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1、多自在度系多自在度系统统振振动动第四章第四章3 3教学内容教学内容多自在度系多自在度系多自在度系多自在度系统统的的的的动动力学方程力学方程力学方程力学方程多自在度系多自在度系多自在度系多自在度系统统的自在振的自在振的自在振的自在振动动频频率方程的零根和重根情形率方程的零根和重根情形率方程的零根和重根情形率方程的零根和重根情形多自在度系多自在度系多自在度系多自在度系统统的受迫振的受迫振的受迫振的受迫振动动有阻尼的多自在度系有阻尼的多自在度系有阻尼的多自在度系有阻尼的多自在度系统统多自在度系统振动多自在度系统振动小结：作用力方程、位移方程和矩阵小结：作用力方程、位移方程和矩阵多自在度系统振动多自在
2、度系统振动 / 多自在度系统的动力学方程多自在度系统的动力学方程位移方程位移方程柔度矩柔度矩阵： F中的元素中的元素fij是使系是使系统仅在第在第 j 个坐个坐标遭到遭到单位力位力 作用作用时相相应于第于第 i 个坐个坐标上上产生的位移生的位移. 柔度矩柔度矩阵与与刚度矩度矩阵的关系：的关系：位移方程不适用于具有位移方程不适用于具有位移方程不适用于具有位移方程不适用于具有刚刚体自在度的系体自在度的系体自在度的系体自在度的系统统。作用力方程作用力方程刚度度矩矩阵： K 中中的的元元素素 kij 是是使使系系统仅在在第第 j 个个坐坐标上上产生生单位位移而相位位移而相应于第于第 i 个坐个坐标上所
3、需施加的力。上所需施加的力。 质量量矩矩阵 ：M 中中的的元元素素 mij 是是使使系系统仅在在第第 j 个个坐坐标上上产生生单位加速度而相位加速度而相应于第于第 i 个坐个坐标上所需施加的力。上所需施加的力。小结：耦合与坐标变换小结：耦合与坐标变换多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的动力学方程多自在度系统的动力学方程质量矩量矩阵中出中出现耦合耦合项称称为惯性耦合。性耦合。刚度矩度矩阵或柔度矩或柔度矩阵中出中出现耦合耦合项称称为弹性耦合。性耦合。不不出出现惯性性耦耦合合时，一一个个坐坐标上上产生生的的加加速速度度只只在在该坐坐标上上引引起起惯性力性力.耦合的表耦合的表耦合的表耦
4、合的表现现方式取决于坐方式取决于坐方式取决于坐方式取决于坐标标的的的的选择选择 同一个系同一个系统选择两种不同的坐两种不同的坐标X 和和Y 有有变换关系：关系：坐坐坐坐标标X X下系下系下系下系统统：坐坐坐坐标标Y Y 下系下系下系下系统统：其中其中其中其中T T 是非奇特矩是非奇特矩是非奇特矩是非奇特矩阵阵假假设恰巧恰巧Y 是主坐是主坐标：对角角阵这样的的T 能否存在？如何能否存在？如何寻觅？不不出出现弹性性耦耦合合时，一一个个坐坐标上上产生生的的位位移移只只在在该坐坐标上上引引起起弹性恢复力性恢复力.当当T 矩矩阵非奇特非奇特时，称矩，称矩阵A 与矩与矩阵TTAT 合同。合同。对于于质量矩
5、量矩阵也如此。也如此。线性代数知性代数知: 合同矩合同矩阵具有一具有一样的的对称性称性质与一与一样的正定性的正定性质。对称性称性质： 假假设矩矩阵A 对称，那么称，那么TTAT对称。称。证明：明：矩矩阵A 对称，称，AAT那么有：那么有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT正定性正定性质：假假设原来的原来的刚度矩度矩阵K 正定，那么正定，那么TTKT仍正仍正定。定。因此坐因此坐标变换X TY 不改不改动系系统的正定性的正定性质。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的动力学方程多自在度系统的动力学方程小结：小结：回想：单自在度系统自在振动无阻尼自在振动回想：单自在度系统自在振动
6、无阻尼自在振动单自在度系自在度系统自在振自在振动分析的普分析的普经过程：程：1、由工程安装建立自在振、由工程安装建立自在振动动的普通方程，并写出振的普通方程，并写出振动动的的规规范方程；范方程；2、根据、根据规规范方程，建立本征方程并范方程，建立本征方程并计计算得到本征算得到本征值值；3、根据本征、根据本征值值，写出，写出规规范方程的通解；范方程的通解；4、根据初始条件，、根据初始条件，计计算算规规范方程的特解。范方程的特解。单自在度系自在度系统自在振自在振动分析的普通目的：分析的普通目的：1、求系、求系统统的固有角的固有角频频率，即固有率，即固有频频率；率；2、求解、求解规规范方程。范方程。
7、多自在度系多自在度系统的自在振的自在振动 固有固有固有固有频频率率率率 模模模模态态 模模模模态态的正交性的正交性的正交性的正交性 主主主主质质量和主量和主量和主量和主刚刚度度度度 模模模模态态叠加法叠加法叠加法叠加法 模模模模态态截断法截断法截断法截断法多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动多自在度系统的固有频率多自在度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：自在振自在振动方程：方程： 在在思思索索系系统的的固固有有振振动时，最最感感兴趣趣的的是是系系统的的同同步步振振动，即即系系统在在各各个个坐坐标上上除除了了运运动幅幅值不不一一样外外，随随时间变
8、化的化的规律都一律都一样的运的运动 。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动和和单自在度系一致自在度系一致样，自，自在振在振动时系系统将以固有将以固有频率率为振振动频率。率。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动同同步步振振动动：系系统统在在各各个个坐坐标标上上除除了了运运动动幅幅值值不不一一样外，随时间变化的规律都一样的运动样外，随时间变化的规律都一样的运动 。振动方式振动方式1振动方式振动方式2振动方式振动方式3三自在度系统三自在度系统思索：同步振思索：同步振动是不是解耦振是不是解耦振动？多自在度系统的
9、固有频率多自在度系统的固有频率作用力方程：作用力方程：自在振动方程：自在振动方程：代表着振代表着振动的外形的外形常数列向量常数列向量 多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动和单自在度系一致样，自和单自在度系一致样，自在振动时系统将以固有频在振动时系统将以固有频率为振动频率。率为振动频率。同同步步振振动动：系系统统在在各各个个坐坐标标上上除除了了运运动动幅幅值值不不一一样样外外，随随时时间间变化的规律都一样的运动。变化的规律都一样的运动。 运运动规律的律的时间函数函数 代入，并左乘代入，并左乘 ：常数：常数M 正定，正定，K 正定或半正定正定或半正定
10、对于非零列向量对于非零列向量 ： 令：令：对于半正定系统，有对于半正定系统，有 对于正定系统必有对于正定系统必有 多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率a、b、 为常数1正定系正定系统 只能够出现形如只能够出现形如 的同步运动。的同步运动。系系统在各个坐在各个坐标上都是按一上都是按一样频率及初相位作率及初相位作简谐振振动。 2半正定系半正定系统 能够出现形如能够出现形如 的同步运动。的同步运动。也能够出现形如也能够出现形如 的同步运动的同步运动不不发生生弹性性变形形 。主振主振动多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自
11、在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率首先讨论正定系统的主振动：首先讨论正定系统的主振动： M 正定，正定，K 正定正定主振主振动：正定系统：正定系统：将常数将常数 a 并入并入 中中代入振代入振动方程：方程： 有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：特征方程特征方程 多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率解出解出 n 个个值，按升序，按升序陈列列为： ：第：第 i 阶固有频率阶固有频率频率方程率方程或特征多或特征多项式式仅取决于系取决于系统本身的本身的刚度、度、质量等物理参数。量等物理参数。：基频。：基频。多自在度
12、系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率采用位移方程求解固有频率：采用位移方程求解固有频率： 位移方程：位移方程：柔度矩阵柔度矩阵自在振自在振动的位移方程：的位移方程：主振主振动： 代入，得：代入，得： 特征值特征值多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率采用位移方程求解固有频率：采用位移方程求解固有频率： 位移方程：位移方程：柔度矩阵柔度矩阵自在振动的位移方程：自在振动的位移方程：主振动：主振动： 代入，得：代入，得： 特征值特征值特征方程：特征方程： 特征根按降序特征根按降序陈列
13、：列： 多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率例：三自在度系统例：三自在度系统m2kmmk2kkx1x2x3多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率小结：固有频率小结：固有频率多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/固有频率固有频率主振主振动：正定系统：正定系统：代入振代入振动方程：方程： 有非零解的充分必要条件：有非零解的充分必要条件：特征方程特征方程 频率方程或特征多率方程或特征多项式式固有固有频率率仅取决于系取决于系统本身的
14、本身的刚度、度、质量等物理参数。量等物理参数。自在振自在振动的位移方程：的位移方程：主振主振动： 代入，得：代入，得： 特征方程：特征方程： 多自在度系统的模态主振型多自在度系统的模态主振型正定系正定系统：主振主振动：特征特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量 n 自在度系自在度系统：固有固有频率率模模态一一一一对应代入，有：代入，有：多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态第第i 阶模模态特征特征值问题。振振动的外形的外形多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动n 个方程个方程奇次方程奇次方程组当
15、当 不是特征多项式重根时，上式不是特征多项式重根时，上式 n 个方程只需一个不独立个方程只需一个不独立. 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素例如素例如 的项全部移到等号右端的项全部移到等号右端.当当 不是特征多项式的重根时，上式不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只需一个方程中有且只需一个是不独立的个是不独立的 。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素例如素例如 的项全部移到等号右端的项全部移到等号右端 。假设这个方程组左端的系数行列式不为零，那么可
16、解出用假设这个方程组左端的系数行列式不为零，那么可解出用 表示的表示的 否那么应把含否那么应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态n -1个方程个方程非奇次方程非奇次方程组为使计算简单，令：为使计算简单，令：那么有：那么有：当当 不是特征多项式的重根时，上式的不是特征多项式的重根时，上式的 n 个方程中有且只需个方程中有且只需一个不独立一个不独立 。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元的某个元素
17、例如素例如 的项全部移到等号右端。的项全部移到等号右端。 多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态例：三自在度系统例：三自在度系统2kmmmk2kkx1x2x3多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态以以 为例进展阐明：为例进展阐明：将将 代入，有：代入，有：由第三个方程，得：由第三个方程，得：代入第二个方程：代入第二个方程：与第一个方程一与第一个方程一样方程方程组中有一式不独立。中有一式不独立。例如，将第三个方程去掉例如，将第三个方程去掉因此假设令因此假设令 可解出可解出整理整理多自在度系
18、统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态令：令：解得：解得：的的值也可以取恣意非零常数也可以取恣意非零常数将解得将解得 特征向量特征向量 在特征向量中在特征向量中规定某个元素的定某个元素的值以确定其他各元素的以确定其他各元素的值的的过程称程称为归一化一化 。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态正定系统：正定系统：主振主振动：将将 ， 代入主振代入主振动方程方程,并将并将改改为第第 i 阶主振主振动 ：多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态系系统
19、在各个坐在各个坐标上都将上都将以第以第 i 阶固有固有频率率wi 做做简谐振振动，并且同，并且同时经过静平衡位置。静平衡位置。 多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动第一阶主振动第一阶主振动第二阶主振动第二阶主振动第三阶主振动第三阶主振动三自在度系统三自在度系统系系统在各个坐在各个坐标上都将以第上都将以第 i 阶固有固有频率率wi 做做简谐振振动，并且同并且同时经过静平衡位置静平衡位置 w1w2w3第第 i 阶主振动阶主振动 ：多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动第第 i 阶主振动阶主振动 ：比值：比值：
20、 虽然各坐然各坐标上振幅的准确上振幅的准确值并没有确定，但是所表并没有确定，但是所表现的系的系统振振动形状已确定形状已确定 。描画了系统做第描画了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形状，称为第阶主振动时具有的振动形状，称为第 i 阶阶主振型，或第主振型，或第 i 阶模态。阶模态。 主振型主振型仅取决于系取决于系统的的 M 阵、K 阵等物理参数。等物理参数。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态第第 i 阶特征向量阶特征向量 ，就是系统做第，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位阶主振动时各个坐标上位移或振幅的相对比值移或振幅的相对比值 。
21、正定系统：正定系统：第第 i 阶主振动阶主振动 ：系系统的自在振的自在振动：n个主振动的叠加 模模态叠加法叠加法 由于各个主振由于各个主振动的固有的固有频率不一率不一样，多自在度系，多自在度系统的固有的固有振振动普通不是普通不是简谐振振动，甚至不是周期振，甚至不是周期振动。 初始条件决议初始条件决议多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态例：两自在度弹簧质量系统例：两自在度弹簧质量系统m2m2kkkx1x2求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态解
22、：解：动力学方程：力学方程：令主振令主振动： 或直接用或直接用 得：得： m2m2kkkx1x2多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态令令 特征方程：特征方程： 为求主振型，先将为求主振型，先将 代入代入 ：一个独立一个独立 令令那那么么第一阶主振型：第一阶主振型：令令那那么么代入代入第二阶主振型：第二阶主振型：多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态同理：同理： 第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画画图：横坐横坐标表示静平衡位置，表示静平衡位置，纵坐坐标表示主振型中
23、各元素的表示主振型中各元素的值。 第一第一阶主振主振动:11多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动m2m2kkkx1x2两个两个质量以量以w1为振振动频率，同率，同时经过各自的平衡位置，方向一各自的平衡位置，方向一样，而且每一，而且每一时辰的位移量都一辰的位移量都一样。aa同向运同向运动第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：画图：画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值 -21多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动m2m2k
24、kkx1x2第二第二阶主振主振动: 两个两个质量以量以w2为振振动频率，同率，同时经过各自的平衡位置，方向相各自的平衡位置，方向相反，每一反，每一时辰第一个辰第一个质量的位移都第二个量的位移都第二个质量的位移的两倍。量的位移的两倍。 异向运异向运动 2aa第一阶主振型：第一阶主振型：第二阶主振型：第二阶主振型：第一阶主振动第一阶主振动:同向运动同向运动一直不振一直不振动点点11-21多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动无无节点点 一个一个节点点 m2m2kkkx1x2第二阶主振动第二阶主振动:异向运动异向运动 节点点 假假设传感感器器放放在在节点点
25、位位置置，那那么么丈丈量量的的信信号号中中将将不不包包含含有有第第二二阶模模态的信息的信息 。正定系正定系统：特征特征值问题：特征矩特征矩阵记为 B或或当当 不是重特征根不是重特征根时，可以，可以经过 B 的伴随矩的伴随矩阵 求得相求得相应的主振型的主振型 。根据逆矩根据逆矩阵定定义 ：两两边左乘左乘 ：当当 时时 ：或或的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 阶主振主振动多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态主振动的伴随矩阵求法：主振动的伴随矩阵求法：伴随矩伴随矩阵：矩：矩阵A中的元素都用它中的元素都用它们在行列式在行列式A中的代数余子
26、式交中的代数余子式交换后得到的矩后得到的矩阵再再转置，置，这个矩个矩阵叫叫A的伴随矩的伴随矩阵。 A与与A的伴随矩的伴随矩阵左乘、右乘左乘、右乘结果都是主果都是主对角角线上的元素全上的元素全为A的行列式的的行列式的对角角阵。 例：三自在度弹簧质量系统例：三自在度弹簧质量系统2kmmmk2kkx1x2x3求：固有频率和主振型。求：固有频率和主振型。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态解：解：动力学方程：力学方程：主振主振动： 或或 2kmmmk2kkx1x2x3多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振
27、动/模态模态令令 行列式行列式0单根根 可用伴随矩可用伴随矩阵求振型求振型 特征矩阵特征矩阵多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态分分别代入代入 第二第二阶模模态有有 1 个个节点，第三点，第三阶模模态有有 2 个个节点，点，这由主由主振型内元素符号振型内元素符号变号的次数可以判号的次数可以判别出。出。多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态模模态图形：形：1121-11-11第一第一阶模模态：第二第二阶模模态：第三第三阶模模态：2kmmmk2kkx1x2x3无无节点点一个一个节点点两个两
28、个节点点多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态单自在度系统单自在度系统多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态两自在度系统两自在度系统第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态一个节点一个节点无节点无节点节点位置节点位置多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态三自在度系统三自在度系统节点位置节点位置无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多
29、自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态四自在度系统四自在度系统一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点节点位置节点位置无节点无节点多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态小结：模态小结：模态多自在度系统振动多自在度系统振动 / 多自在度系统的自在振动多自在度系统的自在振动/模态模态特征特征值问题：特征值特征值特征向量特征向量固有固有频率率模模态 在特征向量中在特征向量中规定某个元素的定某个元素的值以确定其他各元素的以确定其他各元素的值的的过程称程称为归一化一化 。描画了系统做第描画了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形状，称为第阶主振动时具有的振动形状，称为第 i 阶阶主振型，或第主振型，或第 i 阶模态。阶模态。 主振主振动仅取决于系取决于系统的的 M 阵、K 阵等物理参数。等物理参数。的任一非零列都是第的任一非零列都是第 i 阶主振主振动比较：比较：由于有：由于有： 当当wi不是重特征根不是重特征根时：
