21参数方程的概念 (2)

《21参数方程的概念 (2)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《21参数方程的概念 (2)（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、骏马是跑出来的，强兵是打出来的。骏马是跑出来的，强兵是打出来的。主备：冯宗明主备：冯宗明 喻浩喻浩 徐洪燕徐洪燕 审核：牟必继审核：牟必继第二章、参数方程第二章、参数方程2.1、参数方程的概念、参数方程的概念教学目标：教学目标：1通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。意义。2分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。的参数方程。3会进行参数方程和普通方程的互化。会进行参数方程和普通方程的互化。教学重点：教学重点：根据问

2、题的条件引进适当的参数，写根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。程的互化。教学难点：教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 在过去的学习中我们已经掌握了一些求在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们

3、的桥梁，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)0。下面我们就来研究求曲线参数方。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。程的问题。二、问题探究问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为V0，与地面成 角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 二、问题探究问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为V0，与地面成 角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？oxyP(x,y)avocosvosin aAv0h解：设铅球从坐标轴y

4、上的点A处向上斜抛 ，初速度为v0，与x轴的夹角 是t时刻铅球所在位置为P(x,y)a（1）1、参数方程的概念：、参数方程的概念： 如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m高处以高处以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应飞行员应如何确定投放时机呢？如何确定投放时机呢？提示：提示：即求飞行员在离救援点的水即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物平距离多远时，开始投放物资？资？救援点救援点投放点投放点A 我们知道，在不计空气阻力时，

5、救援物资的运我们知道，在不计空气阻力时，救援物资的运动轨迹是平抛运动。动轨迹是平抛运动。飞行员在离救援点的水平距离飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？就是要确定一个点的位置。多远时，开始投放物资？就是要确定一个点的位置。怎样来确定呢？怎样来确定呢？建立平面直角坐标系，如图建立平面直角坐标系，如图？救援点救援点投放点投放点xyoAAM(x,y)xyo记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资的位置为点时物资的位置为点M（x,y）,则则x表示物资的水平位置，表示物资的水平位置，y表示物资距地面的表示物资距地面的高度。由于水平位移量高度。由于水平位移量x与高度

6、与高度y是由两种不同的运动得到是由两种不同的运动得到的，因此直接建立的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。所要满足的关系式并不容易。 换个角度看这个问题。由物理知识，物资投出机舱后，换个角度看这个问题。由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的坐标，表示点的坐标，变量变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的函数。的函数。二

7、、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决唯一决定，从数学角度看，这就是点定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯唯一确定，这样当一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意

8、一点的坐标意一点的坐标(x,y)都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程都在这条曲线上，那么方程(2)就就叫做这条曲线的叫做这条曲线的参数方程，参数方程，联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫叫做做参变数参变数，简称，简称参数，参数， 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标相对于参数方程而言，直接给出点的坐标(x,y)间关系的方程间关系的方程f(x,y)=0叫做叫做普通方程普通方程。1、参数方程的概念：、参数方程的概念：注意：注意：在参数方程中，应明确参数在参数方程中

9、，应明确参数t的取值范围。的取值范围。对于参数方程：对于参数方程：x=f(t),y=g(t)来说，如果来说，如果t的取值范围不同，的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的。如果不明确写出其取值它们表示的曲线可能是不相同的。如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为范围，那么参数的取值范围就理解为x=f(t)和和y=g(t)这两这两个函数的自然定义域的交集。个函数的自然定义域的交集。参数方程不一定局限在平面坐标系当中，其它的坐标系也参数方程不一定局限在平面坐标系当中，其它的坐标系也可以采用参数方程。可以采用参数方程。在运动学中，常常借助于参数方程来描述近质点运动的轨在运动学中，常常

10、借助于参数方程来描述近质点运动的轨迹；某些几何问题，也常常借助于参数方程来刻画曲线，迹；某些几何问题，也常常借助于参数方程来刻画曲线，以便进一步研究曲线的性质。以便进一步研究曲线的性质。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可也可以没有明显意义。以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围为参数概念理解xyOrM (x,y)

11、+=t为参数 l为参数 请用自己的语言来比较一下参数方程与请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点普通方程的异同点2、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（ ） 练习1A、（、（2，7）；）；B、 C、 D、（、（1，0） 1、曲线、曲线 与与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（、（1，4）；）；B、 C、 D、BD 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)在该在该 曲线上曲线上. （1）求常数）求常数a; （2）求曲线）求曲线C的普通方程的普通方程.解解:(1)由题意可知由题意可知: 1+2t=5at2=4解得解得:a=1t=2

12、 a=1(2)由已知及由已知及(1)可得可得,曲线曲线C的方程为的方程为: x=1+2t y=t2由第一个方程得由第一个方程得: 代入第二个方程得代入第二个方程得: 训练2： 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军进行投弹，在一次军事演习中，飞机要向假想敌军进行投弹，投弹时飞机在离地距离投弹时飞机在离地距离h=490m高处高处,水平飞行的速度水平飞行的速度v=100m/s，求炸弹投出后，弹道的参数方程。（不记空，求炸弹投出后，弹道的参数方程。（不记空气阻力，重力加速度气阻力，重力加速度g= ）四四 例题探究例题探究 在一次军事演习中，飞机要向假想敌军进行投弹，在一次军事演习中，飞机要向假想敌军进行

13、投弹，投弹时飞机在离地距离投弹时飞机在离地距离h=490m高处高处,水平飞行的速度水平飞行的速度v=100m/s，求炸弹投出后，弹道的参数方程。（不记空气，求炸弹投出后，弹道的参数方程。（不记空气阻力，重力加速度阻力，重力加速度g= ）xy500o解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O,以垂线为y轴，以O为原点，建立平面直角坐标系。设p(x,y)为炸弹在t s后的坐标，由题意知：四四 例题探究例题探究例例2、动点动点M作等速直线运动作等速直线运动, 它在它在x轴和轴和y轴方向的速轴方向的速度分别为度分别为5和和12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), 求点求点M的轨的轨

14、迹参数方程。迹参数方程。解：设动点M (x,y) 运动时间为t，依题意，得所以，点所以，点M的轨迹参数方程为的轨迹参数方程为求曲线的参数方程一般步骤求曲线的参数方程一般步骤: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为 (x,y) ；（2）选取适当的参数）选取适当的参数t;（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, 物理意义物理意义, 建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式;（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程;(t为参数，且为参数，且t0) 求曲线的参数方程一般程序：求

15、曲线的参数方程一般程序：（1）设点设点：建立适当的直角坐标系，用：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线表示曲线上任意一点上任意一点M的坐标；的坐标；（2）选参选参：选择合适的参数；：选择合适的参数；（3）表示表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与参数与x，y的关系式，并由此分别解出用参数表示的的关系式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式的表达式.（4）结论结论：用参数方程的形式表示曲线的方程：用参数方程的形式表示曲线的方程方法总结例例3、过抛物线、过抛物线y2=2px的顶点的顶点O作两条互相垂直的作两条互相垂直的弦弦OA、OB，求弦，

16、求弦AB中点的轨参数方程。中点的轨参数方程。xyAOB解：设弦解：设弦AB的中点为的中点为M(x,y)，M(x,y)设直线设直线OA的斜率为的斜率为K为参数，为参数，则直线则直线OB的斜率为的斜率为例例4 4、设质设质点沿以原点点沿以原点为圆为圆心，半径心，半径为为2 2的的圆圆做匀速（角速度）运做匀速（角速度）运动动，角速度，角速度为为 rad/s,试试以时间以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。解：如解：如图图，运，运动动开始开始时质时质点位于点位于A A点点处处，此，此时时t=0t=0，设动设动点点M M（x,yx,y）对应时对应时刻刻t,t,由

17、由图图可知可知，得，得参数方程参数方程为为OyxAM(x,y) 2、一位摩托车骑手欲飞越黄河，设摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角为12,摩托车冲出跑道时的速度是19m/s，试建立摩托车飞行轨迹的参数方程。解：以摩托车起飞点为原点，水平向前方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则摩托车飞行轨迹的参数方程为 x=19 cos12 y=19 sin12g （g为重力加速度，时间 为参数）.练习：练习：小结：小结： 一般地，在平面直角坐标系中，一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数 （2）并且对于并且对于t的每

18、一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，都在这条曲线上， 那么方程（那么方程（2）就叫做这条曲线的）就叫做这条曲线的参数方程参数方程， 系变数系变数x,y的变数的变数t叫做参变数，简称参数。叫做参变数，简称参数。作业：教材作业：教材P53. 1 2、圆的参数方程、圆的参数方程xoyM(x,y)圆周运动是生产生活中常见圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀动时，物体中各个点都做匀速圆周运动，那么怎样刻画速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？运动中点的位置呢？ 设圆设圆O的半

19、径为的半径为r，点，点M从从初始位置初始位置 出发，按逆时出发，按逆时针方向在圆针方向在圆O上做匀速圆周上做匀速圆周运动，点运动，点M绕点绕点O转动的角转动的角速度为速度为。以圆心。以圆心O为原点，为原点， 所在直线为所在直线为x轴，建立直角坐轴，建立直角坐标系。显然，点标系。显然，点M的位置由的位置由时刻时刻t 惟一确定，因此可取惟一确定，因此可取t为参数。为参数。r圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式 由于选取的参数不同，圆有不同由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得可以选取不同的变数为参数，因此

20、得到的参数方程也可以有不同的形式，到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示形式不同的参数方程，它们表示 的曲的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。取值范围。练习练习 1 1 已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它化，将它化为参数方程。为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3y-3）2 2=1=1， 参数

21、方程为参数方程为(为参数为参数)例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速作匀速圆周运动时，求点圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0)分析分析：取：取 为为 参数，则圆参数，则圆O的参数方程是的参数方程是 （为参数），当为参数），当变化是，动点变化是，动点P在定圆在定圆O上运动，线段上运动，线段PQ也随之变动，从而使点也随之变动，从而使点M远动，因此点远动，因此点M的运动可以看成是的运动可以看成是由角由角 决定的。

22、于是，选决定的。于是，选 为参数是适合的为参数是适合的。思考思考：这里定点：这里定点Q在圆在圆O上外，你能判断这个轨迹表示上外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点什么曲线呢？如果定点Q在圆在圆O上，轨迹是什么？如果定点上，轨迹是什么？如果定点Q在圆在圆O内，轨迹又是什么？内，轨迹又是什么？练习练习（2，1）3、参数方程和普通方程、参数方程和普通方程 的互化的互化将曲线的参数方程化为普通方程，有利将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通方程是曲线曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消方程的不同形式。一般地，可以通

23、过消去参数而从参数方程得到普通方程。如去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数果知道变数x,y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，的关系，例如例如 ，把它代入普通方程，求，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系出另一个变数与参数的关系那么那么 就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直直线线L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为为参数）参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化可以化为为参数

24、方程参数方程 （为参数）（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程如：如：参数方程参数方程消去参数 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保的取值范围保持一致。持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 例例3 3、把下列参数方程化为普通方程，把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？并说明它们各表示

25、什么曲线？（2）把 平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。所以代入练习、练习、1.将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。2.求参数方程求参数方程表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1， ）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（

26、 1， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1， ）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1， ）分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 ，又02，0x，故应选（B）说明说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例例4 4 解解（1）把 带入椭圆方程，得到 于是由参数 的任意性，可取因此椭圆的参数方程为 （ 为参数） 思考：为什么（2）中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？因此椭圆的参数方程为（t为参数）和（2）把代入椭圆方程，得x,yx,y范范围

27、围与与y=xy=x2 2中中x,yx,y的范的范围围相同，相同，代入代入y=xy=x2 2后后满满足足该该方程，从而方程，从而D D是曲是曲线线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程. .曲曲线线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. . 注意：注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. 在在y=xy=x2 2中，中，xRxR, y0, y0，分析分析: :发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，中，x,y的范围都的范围都而在中，且以练习练习: :普通方程普通方程参数方程参数方程引入参数引入参数消去参数消去参数小结小结