《1.2阶梯线性方程组的回代法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.2阶梯线性方程组的回代法（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1章 线性方程组 1.2 阶梯方程组的回代法阶梯方程组的回代法1.1 线性方程组的基本概念线性方程组的基本概念 1.3 线性方程组的消元法线性方程组的消元法 1.2.2 阶梯线性方程组阶梯线性方程组 1.2.1 回代法回代法1.2 阶梯方程组的回代法 内容小结内容小结阶梯形方程组的回代法3/161.2.1 回代法回代法 例1.1 求解下列线性方程组 阶梯形方程组的回代法4/16解(1) 由第三个方程 2x3 8, 解得 x3 4 ; 将 x3 4 代入第二个方程 x2 x3 4, 得 x2 0 ; 将 x3 4, x2 0 代入第一个方程 x1 2x2 x3 3, 得 x1 7, 于是得该方
2、程组的唯一解: 阶梯形方程组的回代法5/16(2) 将未知量 x2, x5 视作参数参数移到右端, 阶梯形方程组的回代法6/16将 x4 6 2x5 代入第二个方程得 x3 3 2x5 ; 将 x4 6 2x5 , x3 3 2x5 代入第一个方程得 x1 10 x2 , 于是该方程组有无穷多解, 由第三个方程解得 x4 6 2x5 ; 其通解为 则原方程组变为 (2) 将未知量 x2, x5 视作参数参数移到右端, 阶梯形方程组的回代法7/16 其中 x2 和 x5 为任意数. 把视作参数移到方程右端的未知量称为自由未知量自由未知量, 而把其余的未知量称为基本未知量基本未知量. 注 自由未知
3、量可以任意取值; 方程组的通解中, 基本未知量均由自由未知量表示. 阶梯形方程组的回代法8/16自由未知量的选取并非唯一自由未知量的选取并非唯一, 可以选 x1, x4 为自由未知量, 例如, 对于例1.1中方程组 此时方程组改写为阶梯形方程组的回代法9/16其中 x1 和 x4 为任意数. 同理可求得方程组的通解 还可选 x1, x5 为自由未知量, 或者选 x2, x4 为自由未知量. 阶梯形方程组的回代法10/16现在将例1.1中解线性方程组的方法总结如下: (a) 选定若干个自由未知量, 将其全部移到方程的右端, 使得最后一个方程只含一个基本未知量 xk , 倒数第二个方程除了可能含基
4、本未知量 xk 外只含基本未知量 xj , .(b) 从最后一个方程开始求解, 逐次将所解得的基本未知量的值代入到前一个方程中, 使得该方程只含一个基本未知量, 从而可以求解.这个方法是将后面方程的解代入前面方程, 从而求得前面方程中基本未知量的值, 因此称之为回代法回代法. 阶梯形方程组的回代法11/161.2.2 阶梯方程组阶梯方程组 但是, 并不是任何线性方程组都可以用回代法求解, 那么能用回代法求解的线性方程组应当具有什么样的特点呢? 通过观察例1.1中的线性方程组, 不难发现它们呈阶梯 形状, 称这样的方程组为阶梯方程组阶梯方程组. 阶梯形方程组的回代法12/16例例1.1 求解下列
5、线性方程组 阶梯形方程组的回代法13/16其中 j1, j2, , jr 满足1 j1 j2 jr n , 且 一般来说, 阶梯方程组阶梯方程组具有如下形状: 阶梯形方程组的回代法14/16若 dr1 0, 则0 dr1 为矛盾方程, 即阶梯方程组无解. 若dr1 0, 则阶梯方程组有解.此时, 一般选每个方程的第一个未知量为基本未知量,删去所有 “ 0 0 ” 的方程后, 有 基本未知量个数 方程个数, 自由未知量个数 未知量个数 方程个数. 当未知量个数等于方程个数时, 方程组有唯一解;当未知量个数大于方程个数时, 方程组有无穷多解.阶梯形方程组的回代法15/16定理1.1 在阶梯方程组中, 删去所有“ 0 0 ”的方程. (1) 若最后一个方程“ 0 dr1 (dr1 0) ”, 则方程组无解.(2) 若最后一个方程含有未知量, 则方程组有解: 当方程个数等于未知量个数时, 方程组有唯一解; 当方程个数小于未知量个数时, 方程组有无穷多解, 可用自由未知量表示出其通解. 阶梯形方程组的回代法16/161. 回代法2. 自由未知量, 基本未知量3. 阶梯方程组的定义内容小结内容小结
