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1、初一数学竞赛讲座第 12 讲 抽屉原理把 5 个苹果放到 4 个抽屉中,必然有一个抽屉中至少有2 个苹果,这是抽屉原理的通俗解释。一般地,我们将它表述为:第一抽屉原理:把( mn 1)个物体放入 n 个抽屉,其中必有一个抽屉中至少有( m 1)个物体。使用抽屉原理解题,关键是构造抽屉。一般说来,数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等,都可作为构造抽屉的依据。例 1 从 1,2,3, 100 这 100个数中任意挑出51 个数来,证明在这 51个数中,一定:(1)有 2 个数互质;(2)有 2 个数的差为 50;(3)有 8 个数,它们的最大公约数大于1。证明:( 1)将 1
2、00 个数分成 50 组:1,2,3 ,4, 99,100。在选出的 51 个数中,必有 2 个数属于同一组,这一组中的2 个数是两个相邻的整数,它们一定是互质的。(2)将 100 个数分成 50 组:1,51,2,52, 50,100。在选出的 51 个数中,必有 2 个数属于同一组,这一组的2 个数的差为 50。(3)将 100 个数分成 5 组(一个数可以在不同的组内):第一组: 2 的倍数,即 2,4, 100;第二组: 3 的倍数,即 3,6, 99;第三组: 5 的倍数,即 5,10, 100;第四组: 7 的倍数,即 7,14, 98;第五组: 1 和大于 7 的质数即 1,11
3、,13, 97。第五组中有 22 个数,故选出的 51 个数至少有 29 个数在第一组到第四组中,根据抽屉原理, 总有 8 个数在第一组到第四组的某一组中,这 8 个数的最大公约数大于 1。例 2 求证:可以找到一个各位数字都是4 的自然数,它是 1996 的倍数。证明:因 19964499,故只需证明可以找到一个各位数字都是1 的自然数,它是 499 的倍数就可以了。得到 500 个余数 r1,r2,r500。由于余数只能取 0,1,2,499 这 499个值,所以根据抽屉原理, 必有 2 个余数是相同的, 这 2 个数的差就是 499 的倍数,这个差的前若干位是1,后若干位是 0:1110
4、00,又 499 和 10 是互质的,故它的前若干位由1 组成的自然数是 499 的倍数,将它乘以 4,就得到一个各位数字都是 4 的自然数,它是 1996 的倍数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页例 3 在一个礼堂中有99 名学生,如果他们中的每个人都与其中的66 人相识,那么可能出现这种情况: 他们中的任何 4 人中都一定有 2 人不相识(假定相识是互相的)。分析:注意到题中的说法“可能出现”,说明题的结论并非是条件的必然结果,而仅仅是一种可能性, 因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。解:
5、将礼堂中的 99 人记为 a1,a2, a99,将 99 人分为 3 组:(a1,a2, a33),( a34,a35, a66),( a67,a68, a99),将 3组学生作为 3 个抽屉,分别记为A,B,C,并约定 A 中的学生所认识的66 人只在 B,C中,同时, B,C中的学生所认识的66 人也只在 A,C和 A,B 中。如果出现这种局面,那么题目中所说情况就可能出现。因为礼堂中任意4 人可看做 4 个苹果,放入A,B,C 三个抽屉中,必有2人在同一抽屉, 即必有 2 人来自同一组, 那么他们认识的人只在另2 组中,因此他们两人不相识。例 4 如右图,分别标有数字1,2, 8 的滚珠
6、两组,放在内外两个圆环上,开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时,必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。分析:此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系,需要转换一下看问题的角度。解:内外两环对转可看成一环静止,只有一个环转动。一个环转动一周后,每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现,那么这种局面共要出现 8 次。将这 8 次局面看做苹果,再需构造出少于8 个抽屉。注意到一环每转动45角就有一次滚珠相对的局面出现,转动一周共有8次滚珠相对的局面, 而最初的 8 对滚珠所标数字都不相同, 所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7 次
7、转动中,将 7 次转动看做 7 个抽屉, 8 次相同数字滚珠相对的局面看做8 个苹果,则至少有 2 次数字相对的局面出现在同一次转动中,即必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。例 5 有一个生产天平上用的铁盘的车间,由于工艺上的原因,只能控制盘的重量在指定的 20 克到 20.1 克之间。现在需要重量相差不超过0.005 克的两只铁盘来装配一架天平, 问:最少要生产多少个盘子, 才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子?解:把 2020.1 克之间的盘子依重量分成20 组:第 1 组:从 20.000 克到 20.005 克;第 2 组:从 20.005 克到 20.010 克
8、;第 20 组:从 20.095 克到 20.100 克。这样,只要有 21 个盘子,就一定可以从中找到两个盘子属于同一组,这2个盘子就符合要求。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页例 6 在圆周上放着 100 个筹码,其中有 41 个红的和 59 个蓝的。那么总可以找到两个红筹码,在它们之间刚好放有19 个筹码,为什么?分析:此题需要研究“红筹码”的放置情况,因而涉及到“苹果”的具体放置方法,由此我们可以在构造抽屉时,使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。解:依顺时针方向将筹码依次编上号码:1,2, 100。然
9、后依照以下规律将 100 个筹码分为 20 组:(1,21,41,61,81);(2,22,42,62,82);(20,40,60,80,100)。将 41 个红筹码看做苹果,放入以上20 个抽屉中,因为 41=2201,所以至少有一个抽屉中有2+1=3(个)苹果,也就是说必有一组5 个筹码中有 3 个红色筹码,而每组的 5 个筹码在圆周上可看做两两等距,且每 2 个相邻筹码之间都有 19 个筹码,那么 3 个红色筹码中必有2 个相邻(这将在下一个内容第二抽屉原理中说明),即有2 个红色筹码之间有19 个筹码。下面我们来考虑另外一种情况: 若把 5 个苹果放到 6 个抽屉中,则必然有一个抽屉空
10、着。这种情况一般可以表述为:第二抽屉原理:把( mn-1)个物体放入n 个抽屉,其中必有一个抽屉中至多有(m-1)个物体。例 7 在例 6 中留有一个疑问,现改述如下:在圆周上放有5 个筹码,其中有 3 个是同色的,那么这3 个同色的筹码必有2 个相邻。分析:将这个问题加以转化:如右图,将同色的 3 个筹码 A,B,C置于圆周上,看是否能用另外2 个筹码将其隔开。解:如图,将同色的 3 个筹码放置在圆周上, 将每 2 个筹码之间的间隔看做抽屉,将其余 2 个筹码看做苹果, 将 2 个苹果放入 3 个抽屉中, 则必有 1 个抽屉中没有苹果,即有2 个同色筹码之间没有其它筹码,那么这2 个筹码必相
11、邻。例 8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿 2 种颜色。首先,甲任选3 条棱并把它们涂上红色;然后,乙任选另外3 条棱并涂上绿色;接着甲将剩下的 6 条棱都涂上红色。问:甲是否一定能将某一面的4 条棱全部涂上红色?解:不能。如右图将 12 条棱分成四组:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页第一组: A1B1,B2B3,A3A4 ,第二组: A2B2,B3B4,A4A1 ,第三组: A3B3,B4B1,A1A2 ,第四组: A4B4,B1B2,A2A3 。无论甲第一次将哪3 条棱涂红,由抽屉原理知四组中必有一组
12、的3 条棱全未涂红, 而乙只要将这组中的3 条棱涂绿,甲就无法将某一面的4 条棱全部涂红了。下面我们讨论抽屉原理的一个变形平均值原理。我们知道 n 个数 a1,a2,an 的和与 n 的商是 a1,a2,an这 n 个数的平均值。平均值原理:如果n 个数的平均值为a,那么其中至少有一个数不大于a,也至少有一个不小于a。例 9 圆周上有 2000 个点,在其上任意地标上0,1,2, 1999(每一点只标一个数,不同的点标上不同的数)。求证:必然存在一点,与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。解:设圆周上各点的值依次是a1,a2,a2000,则其和a1a2+a2000=0+1+
13、2+ +1999=1999000 。下面考虑一切相邻三数组之和:(a1a2a3)+(a2a3a4)( a1998+a1999a2000)(a1999a2000a1)( a2000a1a2)=3(a1a2 a2000)31999000。这 2000 组和中必至少有一组和大于或等于但因每一个和都是整数,故有一组相邻三数之和不小于2999,亦即存在一个点,与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。例 10 一家旅馆有 90 个房间,住有 100 名旅客,如果每次都恰有90 名旅客同时回来,那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客,才能使得每次客人回来时,每个客人都能用自己分到的钥匙打开
14、一个房门住进去,并且避免发生两人同时住进一个房间?解:如果钥匙数小于990,那么 90 个房间中至少有一个房间的钥匙数少房间就打不开,因此90 个人就无法按题述的条件住下来。另一方面,990把钥匙已经足够了, 这只要将 90 把不同的钥匙分给90 个人,而其余的 10 名旅客,每人各 90 把钥匙(每个房间一把),那么任何90 名旅客返回时,都能按要求住进房间。最后,我们要指出, 解决某些较复杂的问题时, 往往要多次反复地运用抽屉原理,请看下面两道例题。例 11 设有 428 的方格棋盘,将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明:无论怎样涂法,至少存在一个四角同色的长方形。精选学习资
15、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页证明:我们先考察第一行中28 个小方格涂色情况, 用三种颜色涂 28 个小方格,由抽屉原理知,至少有10 个小方格是同色的,不妨设其为红色,还可设这10 个小方格就在第一行的前10列。下面考察第二、三、四行中前面10 个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能:(1)这三行中,至少有一行,其前面10 个小方格中,至少有2 个小方格是涂有红色的, 那么这 2 个小方格和第一行中与其对应的2 个小方格,便是一个长方形的四个角,这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。(2)这三行中每一行前面的10 格
16、中,都至多有一个红色的小方格,不妨设它们分别出现在前三列中,那么其余的37 个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。我们先考虑这个 37 的长方形的第一行。根据抽屉原理,至少有4 个小方格是涂上同一颜色的,不妨设其为蓝色,且在第1 至 4 列。再考虑第二行的前四列,这时也有两种可能:(1)这 4 格中,至少有 2 格被涂上蓝色,那么这2 个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2 个小方格便是一个长方形的四个角, 这个长方形四角同是蓝色。(2)这 4 格中,至多有 1 格被涂上蓝色,那么,至少有3 格被涂上黄色。不妨设这 3 个小方格就在第二行的前面3 格。下面继续考虑第三行前面3 格的情况。用蓝、
17、黄两色涂 3 个小方格, 由抽屉原理知,至少有 2 个方格是同色的, 无论是同为蓝色或是同为黄色,都可以得到一个四角同色的长方形。总之,对于各种可能的情况,都能找到一个四角同色的长方形。例 12 试卷上共有 4 道选择题,每题有3 个可供选择的答案。一群学生参加考试,结果是对于其中任何3 人,都有一道题目的答案互不相同。问:参加考试的学生最多有多少人?解:设每题的三个选择分别为a,b,c。(1)若参加考试的学生有10 人,则由第二抽屉原理知,第一题答案分别为a,b,c 的三组学生中, 必有一组不超过 3 人。去掉这组学生, 在余下的学生中,定有 7人对第一题的答案只有两种。 对于这 7人关于第
18、二题应用第二抽屉原理知,其中必可选出 5 人,他们关于第二题的答案只有两种可能。对于这 5 人关于第三题应用第二抽屉原理知,可以选出4 人,他们关于第三题的答案只有两种可能。最后,对于这 4 人关于第四题应用第二抽屉原理知,必可选出 3 人,他们关于第四题的答案也只有两种。 于是,对于这 3 人来说,没有一道题目的答案是互不相同的,这不符合题目的要求。可见,所求的最多人数不超过9 人。另一方面,若 9 个人的答案如下表所示, 则每 3 人都至少有一个问题的答案互不相同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页所以,所求的最
19、多人数为9 人。练习 12 1. 六(1)班有 49 名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3 人外均在 86分以上后就说:“我可以断定,本班同学至少有4 人成绩相同。”请问王老师说得对吗?为什么?2. 现有 64 只乒乓球, 18 个乒乓球盒,每个盒子里最多可以放6 只乒乓球,至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同?3. 某校初二年级学生身高的厘米数都为整数,且都不大于 160厘米,不小于150 厘米。问:在至少多少个初二学生中一定能有4 个人身高相同?4. 从 1,2, 100 这 100 个数中任意选出 51 个数,证明在这 51 个数中,一定:(1)有两个数的和为101;(
20、2)有一个数是另一个数的倍数;(3)有一个数或若干个数的和是51 的倍数。5. 在 37 的方格表中,有 11 个白格,证明(1)若仅含一个白格的列只有3 列,则在其余的4 列中每列都恰有两个白格;(2)只有一个白格的列只有3 列。6. 某个委员会开了 40 次会议,每次会议有 10 人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。 问: 这个委员会的人数能够多于60 人吗?为什么?7. 一个车间有一条生产流水线,由5 台机器组成,只有每台机器都开动时,这条流水线才能工作。 总共有 8 个工人在这条流水线上工作。 在每一个工作日内,这些工人中只有 5 名到场。为了保证生产, 要对这 8 名
21、工人进行培训, 每人学一种机器的操作方法称为一轮。 问:最少要进行多少轮培训, 才能使任意 5 个工人上班而流水线总能工作?8. 有 9 名数学家,每人至多能讲 3 种语言,每 3 人中至少有 2 人能通话。 求证:在这 9 名中至少有 3 名用同一种语言通话。练习 13 答案:1.对。解:因为49-3=3(100-86+1)+1,即 46=315+1,也就是说,把从 100 分至 86 分的 15 个分数当做抽屉, 49-3=46(人)的成绩当做物体,根据第二抽屉原理,至少有4 人的分数在同一抽屉中,即成绩相同。2.4 个。解:18 个乒乓球盒,每个盒子里至多可以放6 只乒乓球。为使相同乒乓
22、球个数的盒子尽可能少,可以这样放:先把盒子分成6 份,每份有 186=3(只),分别在每一份的3 个盒子中放入 1 只、2 只、3 只、4 只、5 只、6 只乒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页乓球,即 3 个盒子中放了 1 只乒乓球, 3 个盒中放了 2 只乒乓球 3 个盒子中放了 6 只乒乓球。这样, 18个盒子中共放了乒乓球(1+2+3+4+5+6)3=63(只)。把以上 6 种不同的放法当做抽屉,这样剩下64-63=1(只)乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里(除已放满 6 只乒乓球的抽屉外) ,都将使
23、该盒子中的乒乓球数增加1 只, 这时与比该抽屉每盒乒乓数多1 的抽屉中的 3 个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的 1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里,该盒乒乓球就成了3 只,再加上原来装有3 只乒乓球的 3 个盒子,这样就有4个盒子里装有 3 个乒乓球。所以至少有4 个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。3.34 个。解:把初二学生的身高厘米数作为抽屉,共有抽屉160-150+1=11(个)。根据抽屉原理,要保证有4 个人身高相同,至少要有初二学生311+1=34(个)。4.证:( 1)将 100 个数分成 50 组:1,100, 2,99, 50,51。在选出的 51 个数中,必有两数属于同
24、一组,这一组的两数之和为101。(2)将 100 个数分成 10 组:1,2,4,8,16,32,64 , 3,6,12,24,48,96,5,10,20,40,80 , 7,14,28,56,9,18,36,72, 11,22,44,88,13,26,52, 15,30,60,49,98, 其余数。其中第 10 组中有 41 个数。在选出的 51 个数中,第 10 组的 41 个数全部选中,还有 10个数从前 9 组中选,必有两数属于同一组, 这一组中的任意两个数,一个是另一个的倍数。(3)将选出的 51 个数排成一列:a1,a2,a3,a51。考虑下面的 51 个和:a1,a1+a2,a1
25、+a2+a3,a1+a2+a3+a51。若这 51 个和中有一个是 51 的倍数,则结论显然成立;若这51 个和中没有一个是 51 的倍数,则将它们除以51,余数只能是1,2, 50 中的一个,故必然有两个的余数是相同的,这两个和的差是51的倍数,而这个差显然是这51个数( a1,a2, a3,a51)中的一个数或若干个数的和。5.证:( 1)在其余 4 列中如有一列含有3 个白格,则剩下的5 个白格要放入 3 列中,将 3 列表格看做 3 个抽屉, 5 个白格看做 5 个苹果,根据第二抽屉原理,5(=23-1)个苹果放入3 个抽屉,则必有1 个抽屉至多只有( 2-1)个苹果,即必有 1 列只
26、含 1 个白格,也就是说除了原来3 列只含一个白格外还有1列含 1 个白格,这与题设只有1 个白格的列只有 3 列矛盾。所以不会有1 列有 3个白格, 当然也不能再有 1 列只有 1 个白格。 推知其余 4 列每列恰好有 2 个白格。(2)假设只含 1 个白格的列有 2 列,那么剩下的 9 个白格要放入 5 列中,而 9=25-1,由第二抽屉原理知,必有1 列至多只有 2-1=1(个)白格,与假设只有 2 列每列只 1 个白格矛盾。所以只有1 个白格的列至少有3 列。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页6.能。解:开会
27、的“人次”有4010=400(人次)。设委员人数为N,将“人次”看做苹果,以委员人数作为抽屉。若 N60,则由抽屉原理知至少有一个委员开了7 次(或更多次)会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次(或更多次) 的会,故他所参加的每一次会的另外9 个人是不相同的,从而至少有79=63(个)委员,这与N60的假定矛盾。所以, N 应大于 60。7.20 轮。解:如果培训的总轮数少于20,那么在每一台机器上可进行工作的工人果这 3 个工人某一天都没有到车间来, 那么这台机器就不能开动, 整个流水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于20。另一方面,只要进行20 轮培训就够了。对3 名工人进行全
28、能性培训,训练他们会开每一台机器; 而对其余 5 名工人,每人只培训一轮, 让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后,不论哪5 名工人上班,流水线总能工作。8.证:以平面上 9 个点 A1,A2,A9表示 9 个数学家,如果两人能通话,就把表示他们的两点联线,并涂上一种颜色(不同的语言涂上不同颜色)。此时有两种情况:(1)9 点中有任意 2 点都有联线,并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发,分别与 A2,A3,A9联线,又据题意,每人至多能讲 3 种语言,因此 A1A2,A1A3, A1A9中至多只能涂 3 种不同的颜色,由抽屉原理知,这8 条线段中至少有 2 条同色的线段。不妨设A1A2与
29、 A1A3是同色线段,因此A1,A2,A3这3 点表示的 3 名数学家可用同一种语言通话。(2)9 点中至少有 2 点不联线,不妨设是A1与 A2不联线。由于每3 人中至少有两人能通话,因此从A1与 A2出发至少有 7 条联线。再由抽屉原理知,其中必有 4 条联线从 A1或 A2出发。 不妨设从 A1出发, 又因 A1至多能讲 3 种语言,所以这 4 条联线中,至少有2 条联线是同色的。若A1A3与 A1A4同色,则 A1,A3,A4这 3 点表示的 3 名数学家可用同一种语言通话。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页