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1、24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角 复习旧知：请说说我们是如何给复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？圆心角下定义的，试回答？顶点在圆心的角叫圆心角。顶点在圆心的角叫圆心角。考考你：你能仿照圆心角的定义，考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象给下图中象ACB ACB 这样的角下个定义吗？这样的角下个定义吗？顶点顶点在在圆圆上，并且上，并且两边两边都和都和圆圆相交相交的角叫做圆周角的角叫做圆周角 探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？ 画画一个圆一个圆,再任意画一个圆周角再任意画一个圆周角,看一看一下圆心在什么位置下圆心在
2、什么位置?圆心在一边上圆心在一边上圆心在角内圆心在角内圆心在角外圆心在角外如图如图,观察圆周角观察圆周角ABC与圆心角与圆心角AOC,它们的它们的大小有什么关系大小有什么关系?说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.OABCOABCOABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系1 1. .首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的一边的一边(BC)(BC)上时上时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系的大小关系. .nAOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，nAOC=B+A.AOC=
3、B+A.nOA=OBOA=OB，OABCnA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?同弧同弧所对的所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角的一半圆心角的一半. .老师期望老师期望:你可要你可要理解并掌理解并掌握这个模握这个模型型.如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果结果会怎样会怎样? ?2.2.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部的内部时时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大的大小关系会怎样小关系会怎样? ?n老师提
4、示老师提示: :能否转化为能否转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC.ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?同弧同弧所对的所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角圆心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系OABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果结果会怎样会怎样? ?3.3.当当圆心圆心(O)(O)在在圆周角
5、圆周角(ABC)(ABC)的外的外部时部时, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的的大小关系会怎样大小关系会怎样? ?n老师提示老师提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC.ABC = AOC.你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?同弧同弧所对的所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对的的圆心角圆心角的一半的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,ABCOABC综上综上所述所述, ,圆周角圆周角ABCABC与圆心角与
6、圆心角AOCAOC的大小关系是的大小关系是: :同弧所对的同弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆心角的一半圆心角的一半. .OABCOABCOABC即即 ABC = AOC.ABC = AOC.ACB的度数与它所对的弧的度数与它所对的弧AB的度数有什么关系的度数有什么关系?分析分析:连接连接OA,OB,AB=AB C=1/2AOB ACB的度数等于它所的度数等于它所对的弧对的弧AB的度数的一半的度数的一半.规律：规律：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半活动活动2 问题2 同弧（弧同弧（弧AB ）所）所对的的圆周角周角ACB 与与圆周角周角AD
7、B 的大小关系是怎的大小关系是怎样的？的？ 课件件：圆周角定理周角定理规律：规律：同弧或等弧同弧或等弧所对的圆所对的圆周角相等。周角相等。在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？它们所对弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个在同圆或等圆中，如果两个圆周角圆周角相等，它们所对的相等，它们所对的弧弧一定相等一定相等ABCD在同圆或等圆中在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.则则 D=AABCD如图如图, 若若 AC = BD 问题在半径不等的在半径不等的圆中，相等的两个中，相等的两个圆周角所周角所对的弧
8、相等的弧相等吗？ 活动活动CABBAC如图，如图，ABC=30，ABC=30，但是，但是弧弧AC 与与AC不等不等1.1.如图，点如图，点A A、B B、C C、D D在同一个圆上，四边形在同一个圆上，四边形ABCDABCD的对角线把的对角线把4 4个内角分成个内角分成8 8个角，这些角中哪些是相个角，这些角中哪些是相等的角？等的角？ABCD123456781 = 45 = 82 = 73 = 6练练 习习 求求圆中角圆中角X X的度数的度数BAO.70xAO.X110练习练习: :X=35 X=140 1、在、在O中，中，CBD=30 ,BDC=20,求求A解：连接解：连接AC，因为因为CD
9、=CD，所以所以CBD= CAD=30 同理；同理；BC=CB所以所以CDB= CAB=20所以所以DAB=501、在、在O中，中，CBD=30 ,BDC=20,求求A 2、如图，在、如图，在O中，中，AB为直径，为直径，CB = CF, 弦弦CGAB，交，交AB于于D，交，交BF于于E 求证：求证：BE=EC分析：欲证分析：欲证BE=EC，可证，可证ECB= EBC，而而ECB是是BG所对圆周角，所对圆周角， EBC是是FC所对的圆周角，所以，只要证所对的圆周角，所以，只要证FC=BG 即可。即可。又又AB为直径，弦为直径，弦CGAB，BG=BC，BC=CF， BG=FCABDC如图如图:四
10、边形四边形ABCD中中,A 与与 C有何关系有何关系?A +C=180 小结小结本节课你有何收获，说一说本节课你有何收获，说一说24.1.4 24.1.4 圆周角圆周角问题半半圆（或直径（或直径）所所对的的圆周角是多少度？周角是多少度？ 活动活动AOBC1C2C3半圆（或直径）所对的圆周角是直角半圆（或直径）所对的圆周角是直角问题90的的圆周角所周角所对的弦是什么的弦是什么? 活动活动AOBC1C2C390的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径例例 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长
11、又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO= AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB= 180= 90.已知：已知：ABC 中，中，C
12、O为为AB边上的中线，边上的中线， 且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.1.AB1.AB、ACAC为为OO的两条弦，延长的两条弦，延长CACA到到D D，使，使 AD=ABAD=AB，如果，如果ADB=35ADB=35 ，求求BOCBOC的度数。的度数。2 2、如图，在、如图，在OO中，中，BC=2DEBC=2DE， BOC=84 BOC=84，求求 A A的度数。的度数。BOC =140BOC =140 A=21A=21 练练 习习4 4、在、在OO中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)(2x+100)和和(5x-30)(5x
13、-30)，则，则x=x=_ _ _；3. 3. 如图，在直径为如图，在直径为ABAB的半圆中，的半圆中，O O为圆心，为圆心，C C、D D 为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=50COD=50，则，则 CAD=_ CAD=_；20202525练习练习5、如图：、如图：0A、OB、OC都是都是O的半径，的半径，AOB=2BOCAOB=2BOC。求证：。求证： ACB=2 BAC。练习：练习：6.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则则ACB=_。OABC例例1 在足球比在足球比赛场上，甲、乙两名上，甲、乙两名队员互相配合互相配合向向对方球方球门MN进攻，当甲攻，当甲带球冲到球冲到A点点
14、时，乙已，乙已跟随冲到跟随冲到B点点(如如图2)此此时甲是自己直接射甲是自己直接射门好，好，还是迅速将球回是迅速将球回传给乙，乙，让乙射乙射门好？好？分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？解解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出BMN，显然，A点在BMN外，设MA交圆于C，则 MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.ABCO
15、例例2:已知已知, O的弦的弦AB长等于圆的半径长等于圆的半径,求该弦所对的圆心角和圆周角的度数求该弦所对的圆心角和圆周角的度数,OABC圆心角为圆心角为60度度圆周角为圆周角为 30 度度或或 150 度。度。OAB如图，如图，A A是圆是圆O O的圆周角，的圆周角， A=40A=40，求，求OBCOBC的度数。的度数。 练习：练习：练习练习:如图如图 AB是是 O的直径的直径, C ,D是圆上的两是圆上的两点点,若若ABD=40,则则BCD=.ABOCD402.如图如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下少种方法？与同
16、学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB练练 习习 小结小结本节课你有何收获，说一说。本节课你有何收获，说一说。1. 1.圆周角定义圆周角定义圆周角定义圆周角定义: :顶点在圆上顶点在圆上,并且并且两边都和圆两边都和圆相交相交的角叫圆周角的角叫圆周角.3.3.在同圆在同圆( (或等圆或等圆) )中，同弧或等弧所对的圆周中，同弧或等弧所对的圆周角相等角相等, ,都等于该弧所对的圆心角的一半；相都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。等的圆周角所对的弧相等。2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于于9090的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径小结小结: :作业:1、书本、书本94页第页第4、11题题2、基础训练、基础训练
