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1、1 / 7 第 11 讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试卷经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试卷也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来,高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性
2、质、通项公式及求和公式。2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试卷的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识
3、,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差 定义法:对于n2 的任意自然数, 验证为同一常数。(2 通项公式法:若 = +n-1)d= + 中项公式法:验证中项公式成立。2. 在等差数列中, 有关的最值问题常用邻项变号法求解:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
4、 - - - - -第 1 页,共 7 页2 / 7 (1 当0,d 当0 时,满足的项数 m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1 证 明 数 列是 等 差 或 等 比 数 列 常 用 定 义 , 即 通 过 证 明或而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意与之间关系的转化。如:=,=4数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概
5、念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路5解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,明确解题方向,形成解题策略四、例题解读例 1已知数列 a是公差 d0 的等差数列,其前n项和为 S(2过点 Q (1,a ,Q(2,a作直线 12,设 l 与 l的夹角为 ,证明: (1因为等差数列a的公差 d0,所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页3 / 7 Kpp是常数 (k=2, 3, n(2直线 l的方程为y-a =d(x-1 ,
6、直线 l的斜率为d例 2已知数列中,是其前项和,并且,设数列,求证:数列是等比数列;设数列,求证:数列是等差数列;求数列的通项公式及前项和。分析:由于 b 和c 中的项都和 a中的项有关,a中又有S=4a +2,可由S-S作切入点探索解题的途径解: (1由 S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a,即a=4a-4a(根据 b的构造,如何把该式表示成b与 b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练 a-2a=2(a-2a,又 b=a-2a,所以 b=2b已知 S=4a +2,a =1,a +a=4a +2,解得 a=5,b =a-2a =3由和得,数列b 是首项为3,公比为2
7、的等比数列,故b=32当 n2 时, S =4a+2=2(3n-4+2 ;当 n=1 时, S =a =1 也适合上式综上可知,所求的求和公式为S =2(3n-4+2 说明: 1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页4 / 7 解的过程中适时应用例 304 年浙江)设数列an的前项的和Sn=,求证数列 an为等比数列。解 :
8、 ( 由, 得又, 即,得. (当 n1 时 ,得所以是首项,公比为的等比数列 . 例 4、, 令 bn=an+1-an(n=1,2- 求数列 bn的通项公式, (2求数列 nan的前 n项的和 Sn。解: I)因故bn 是公比为的等比数列,且II )由注意到可得记数列的前 n 项和为 Tn,则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页5 / 7 例 5在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列。求点的坐标;设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点 为
9、, 且 过 点, 记 与 抛 物 线相 切 于的 直 线 的 斜 率 为, 求 :。 设, 等 差 数 列的 任 一 项,其中是中的最大数,求的通项公式。解: 1)2)的对称轴垂直于轴,且顶点为.设的方程为:把代入上式,得,的方程为:。,=3),T 中最大数. 设公差为,则,由此得说明:本例为数列与解读几何的综合题,难度较大1)、 2)两问运用几何知识算出,解决3)的关键在于算出及求数列的公差。例 6数列中,且满足求数列的通项公式;设,求;设=,是否存在最大的整数,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页6 / 7 使得对
10、任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。解: 1)由题意,为等差数列,设公差为,由题意得,. 2)若,时,故3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意,均有说明:本例复习数列通项,数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。. 五、强化训练一)用基本量方法解题1、04 年浙江)已知等差数列的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2= B )A 4 B 6 C 8 D 10 二)用赋值法解题2、96 年)等差数列 an的前m项和为 30,前 2m项和为 100,则它的前3m项和为 C )A 130 B 170 C 210 D 2603、
11、01 年)设 an 是公比为q的等比数列,Sn是an的前n项和 , 若Sn 是等差数列,则q=_1_ 4、设数列 an 的前项的和Sn= 对于所有n1),且a4=54, 则a1=_2_三)用整体化方法解题5、00 年)已知等差数列an 满足a1+a2+a3+a101=0,则有 0 B a2+a1000 C a3+a99=0 D a51=51 6、02 年)若一个等差数列的前3 项和为 34,最后 3 项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为A) A 13 B 12 C 11 D 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
12、6 页,共 7 页7 / 7 7、03 年上海)在等差数列an 中a5=3,a6=-2,a4+a5+ +a10=-49 四)用函数方法解题8、都在直线y=x+1 上”是“an为等差数列”的 B)A必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件9、0,Sn是an的前n项和,Sn取得最大值,则n=_9_. 10、,+-+=_153_ 五)用递推方法解题11、03 年全国)设 an是首项为1 的正项数列,且n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0, 求它的通项公式是_1/n12、 an-1 (n1, 则 an 的通项an=_a1=1。an=n2 13、04 年北京)定义“等和数
13、列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列,且,公和为5,那么的值为 _3_,这个数列的前n项和的计算公式为_当n为偶数时,;当n为奇数时,14. K,a2k+1=a2k+3k,其中 k=1,2,3,。(1求 a3,a5; 2)求 an的通项公式解: 1=0,a3=a2+31=3.a4=a3+(12=4 a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13. (II a2k+1=a2k+3k= a2k1+(1k+3k,所以 a2k+1a2k1=3k+( 1k, 同理 a2k1a2k3=3k1+(1k1,a3a1=3+(1. 所以 (a2k+1a2k1+(a2k1a2k3+ +(a3a1 =(3k+3k1+ +3+( 1k+(1k1+ +(1, 由此得 a2k+1a1=(3k1+(1k1, 于是 a2k+1=a2k= a2k1+(1k=(1k11+(1k=(1k=1. an的通项公式为:当 n 为奇数时, an=当 n 为偶数时,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页