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1、第第 十二十二 章章超静定结构超静定结构1第十二章第十二章 超静定结构超静定结构12.1 12.1 超静定结构概述超静定结构概述12.2 12.2 力法及其正则方程力法及其正则方程212.1 12.1 超静定结构概述超静定结构概述一、定义一、定义 用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为结构，统称为超静定结构或系统超静定结构或系统，也称为也称为静不定结构静不定结构或系统或系统。 在静定系统上增加约束，称为在静定系统上增加约束，称为多余约束多余约束，F1F2MFRFyFx 并因而产生并因而产生多多余约束反力。余约束反力。3 外力超静定结构：
2、外力超静定结构：外部支座反力不能单由静力平衡方程外部支座反力不能单由静力平衡方程求出的结构，图求出的结构，图（a a）, ,（b b）； 内力超静定结构：内力超静定结构：内部约束（内力）不能单由静力平衡内部约束（内力）不能单由静力平衡方程求出的结构方程求出的结构, ,图（图（c c）; ; 混合超静定结构：混合超静定结构：内、外超静定兼而有之的结构内、外超静定兼而有之的结构, ,图（图（d d）F1F2(a)MF(b)F(c)F1F2(d)4 静定基：静定基：解除超静定系统的某些约束后得到的静解除超静定系统的某些约束后得到的静定系统，称为原超静定系统的定系统，称为原超静定系统的基本静定系（简称
3、静定基本静定系（简称静定基），基），同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便同一问题静定基可以有不同的选择，主要是便于计算系统的变形和位移。于计算系统的变形和位移。 相当系统：相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束在静定基上加上外载荷以及多余约束力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。力，这样的系统称为原超静定系统的相当系统。三、基本静定系（静定基）、相当系统三、基本静定系（静定基）、相当系统二、超二、超静定次数静定次数的确定的确定 内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结构的超静定次数。即为超静定结构的超静定次数。超静定次数超静定
4、次数= =未知力数独立静力平衡方程数未知力数独立静力平衡方程数即：即：F1F2RF1F2F1F2R5 12.2 12.2 力法及其正则方程力法及其正则方程一、力法一、力法 以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，由变形协调条件和物理关系建立补为未知力的函数，由变形协调条件和物理关系建立补充方程，来求解未知约束力的方法充方程，来求解未知约束力的方法。6二、力法的基本思路：二、力法的基本思路：1 1、解除多余约束、得静定基、解除多余约束、得静定基2 2、建立相当系统、建立相当系统3 3、变形协调条件、变形协调条件ABABABABABqqq
5、或统一写为：或统一写为：7 在多余约束处加上多余约束在多余约束处加上多余约束反力反力X1及外载荷及外载荷F。 解除解除B处约束成悬臂梁，或解处约束成悬臂梁，或解除左端转动约束，成简支梁。除左端转动约束，成简支梁。1 1、解除多余约束、得、解除多余约束、得静定基静定基2 2、建立、建立相当系统相当系统3 3、列出、列出正则方程正则方程FABCFABCX1 与原系统比较，相当系统与原系统比较，相当系统B点的位移应为零，点的位移应为零，故有变形协调条件：故有变形协调条件：8 其中其中D D1F是是载载荷荷F 在多余约束处在多余约束处引起的多余约束方向的位移，而引起的多余约束方向的位移，而 是是多余约
6、束反力引起的多余多余约束反力引起的多余约束方向的位移。约束方向的位移。对线弹性结构应有：对线弹性结构应有： FABCFABCX1ABCX1FABCABC1代入变形协调条件，得代入变形协调条件，得力法正则力法正则方程方程：4. 4. 解正则方程，求多余约束反力解正则方程，求多余约束反力9 FABCABC1FABCX1也可取图示静定基也可取图示静定基ABC、相当系统、相当系统F10力法求解超静定问题的基本步骤：力法求解超静定问题的基本步骤：2 2、作、作MF图图1 1、确定静定基，并画出未知反力，、确定静定基，并画出未知反力，3 3、作、作X1=1时的时的图图4 4、求、求5 5、将代入正则方程、
7、将代入正则方程求并确定方向（转向）求并确定方向（转向）建立正则方程建立正则方程11例例121EI为常数，作梁的弯矩图。为常数，作梁的弯矩图。ABq解：解：ABqABABABq相当系统相当系统12另一解法：另一解法：解：解：qABABABABq相当系统相当系统13例例122EI为常数，作梁的弯矩图。为常数，作梁的弯矩图。解解（1 1）解除）解除B多余约束，多余约束，建立相当系统建立相当系统（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解（4 4）叠加法作）叠加法作梁的弯矩图。梁的弯矩图。14例例123图示梁，图示梁，EI为常数，求支反力。为常数，求支反力。解解（1 1）解除）解除D多余约
8、束，多余约束，建立相当系统建立相当系统（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解（4 4）根据平衡条件，得）根据平衡条件，得qq15例例124用力法求超静定结构反力，并画弯矩图。用力法求超静定结构反力，并画弯矩图。解解（1 1）选）选B为为多余约束，多余约束，（2 2）建立正则方程）建立正则方程建立相当系统建立相当系统（3 3）求解）求解（4 4）叠加法作）叠加法作弯矩图。弯矩图。16例例125用力法求超静定结构反力。用力法求超静定结构反力。解解（1 1）建立相当系统如图建立相当系统如图（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解17例例126求图示正方形桁架各杆内力
9、。求图示正方形桁架各杆内力。EA=常数。常数。解解（1 1）以）以BD杆为杆为多余约束，多余约束，相当系统如图相当系统如图（2 2）建立正则方程）建立正则方程ll（3 3）求系数）求系数（4 4）解正则方程）解正则方程1819例例127图示结构，由折杆图示结构，由折杆ACDB和拉杆和拉杆AB组成，组成，A、B两点为铰接，在两点为铰接，在B点作用水平力点作用水平力F。已知折杆的抗弯刚度。已知折杆的抗弯刚度为为EI，AB杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为E0A0。求。求AB杆的轴力。杆的轴力。解解（1 1）以）以AB杆为杆为多余约束，多余约束，相当系统如图相当系统如图（2 2）建立正则方程）建立正则方程
10、（3 3）求解）求解20可见：可见：AB杆的轴力与刚架的抗弯刚度对杆的轴力与刚架的抗弯刚度对AB杆抗拉刚杆抗拉刚度的比值有关，度的比值有关， AB杆抗拉刚度越大，则它的轴力就杆抗拉刚度越大，则它的轴力就越大，这是超静定结构的特点。若越大，这是超静定结构的特点。若EI远大于远大于EA，则轴，则轴力可略去不计，此问题可按静定问题处理。力可略去不计，此问题可按静定问题处理。21例例128 如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为如图所示矩形封闭刚架，设横梁抗弯刚度为EI1，立柱抗弯刚度为，立柱抗弯刚度为EI2，试作刚架的弯矩图。，试作刚架的弯矩图。l1l2FFAEI1EI2ACCMCMCFsCFsCF
11、NCFNCX1 =MC解：解：列正则方程列正则方程可判断该结构为三次内力超静定结构，可判断该结构为三次内力超静定结构，由结构关于由结构关于CC 轴对称得：轴对称得：可见利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静可见利用对称性，将三次超定静问题降为一次超定静问题，并取四分之一计算。问题，并取四分之一计算。但由结构关于但由结构关于AA轴对称得：轴对称得：22X1 =MCX1 =1(4)计算计算11和和1F(5)解方程，求解方程，求X1(6)作作M图图AACC(3) 列正则方程为：列正则方程为：23三、三次超静定结构三、三次超静定结构正则方程：正则方程：2425例例129求图示两端固定梁的支反力，并
12、画弯矩图。求图示两端固定梁的支反力，并画弯矩图。解解（1 1）选）选B为为多余约束，多余约束，（2 2）建立正则方程）建立正则方程建立相当系统建立相当系统（3 3）求解）求解26（4 4）叠加法作）叠加法作弯矩图。弯矩图。代入正则方程，化简得代入正则方程，化简得27例例1210画图示超静定刚架的内力图，画图示超静定刚架的内力图，EI为常数。为常数。解：解：由于结构对称，对称由于结构对称，对称面上只有对称力面上只有对称力所以所以正则方程为：正则方程为：282930例例1211画图示超静定刚架的弯矩图，画图示超静定刚架的弯矩图，EI为常数。为常数。解解（1 1）取相当系统如图取相当系统如图（2 2
13、）建立正则方程）建立正则方程31例例1212求图示超静定刚架求图示超静定刚架B支座的支反力，支座的支反力，EI为常数。为常数。解解（1 1）选）选B为为多余约束，多余约束，（2 2）建立正则方程）建立正则方程建立相当系统建立相当系统（3 3）求解）求解3233例例1213 求解超静定刚架。求解超静定刚架。EI为常数。为常数。解解（1 1）建立图示相当系统建立图示相当系统（2 2）建立正则方程）建立正则方程（3 3）求解）求解34351 1、结构的超静定次数等于、结构的超静定次数等于 。 A 、未知力的数目、未知力的数目 ；B 、支座反力的数目；、支座反力的数目； C 、未知力数目与独立平衡方程
14、数目的差数；、未知力数目与独立平衡方程数目的差数；D、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。、支座反力数目与独立平衡方程数目的差数。本章习题本章习题一、选择题一、选择题C362 2、求解静超定结构时，若取不同的静定基，则、求解静超定结构时，若取不同的静定基，则 。 A A 、补充方程不同，解答结果相同、补充方程不同，解答结果相同 ；B B 、补充方程相同，解答结果不同；、补充方程相同，解答结果不同；C C 、补充方程和解答结果都相同、补充方程和解答结果都相同 ；D D、补充方程和解答结果都不同、补充方程和解答结果都不同 。A373 3、超静定系统与其相当系统相比，二者的、超静定系统与其相当系统
15、相比，二者的 。 A A 、内力相同，变形不同、内力相同，变形不同 ；B B 、内力不同，变形相同、内力不同，变形相同 ； C C 、内力和变形都相同、内力和变形都相同 ；D D、内力和变形都不同、内力和变形都不同 。C384 4、用单位力法求解超静定结构的位移时，单位力、用单位力法求解超静定结构的位移时，单位力 。A A 、只能加在原、只能加在原超静定超静定结构上结构上 ；B B 、只能加在基本静定系上、只能加在基本静定系上 ； C C 、既可加在原、既可加在原超静定超静定结构上，也可加在基本静定结构上，也可加在基本静定 系上系上 ；D D 、既不能加在原、既不能加在原超静定超静定结构上，也
16、不能加在基本静结构上，也不能加在基本静 定系上。定系上。 C395 5、用力法解、用力法解超静定超静定问题的正则方程，实质上是问题的正则方程，实质上是 。 A A 、静力平衡方程、静力平衡方程 ；B B 、物理方程、物理方程 ； C C 、变形协调方程、变形协调方程 ；D D、功的互等定理、功的互等定理 。 C406 6、在解、在解超静定超静定系统的力法正则方程中，系数系统的力法正则方程中，系数ij（ij）和和ii的正负情况是的正负情况是 。 A A 、ij是可正可负的，是可正可负的，ii是恒正的是恒正的 ；B B 、ij是恒正的，是恒正的，ii是可正可负的是可正可负的 ； C C 、ij和和
17、ii是恒正的是恒正的 ；D D、ij和和ii均是可正可负的均是可正可负的 。 A 411 1、 已知两杆抗弯刚度均为已知两杆抗弯刚度均为EIEI。不计剪力和轴力对不计剪力和轴力对刚架变形的影响。求支座反力刚架变形的影响。求支座反力。ABCDaqmX1BACDqm二、计算题二、计算题解：解：（1）解除解除B处约束，代之以多余约束力，得原结处约束，代之以多余约束力，得原结构的相当系统构的相当系统（2）列正则方程列正则方程42(2)计算计算11和和1F(3)解方程，求解方程，求X1X1BACDqmmmYAXAMA(4) 求求A处约束力处约束力432 2、等截面梁、等截面梁如图，求如图，求B 点的挠度。点的挠度。（3）求解求解解：解：1 1、求多余反力、求多余反力（1）建立相当系统建立相当系统（2）列正则方程列正则方程443 3、求下列超静定结构的内力。、求下列超静定结构的内力。ABCEIEI解：解：相当系统如图示相当系统如图示45第十二章超静定结构结 束46
