上所述，由于小波变换具有恒综上所述，由于小波变换具有恒Q Q性质及自动调性质及自动调节对信号分析的时宽节对信号分析的时宽/ /带宽等一系列突出优点，因此带宽等一系列突出优点，

12、因此被人们称为信号分析的被人们称为信号分析的“数学显微镜数学显微镜”。小波变换。小波变换是是八十年代后期发展起来的应用数学分支。八十年代后期发展起来的应用数学分支。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.3 连续小波变换的计算性质连续小波变换的计算性质时移性质时移性质 若若 的的CWTCWT是是 , ,那么那么 的的CWTCWT是是 。记。记 ， (9.3.1)(9.3.1)第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础尺度转换性质尺度转换性质如果如果x(tx(t) )的的CWTCWT是是 ，令，令 ，则，则 (9.3.2)(9.3.2) 证明证明: : 令令 则则 该性质指出，当信号的时间轴

13、按该性质指出，当信号的时间轴按 作伸缩时，其小波变换在作伸缩时，其小波变换在a a和和b b两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不两个轴上同时要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变。这是小波变换优点的又一体现。变。这是小波变换优点的又一体现。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础微分性质微分性质如果如果x(tx(t) )的的CWTCWT是是 ，令，令 ，则则 （）证明：证明：由移位性质有：由移位性质有：即即 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础两个信号卷积的两个信号卷积的CWT CWT 如果如果x(t),h(tx(t),h(t) )的的CWTCWT分别是分别是 及及 ,

14、,令令 则则 （9.3.4)9.3.4)式中符号式中符号 表示对变量表示对变量b b作卷积。作卷积。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础两个信号和的两个信号和的CWTCWT 令令 的的CWTCWT分别是分别是 ，且且 ，则，则 （）同理，如果同理，如果 ，则，则 （）即两个信号和的即两个信号和的CWT等于各自等于各自CWT的和，也即小波变换满足的和，也即小波变换满足叠加原理。叠加原理。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 小波变换式所定义的小波变换式所定义的CWTCWT是是“线性线性”变换，而变换，而WVDWVD表表达式达式WignerWigner分布为代表的一类时频分布为分布为代

15、表的一类时频分布为“双线性双线性变换变换”。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对。正因为如此，是信号能量的分布。与之相对比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅比，小波变换的结果不是能量分布。但小波变换的幅平方，即（）式的尺度图则是信号能量的一种平方，即（）式的尺度图则是信号能量的一种分布。将分布。将 代入代入(9.2.7)(9.2.7)式，可得：式，可得： (9.3.6) (9.3.6)式中式中 分别是分别是 和和 的幅角。的幅角。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该上式表明在尺度图中同样也有交叉项存在，但该交叉项的行为和交叉项的行为

16、和WVDWVD中的交叉项稍有不同。中的交叉项稍有不同。WVDWVD的交叉的交叉项位于两个自项的中间，即位于项位于两个自项的中间，即位于 处，处，分别是两个自项的时频中心。尺度图中的交叉项出分别是两个自项的时频中心。尺度图中的交叉项出现在现在 和和 同时不为零的区域，也即是真同时不为零的区域，也即是真正相互交叠的区域中，这和正相互交叠的区域中，这和WVDWVD有着明显的区别。有着明显的区别。WVDWVD和和WTWT之间的关系之间的关系 ： （）（） 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础小波变换的内积定理小波变换的内积定理 定理定理9.1 9.1 设设 和和 ， 的小的小波变换分别是波变换分别

17、是 和和 ，则，则 （）式中式中 （） 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 （）式实际上可看作是小波变换的（）式实际上可看作是小波变换的ParsevalParseval定理。该式又可写成更简单的形式定理。该式又可写成更简单的形式, ,即即 (9.3.10)(9.3.10)进一步，如果令进一步，如果令 ，由（），由（）式，有式，有 (9.3.11)(9.3.11) 傅里叶变换中的傅里叶变换中的ParsevalParseval定理，即时域中的能量等于频域定理，即时域中的能量等于频域 中的能量。但小波变换的中的能量。但小波变换的ParsevalParseval定理稍为复杂，它不但要定理稍为复杂

18、，它不但要有常数加权，而且以的存在有常数加权，而且以的存在 为条件。为条件。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.4小波反变换及小波容许条件小波反变换及小波容许条件u连续小波反变换的公式及反变换存在的条件连续小波反变换的公式及反变换存在的条件 定理定理9.2 9.2 设设 ，记，记 ， 为的为的傅里叶变换，若傅里叶变换，若 则则 可由其小波变换可由其小波变换 来恢复，即来恢复，即 (9.4.1)(9.4.1) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础证明：设证明：设 ， , ,则则 将它们分别代入（）式的两边，再令将它们分别代入（）式的两边，再令 ，于，于是是 于是定理得证。于是定理得

19、证。 在定理在定理9.19.1和定理和定理9.29.2中，结论的成立都是以中，结论的成立都是以 0a0的范围内任意取值时，这的范围内任意取值时，这时的小波变换即是连续小波变换。时的小波变换即是连续小波变换。 用数值积分的方法计算（）式，即，令用数值积分的方法计算（）式，即，令 (9.7.1)(9.7.1) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 由于在由于在 的区间内，的区间内， ，所以上式，所以上式又可写为：又可写为： (9.7.2) 由该式可以看出，小波变换由该式可以看出，小波变换 可看作是可看作是 和和 的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中的卷积后的累加所得到的结果，卷积的中间变量是间

20、变量是t t，卷积后的变量为，卷积后的变量为a a及及b b。MATLABMATLAB中的中的cwt.mcwt.m即是按此思路来实现的。即是按此思路来实现的。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础小波变换的大致过程：小波变换的大致过程：先由指定的小波名称得到母小波先由指定的小波名称得到母小波 及其时间轴上及其时间轴上的刻度，假定刻度长为的刻度，假定刻度长为 ；从时间轴坐标的起点开始求积分从时间轴坐标的起点开始求积分 ， 由尺度由尺度a a确定对上述积分值选择的步长，确定对上述积分值选择的步长，a a越大，上越大，上述积分值被选中的越多；述积分值被选中的越多；求求 和所选中的积分值序列的卷积

21、，然后再作差和所选中的积分值序列的卷积，然后再作差分，即完成（）式。分，即完成（）式。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础方法的不足方法的不足: :在在a a变化时，）式中括号内的积变化时，）式中括号内的积 分、差分后的点数不同，也即和分、差分后的点数不同，也即和 卷积后的点数不同。卷积后的点数不同。解决的方法解决的方法: :是在不同的尺度下对是在不同的尺度下对 作插值，使其作插值，使其 在不同的尺度下，在其有效支撑范围在不同的尺度下，在其有效支撑范围 内的点数始终相同。内的点数始终相同。 有关有关CWTCWT快速计算的方法还可借助于快速计算的方法还可借助于CZTCZT及梅林及梅林变换等方

22、法变换等方法 。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础例题：例题： 例例9.7.1 9.7.1 令令 为一正弦加噪声信号，它取自为一正弦加噪声信号，它取自MATLABMATLAB中的中的noissin.matnoissin.mat。对该信号作。对该信号作CWTCWT，a a分别等分别等于于2 2和和128128，a=2a=2时，小波变换的结果对应信号中的高时，小波变换的结果对应信号中的高频成份，频成份，a=128a=128时，小波变换对应信号中的低频成份。时，小波变换对应信号中的低频成份。其原始信号及变换结果见图其原始信号及变换结果见图9.7.1(a)9.7.1(a)，(b)(b)和（和（c

23、 c）。）。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础图图9.7.1 9.7.1 信信号号“noissin”“noissin”的的小小波波变变换换 (a) (a)原信号原信号x(t)x(t)，(b)a=2(b)a=2，(c)a=128(c)a=128第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 例例9.7.2 9.7.2 仍然使用例的信号仍然使用例的信号“noissin”“noissin”，对其，对其作作CWTCWT时时a a分别取分别取1010，3030，6060，9090，120120及及150150。所。所得到的图是在各个尺度下的小波系数的灰度图。得到的图是在各个尺度下的小波系数的灰度图。颜色

24、越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处颜色越深，说明在该尺度及该位移（水平轴）处的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结的小波系数越大。此例旨在说明对小波变换的结果具有不同的表示方式。果具有不同的表示方式。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础图图9.7.2 9.7.2 多尺度下小波变换的灰度表示多尺度下小波变换的灰度表示第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.8 尺度离散化的小波变换及小波标架尺度离散化的小波变换及小波标架 对同一个信号对同一个信号 ，在，在 “时频平面时频平面” a-b上，上，给给出几种不同的表示形式：出几种不同的表示形式： STFT STFT： （）（） Gabo

25、r Gabor变换：变换： （）（） WVD WVD： （）（） 小波变换：小波变换： （）（） 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.8.1 尺度离散化的小波变换尺度离散化的小波变换 目前通用的对目前通用的对a a离散化的方法是按幂级数的形离散化的方法是按幂级数的形式逐步加大式逐步加大a a，即令，即令 。若取。若取 ，则，则 (9.8.5)(9.8.5)称为称为“半离散化二进小波半离散化二进小波”，而，而 (9.8.6)(9.8.6)称为二进小波变换。称为二进小波变换。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 设：母小波设：母小波 的中心频率：的中心频率： ，带宽：，带宽： ，当当

26、 时，时， 的中心频率变为的中心频率变为 ，带宽，带宽 。若。若 时，时， 的中心频率和带的中心频率和带宽分别宽分别是：是： ， 。从。从对信号作频域分对信号作频域分析的角度，希望当析的角度，希望当a由由 变成变成 时，时， 和和 在在频域对应的分析窗频域对应的分析窗 和和 能够相连。能够相连。这样，当这样，当j j由由0 0变至无穷时，变至无穷时， 的傅里叶变换可以覆盖整个的傅里叶变换可以覆盖整个 轴。轴。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由由 恢复恢复 ： 设设 是是 的对偶小波，并令的对偶小波，并令 和和 取类取类似的形式，即似的形式，即 (9.8.7)(9.8.7)这样，通过对

27、偶小波，我们希望能重建这样，通过对偶小波，我们希望能重建 ： (9.8.8)(9.8.8)对上式作如下变换：对上式作如下变换： 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由（）和（）式，有由（）和（）式，有 (9.8.9)(9.8.9)显然，若显然，若 (9.8.10)(9.8.10)则（）式的右边变成则（）式的右边变成 的傅里叶反变换，自的傅里叶反变换，自然就是然就是 。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 对于满足容许条件的小波对于满足容许条件的小波 ，当，当 时，其时，其二进制小波二进制小波 对应的傅里叶变换应满足（）式的稳定对应的傅里叶变换应满足（）式的稳定性条件。这样，结合（）和

28、（）式，我们可由下式得到性条件。这样，结合（）和（）式，我们可由下式得到对偶小波对偶小波 : : (9.8.11) (9.8.11)由于（）式的分母满足（）式，因此有由于（）式的分母满足（）式，因此有 (9.8.12) (9.8.12)这样，对偶小波这样，对偶小波 也满足稳定性条件，也即，总可以找到也满足稳定性条件，也即，总可以找到一个一个“稳定的稳定的”对偶小波对偶小波 由（）式重建出由（）式重建出 。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础定理定理 9.4 9.4 : : 如果存在常数如果存在常数 ，使得，使得 (9.8.13)(9.8.13)则则 (9.8.14)(9.8.14)如果如

29、果 满足满足 (9.8.15)(9.8.15)则则 (9.8.16)(9.8.16) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 定理定理9.49.4指出，若指出，若 的傅里叶变换满足稳定性条件，的傅里叶变换满足稳定性条件，则则 在在 上的小波变换的幅平方的和是有界的。进上的小波变换的幅平方的和是有界的。进而，而， 和和 的傅里叶变换若满足（）式（也即的傅里叶变换若满足（）式（也即（）式），则（）式），则 可由（）式重建。可由（）式重建。 若（）式的稳定性条件满足，则（）式的容许条件必定若（）式的稳定性条件满足，则（）式的容许条件必定满足，且满足，且 (9.8.17)(9.8.17)从而，由连续

30、小波变换从而，由连续小波变换 总可以恢复总可以恢复 ，即，即（）（）式总是成立式总是成立 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础总结：总结： 若若 满足容许条件，且再满足稳定性条件，满足容许条件，且再满足稳定性条件，由二进小波变换由二进小波变换 总可以重建，也即一个满总可以重建，也即一个满足稳定性条件的对偶小波足稳定性条件的对偶小波 总是存在的。但是，总是存在的。但是，满足稳定性条件的对偶小波满足稳定性条件的对偶小波 不一定是唯一的。不一定是唯一的。如何构造如何构造“好好”的小波的小波 及得到唯一的对偶小波及得到唯一的对偶小波 是小波理论中的重要内容。是小波理论中的重要内容。 第第9 9章章

31、 小波变换基础小波变换基础9.8.2 离散栅格上的小波变换离散栅格上的小波变换 令令 ，可实现对，可实现对a的离散化。若的离散化。若j=0，则，则 。当。当 时，将时，将a由由 变成变成 时，即时，即是将是将a扩大了扩大了 倍，这时小波倍，这时小波 的中心频率的中心频率比比的中心频率下降了的中心频率下降了 倍，带宽也下降了倍，带宽也下降了 倍。倍。 当尺度当尺度a分别取分别取 时，对时，对b的的抽样间隔可以取抽样间隔可以取 这样，这样，对对a和和b离散化后的结果是：离散化后的结果是： (9.8.18) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 对给定的信号对给定的信号 连续小波变换可变成如下离

32、散连续小波变换可变成如下离散栅格上的小波变换，即栅格上的小波变换，即 (9.8.19) (9.8.19)此式称为此式称为“离散小波变换（离散小波变换（Discrete Wavelet Discrete Wavelet TransformTransform，DWTDWT）”。注意注意: :式中式中t t仍是连续变量。这样，仍是连续变量。这样，(a,b)(a,b)平面上离散平面上离散 栅格的取点如图所示。图中取栅格的取点如图所示。图中取 ，尺，尺 度轴取以度轴取以2 2为底的对数坐标。为底的对数坐标。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础图图9.8.1 DWT9.8.1 DWT取值的离散栅格取值

33、的离散栅格 由由该该图图可可看看出出小小波波分分析析的的“变变焦焦距距”作作用用，即即在在不不同同的的尺尺度度下下（也也即即不不同同的的频频率率范范围围内内），对对时时域域的的分分析析点数是不相同的。点数是不相同的。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 记记 ，仿照傅里叶级数和，仿照傅里叶级数和GaborGabor展开展开那样来重建那样来重建 ，即，即 (9.8.20) (9.8.20)该式称为小波级数，该式称为小波级数， 称为小波系数，称为小波系数， 是是 的对偶函数，或对偶小波。的对偶函数，或对偶小波。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 对任一周期信号对任一周期信号 ，若周期

34、为，若周期为T T，且，且 ，则可展成傅里叶级数，即则可展成傅里叶级数，即 (9.8.21a) (9.8.21a)式中式中 是是 的傅里叶系数，它由下式求出：的傅里叶系数，它由下式求出： (9.8.21b) (9.8.21b) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理小波级数和傅里叶级数形式上类似，但其物理 概念却有着明显的不同：概念却有着明显的不同：傅里叶级数的基函数傅里叶级数的基函数 ，是一组正交基，是一组正交基，即即 。 小波级数小波级数 所用的一族函数不一定是正交基，所用的一族函数不一定是正交基，甚至不一定是一组甚至不一定是一组“基基”；第第9

35、 9章章 小波变换基础小波变换基础对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和对傅里叶级数来说，基函数是固定的，且分析和重建的基函数是一样的，即重建的基函数是一样的，即 都是（差一负号）都是（差一负号）；对小波级数来说，分析所用的函数是可变的，；对小波级数来说，分析所用的函数是可变的，且分析和重建且分析和重建 所用的函数是不相同的，即分所用的函数是不相同的，即分析时是析时是 ，而重建时是，而重建时是 ；在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不在傅里叶级数中，时域和频域的分辨率是固定不变的，而小波级数在变的，而小波级数在a,ba,b轴上的离散化是不等距的，轴上的离散化是不等距的，这正体现了小波变

36、换这正体现了小波变换“变焦变焦”和和“恒恒Q”Q”性的特点。性的特点。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础将连续小波变换改变成离散小波变换的疑问：将连续小波变换改变成离散小波变换的疑问：一族小波函数一族小波函数 ，在空间，在空间 上是否是完备的？所谓完备，是指对任一上是否是完备的？所谓完备，是指对任一 ，它都可以由这一组函数（即，它都可以由这一组函数（即 ）来表示；）来表示；如果如果 是完备的，那么是完备的，那么 对的表示对的表示 是否有信息的冗余？是否有信息的冗余？如果如果 是完备的，那么对是完备的，那么对a和和b的抽样间隔如的抽样间隔如何选取才能保证对何选取才能保证对 的表示不存在信息

37、的冗余的表示不存在信息的冗余？第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础9.8.3 9.8.3 小波标架理论介绍小波标架理论介绍u 标架的基本理论，其要点是：标架的基本理论，其要点是：若若 是是HilbertHilbert空间中的一组向量，对给定的空间中的一组向量，对给定的 若存在常数若存在常数 ，满足，满足 (9.8.22)(9.8.22) 则则 构成了一个标架；构成了一个标架；若若A=BA=B，则称，则称 为紧标架，若为紧标架，若A=B=1A=B=1，则，则 成一正交基成一正交基定义标架算子定义标架算子S S为为 (9.8.23)(9.8.23)则则 (9.8.24)(9.8.24)记记 为

38、的对偶函数族，则为的对偶函数族，则 也构成一个标架，标架界也构成一个标架，标架界分别为分别为 和和 ； 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础用标架来表征一个信号用标架来表征一个信号 ，也即对，也即对 作分解时，作分解时，标架标架 可给出完备的且是稳定的表示，但这种表可给出完备的且是稳定的表示，但这种表示是冗余的，即示是冗余的，即 之间是线性相关的，因此之间是线性相关的，因此 不是唯一的。对信号的冗余表示有时并不一定是不是唯一的。对信号的冗余表示有时并不一定是坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性坏事，它在表示的稳定性、对噪声的鲁棒性（robustnessrobustness）方面都优于正交

39、基；）方面都优于正交基；标界边界标界边界B B和之和之A A比值，即比值，即B/AB/A称为冗余比。在实称为冗余比。在实际工作中，总希望接近于际工作中，总希望接近于1 1，即，即 为紧标架。当为紧标架。当A=BA=B时，有时，有 (9.8.25)(9.8.25)第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础定理定理9.59.5 : : 如果如果 构成构成 中的一中的一个标架，且标架边界分别为个标架，且标架边界分别为A A和和B B，则母小波须满足：，则母小波须满足： (9.8.26a) (9.8.26a)及及 (9.8.26b) (9.8.26b) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 以上定理

40、又称构成标架以上定理又称构成标架 的必要条件。这的必要条件。这一条件实际上即是连续小波变换中的容许条件。一条件实际上即是连续小波变换中的容许条件。当仅当仅a a对取二进制离散化，对取二进制离散化，b b保持连续时，该必要保持连续时，该必要条件也就是充分条件条件也就是充分条件。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 若若 构成紧标架，即构成紧标架，即A=BA=B，那么，其标架边界，那么，其标架边界 (9.8.27)(9.8.27) 若若 构成构成 中正交基，则中正交基，则 (9.8.28)(9.8.28) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础定理定理9.6: 9.6: 定义定义 (9.8.

41、29)(9.8.29)及及 (9.8.30)(9.8.30)如果如果 和和 的选取保证的选取保证 (9.8.31a)(9.8.31a)及及 (9.8.31b)(9.8.31b)则则 是是 中的一个标架。中的一个标架。 、 分别是标架界分别是标架界A A和和B B的下界与上界。的下界与上界。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 例例9.8.1 9.8.1 对（）式给出的墨西哥草帽小波，对（）式给出的墨西哥草帽小波，利用（）式计算在利用（）式计算在a a和和b b取不同步长时边界取不同步长时边界A A和和B B的值，的值，如表所示。表中如表所示。表中 取取 。显然，。显然，N N越大，对越大

42、，对a a离散化的步长越小。离散化的步长越小。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础由该表可以看出：由该表可以看出：当当 时，墨西哥草帽离散化后的时，墨西哥草帽离散化后的 都接近都接近于构成一个紧标架，即这时的于构成一个紧标架，即这时的B/AB/A接近于接近于1 1；同一值同一值N N下，下， 越小，越小，A A和和B B的值越大，因为这时的值越大，因为这时 所以它们的值反映了冗余度的大小。显然，所以它们的值反映了冗余度的大小。显然， 越小，越小，冗余度越大，自然冗余度越大，自然A A和和B B越大；越大；同一同

43、一N N值下，值下， 越大，越大，B/AB/A的值越大，这就越远离紧的值越大，这就越远离紧标架。若再增加标架。若再增加 ，有可能使求出的为负值，从而，有可能使求出的为负值，从而使这时的使这时的 不再构成标架。不再构成标架。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础总结：总结： 总之，以上的标架理论及边界值总之，以上的标架理论及边界值A、B的计算给我的计算给我们一个大致估计选取们一个大致估计选取 的原则，即二者的的原则，即二者的选取要保持离散化后的选取要保持离散化后的 至少要构成一至少要构成一个标架，以保证对信号稳定、完备的表示。但在个标架，以保证对信号稳定、完备的表示。但在一般情况下，标架并不是

44、正交基，除非一般情况下，标架并不是正交基，除非A=B=1。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础定义：定义： 若若 是由母小波是由母小波 通过伸缩与通过伸缩与移位生成的移位生成的 上的上的“稠密稠密”的二维函数族，并且的二维函数族，并且存在常数和，使得存在常数和，使得 (9.8.32)(9.8.32)对于所有满足平方和的序列对于所有满足平方和的序列 成立，式中成立，式中 (9.8.33)(9.8.33)则称则称 是是 上的一个上的一个RieszRiesz基，常数基，常数A A、B B分别称为分别称为RieszRiesz基的下界和上界。基的下界和上界。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础

45、定义中定义中“稠密稠密”的含义是指的含义是指 中的任一函中的任一函数都可由二维序列数都可由二维序列 的线性组合来表示。的线性组合来表示。定义的简单解释如下定义的简单解释如下： 首先，首先， 是一个标架；是一个标架； 对任意的对任意的 ， 之间是线性无关的。之间是线性无关的。这样，这样，RieszRiesz基可以比标架最大限度地去除冗余度。基可以比标架最大限度地去除冗余度。此外，生成此外，生成RieszRiesz基基 的母小波的母小波 称称为为RieszRiesz函数函数 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 Riesz Riesz基的对偶函数序列基的对偶函数序列 也是一个也是一个Riesz

46、Riesz基，因此基，因此 对任意的对任意的j,kj,k是线性无关的，对是线性无关的，对给定的给定的 ，其对称基，其对称基 是唯一的。这样，我们有是唯一的。这样，我们有 (9.8.34)(9.8.34) 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础其它有关小波的定义：其它有关小波的定义：u 正交小波正交小波 若若RieszRiesz基基 满足满足 (9.8.35)(9.8.35)则称生成则称生成 的母小波的母小波 为正交小波。式中为正交小波。式中 (9.8.36)(9.8.36)（）式指出，在同一尺度）式指出，在同一尺度j j下，不同移位之间的下，不同移位之间的 是是正交的。同时，在同一位移正交的

47、。同时，在同一位移k k下，不同尺度下，不同尺度j j之间的之间的 也是正交的也是正交的。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础u 半正交小波半正交小波 若若 满足满足 ，对，对 （） 该式的含义是，若该式的含义是，若 ，则，则 。这时，。这时，对不同的位移对不同的位移k k之间之间 不是正交的。因此，生成不是正交的。因此，生成 的的 称为半正交小波。称为半正交小波。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础u双正交小波双正交小波 若若 和其对偶小波和其对偶小波 之间满足之间满足 (9.8.38)(9.8.38)则称生成则称生成 的的 为双正交小波。为双正交小波。 半正交小波不是正交小波，双

48、正交小波指的是半正交小波不是正交小波，双正交小波指的是和和 其对偶之间的关系，因此也不是正交小波。但一其对偶之间的关系，因此也不是正交小波。但一个正交小波必定是半正交的，也是双正交的。个正交小波必定是半正交的，也是双正交的。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础u 正交小波、半正交小波及双正交小波之间正交小波、半正交小波及双正交小波之间 的关系：的关系： 定理定理9.79.7： 令令 是一个半正交小波，其傅里叶变是一个半正交小波，其傅里叶变换为换为 ，定义，定义 (9.8.39)(9.8.39)并记并记 的傅里叶反变换为的傅里叶反变换为 ，则由，则由 和和 分分别作二进制伸缩和移位生成的别作

49、二进制伸缩和移位生成的 和和 之间是双正之间是双正交的。交的。第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 该定理给出了将半正交小波变成正交小波的该定理给出了将半正交小波变成正交小波的方法。若方法。若 为正交小波，则（）式的分母为为正交小波，则（）式的分母为1 1，这样这样 ，也即，也即 。即正交基和其。即正交基和其对偶基是一样的。对偶基是一样的。 第第9 9章章 小波变换基础小波变换基础 令令 (9.8.40)(9.8.40)并记并记 为为 的傅里叶反变换。由定理（的傅里叶反变换。由定理（9.79.7），）， 的对偶小波的对偶小波 应由下式给出：应由下式给出： (9.8.41)(9.8.41)可以证明，可以证明， ，即，即 和其对偶函数和其对偶函数 是自对偶的，因此，是自对偶的，因此， 即是正交小波。即是正交小波。