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1、1 排列与组合一、教材分析 :1基本概念 :排列与排列数、组合与组合数从 n 个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个 排列 ； 从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号表示。从 n 个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 ；从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号表示。2基本公式 : （要理解）=n(n-1)(n- 2)(n-m+1)
2、=(规定 0!=1) 。=(规定=1) 。3排列组合的解题原则: （1）深入弄清问题的情景要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用或乱套一气。具体地说:首先要弄清有无“ 顺序 ” 的要求，如果有“ 顺序 ” 的要求，用，如果无 “ 顺序 ” 要求，就用；其次，要弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理。事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理。（2）两个方向的解题途径对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法。前
3、者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉。这两个途径的优劣因题而异。一般地，一道题目“ 正面解 ” 很繁琐时， “ 反面排除 ” 往往简单，反之亦然（技巧性 ）（3）分析问题的两个方向分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手，一般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题。但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。因此平常做题时，这两种训练都要进行。（4）特别强调一题多解一题多解， 可以从不同角度分析同一问题，加深对分类计数原理、分步计数原理及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解
4、排列组合问题最有效，最主要的检验方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 4对常见问题分类总结关于数字问题，要注意“0”这个特元，关于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“ 捆绑法 ” 看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“ 插空 ” 的方法。二、例题分析例 1（1）用 0，1， 2，3，4 组合多少无重复数字的四位数？（2）这四位数中能被3 整除的数有多少个？解:（1）直接分类法 : 特元法 :特位法
5、:先考虑首位，可以从1，2，3，4 四个数字中任取一个，共种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3 个。即种方法，则共有=96 种方法，即96 个无重复数字的四位数。间接排除法 :先从五个数字中任取四个排成四位数:，再排除不符合要求的四位数即0 在首位的四位数:。则共有=96 个。（2）能被 3 整除的四位数应该是四位数字之和为3 的倍数。分析 :因为不含 0 时，1+2+3+4=10 。10 不是 3 的倍数，所以组成的四位数必须有0，即 0，1，2，3 或 0，2，3，4，共有 2()=36 个。例 2用 0，1，2，3，4 五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列。
6、（1）第 49 个数是多少？（2）23140 是第几个数？解:（1）首位是 1，2，3，4 组成的五位数各24 个。所以第 49 个数是首位为3 的最小的一个自然数，即 30124。（2）首位为 1 组成=24 个数；首位为 2，第二位为0，1 共组成=12 个数。首位为 2，第二位为3，第三位为0 的数共=2 个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0 的数有1 个，为 23104。由分类计数原理: +1=39。按照从小到大的顺序排列23104 后面的五位数就是23140，所以 23140 是第 40 个数。例 35 男 6 女排成一列，问（很经典的一道题，必须掌握）（1）5 男排在一
7、起有多少种不同排法？（2）5 男都不排在一起有多少种排法？（3）5 男每两个不排在一起有多少种排法？（4）男女相互间隔有多少种不同的排法？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 解:（1）先把 5 男看成一个整体，得，5 男之间排列有顺序问题，得，共种。（2）全排列除去5 男排在一起即为所求，得。（3）因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得。（4）分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能
8、挨在一起，得。例 43 名医生和 6 名护士被分配到3 个单位为职工体检，每单位分配1 名医生和2 名护士，不同的分配方案有多少种？（会了吗）解:3 名医生分到3 个单位有种方案， 6 名护士分到3 个单位，每个单位2 名有种，根据分步计数原理，共有=540 种方案。例 5四面体的顶点和各棱中点共10 个点，在其中取4 个点，可以组成多少个不同的三棱锥？解:组成三棱锥，只需4 个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法。从 10 个点中任取4 个点有中，其中 4 个点共面有三类情况: 4 个点位于四面体的同一面中，有4种；取任一条棱上的3 个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6 种；由
9、中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4 个顶点共面有3 种，所以不同的取法共有-4-6-3=141 种。例 6求证（ 1）；（ 2）证明 :（1）另一种解释 :对于含某元素a 的(n+1)个元素中取m 个元素的排列可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a 的，有 m个，因此共有 (+m)个，即+m=。（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 。另一种解释 :对于含
10、有某元素a的(n+1)个元素中取m 个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的， 有个；另一类是含元素a 的有个，因此共有 (+)个，即。三、课外练习 :1用 1， 2，3，4，5 这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A、24 个B、30 个C、40 个D、60 个25 男 2 女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（）A、480 种B、960 种C、720 种D、1440 种3某天课表中6 节课需从 4 门文科， 4 门理科中选出6 门课程排出，其中文科交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有_种。4在 50 件产品中有4 件是次品，其余均合格，
11、从中任意取出5 种，至少3 件是次品的取法共有_种。5. 正方体的 8 个顶点可确定不同的平面个数为_，以这些顶点为顶点的四面体共有_个。参考答案 :1A 2. B3. 72先选出另两门文科，理科有种，又因为文科交叉且一、二节必须排语文，数学有种，所以有=72 种。4=4186 5+12=20-2 6=58 在线测试选择题1 不等式3的解集是（） A、x|x3 B、x|x4, xN C、x|3x3,xN 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - -
12、 - - - - - - 5 2数（）A、一定是奇数B、一定是偶数C、奇偶性由n 的奇偶性来决定D、以上结论都不对3用 0， 1，2，3，这四个数字组成个位数不是1 的没有重复数字的四位数共有（）个 A、16 B、14 C、12 D、10 4要排一个有5 个独唱节目和3 个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2 个舞蹈节目不连排，则不同的排法种数是（） A、B、C、D、5若直线方程Ax+By=0 的系数 A、B可以从 0，1，2，3，6，7 等六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是（） A、-2 B、C、+2 D、6不同的 5 种商品在货架上排成一排，其中a、b 两种必
13、须排在一起，而c、d 两种不能排在一起，则不同的排法共有（） A、12 种B、 20 种C、24 种D、48 种7有 5 列火车停在某车站并行的5 条轨道上，若快车A不能停在第3 道上，货车B不能停在第1 道上，则5列火车的停车方法共有（） A、78 种B、 72 种C、120 种D、96 种8用 0， 1,2 ，3，4，5，六个数字组成没有重复数字的六位奇数的个数是（） A、B、C、D、9由数字 0，1， 2，3，4，5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（） A、210 个B、300 个C、464 个D、600 个10从全班 50 名学生中，选出6 名三好学生，其中地
14、区级1 名，县级2 名，校级3 名，求不同选法的种数.对于这道题，甲列式子，乙列式子，丙列式子，其中所列式子（） A、全正确B、仅甲、乙正确C、仅乙、丙正确D、仅甲、丙正确答案与解析答案： 1D 2 B 3 B 4 C 5 B 6 C 7A 8A 9B 10 A 解析：1选 D。2选 B。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 3选 B。=14 个。4选 C。 5 个独唱节目的排法是，舞蹈不需排在头一个节目，又需任
15、何两个舞蹈节目不连排，只要把舞蹈节目插入独唱节目构成的5 个空隙中即可，即舞蹈的排法是，故选择 C。5选 B。先考虑非零的5 个数字，它们可以组成不同的直线是-2 条，再加入A、B中恰有一个不为零时所表示的两条直线，故选B。6 2 (4!-23!)=24 ，故本题应选C。7不考虑不能停靠的车道，5 辆车共有 5！=120 种停法。A停在 3 道上的停法： 4！ =24 种；B停在 1 道上的停法： 4！ =24 种；AB分别停在 3 道、 1 道上的停法： 3！ =6 种。故符合题意的停法：120-24-24+6=78 种。故本题应选A。8末位只能取1，3，5，只有 3 种可能，首位又不能取0
16、，只有 4 种可能，共有34种可能，故本题应选 A。9由 0，1，2，3， 4，5 组成的没有重复数字的六位数共有个，其中个位数字小于十位数字与十位数字小于个位数字的个数是一样的。因此满足条件的六位数共有：=300 个，故本题应选B。10解法 1：种。解法 2：种。解法 3：种。故本题应选A。北 京 四 中排列、排列数公式 疑难问题解析1理解排列的概念，必须注意以下几点：(1)定义中规定给出的n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。也就是说， 如果某个元素已被取出，则这个元素就不能再取了，否则就变成了取出两个相同的元素。(2)在定义中，包含两方面的内容：第一是选元素。 “
17、从 n 个不同元素中任取m 个不同元素 ” ，要注意被取的元素是什么？取出的元素又是什么？即明确问题中的n 和 m 各是什么。第二是排顺序。“ 将取出的 m 个元素按照一定的顺序排成一列。” 有排顺序的要求是排列问题中的本质属性。(3)由于是从 n 个不同元素中取出m 个不同元素，因此必有m n ，当 m=n 时，即所有元素都取出的排列，这种特殊的排列叫做全排列。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 (4)定义中
18、的 “ 一定顺序 ” ，是与位置有关的问题。对有些具体情况，如取出数字1，2，3 组成三位数，就与位置有关。因123 和 132 是不同的三位数。但如取出数字1，2，3 考虑它们的和，则与位置无关。2写出所有排列的方法排列是指具体的排法。如一个排列ABC ，是指 A 排在左端， B 排在中间， C 排在右端这一具体排法，在写具体的排列时，必须按一定规律写，否则容易造成重复或遗漏。我们常用画树形图的方法逐一写出所有排列。如：写出 A，B，C，D 四个元素中任取两个元素的所有排列。所有排列为AB，AC ，AD ，BA，BC，BD ，CA ，CB， CD，DA ，DB ，DC，共有 12 种不同的排
19、列。3相同排列从排列定义知道， 如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同。例如， AB 和 BA ，虽然元素相同，但由于顺序不同，所以就不是两个相同的排列，而是两个不同的排列。4排列问题的判断如何判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n 个不同元素中取出的m 个元素是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列。例如，从2，3，7，21 四个数中任取两个数相加，可得到多少个不同的和。这四个数中任取两个数出来以后做加法，因为加法满足交换律，2+3=3+2，它们的和与顺序无关，因此就不是排列问题。如果从上面这四个数中任取两个相减，一共有多少个不同的差。因为3-2
20、2 -3，这里有被减数和减数的区别，取出的两个数2 与 3 就与顺序有关了，这就属排列问题。5排列与排列数要分清 “ 排列 ” 和 “ 排列数 ” 这两个不同的概念，一个排列是指从n 个不同元素中，任取 m 个元素， 按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它不是数。而排列数是指从n 个不同元素中取m 个不同元素的所有排列的个数，它是一个数。如从a，b，c 中任取两个元素的排列可以有以下6 种：ab、 ac、ba、bc、ca、cb，每一种都是一个排列，而数字 6 就是排列数。6关于排列数公式(1)排列数公式Anm=n(n-1) (n -m+1)，其特点是：从自然数n 开始，后一个因数比前一个因数小
21、1，最后一个因数是 n-m+1，共 m 个因数相乘。(2)当 m=n 时，排列数公式为Ann=n！，相应地从n 个不同元素中将元素全部取出的一个排列是全排列。7关于排列的应用题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 在解关于排列的应用题时，要特别注意如下几点：(1)弄清题意。 要明确题目中的事件是什么，可以通过怎样的程序来完成这个事件，进而是采用相应的计算方法，不能乱套公式，盲目地计算。(2)弄清问题的限制条件。注
22、意特殊元素和特殊的位置，必要时可画出图形帮助思考。(3)合理的分类 (分类计数原理)和分步 (分步计数原理 )，即通过讨论来解决问题。在排列问题中，常分如下两类基本的方法：(1)直接法。从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；(2)间接法。先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数(排除法 )。组合、组合数公式 疑难问题解析1组合与排列的联系和区别相同点：排列和组合都是从n 个不同元素中取出m(m n)个元素。不同点：排列与组合的区别在于元素取出以后，是“ 排成一排 ” ，还是 “ 组成一组 ” ，其实质就是取出的元素是不是存在顺序上的差异。因此，区分排列问题和组合问题的
23、主要标志是：是否与元素的排列顺序有关。有顺序的是排列问题，无顺序的则是组合问题。例如123 和 321，132 是不同的排列，但它们都是相同的组合。再如两人互通一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题。2组合与组合数和排列与排列数之间的区别一样，“ 组合 ” 和“ 组合数 ” 是两个不同的概念。一个组合是指“ 从 n 不同元素中，任取 m(m n)个元素，并成一组” ，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“ 从 n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数” ，它是一个数，例如，从3 个元素 a、b、c 每次取出 2 个元素的组合为：ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，共3 种，
24、而数字3 就是组合数。3组合应用题(1)众所周知，有顺序要求的是排列问题，无顺序要求的是组合问题。重要的是对“ 顺序 ” 的理解。什么叫做有顺序，这需要通过解题来加深理解。(2)设计好完成事件的程序，并灵活应用分类处理的方法来处理复杂的问题。在分类时要注意做到不重复、不遗漏。组合数的两个性质 疑难问题解析1对组合数的两个性质的理解(1)要能利用组合数的意义来理解上述两项性质。因为从 n 个不同的元素中取出m 元素后，就剩下n-m 个，因此从n 个不同元素中取出m 个元素的方法，与从n 个元素中取出n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的，这就是性质1 揭示的意义。在确定从 n+1 个元
25、素中取m 个元素的方法时，对于某一个元素，只存在取与不取的两种可能.如果取这一个元素，则需从剩下的n 个元素中取出m-1 个元素，所以共有种。如果不取这一个元素，则需从剩下的n 个元素中取出 m 个元素，所以共有种。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 由分类计数原理，得：上述推理过程中可以看成是对组合数两个性质的构造性证明.这种方法不仅可以加深我们对公式的理解，而且也是证明组合恒等式等问题的一种重要思路。(2)
26、利用组合数及组合数的性质可推出如下两个常用结论。(3)组合数的两个性质，(nm) 在有关组合数的计算、化简、证明等方面有着广泛的应用。2排列、组合的应用问题(1)排列应用题无限制条件的简单排列应用题解法步骤一转化二求值，三作答。有附加条件的排列应用题解法(2)组合应用题无限制条件的组合应用题：解法步骤：一判断二转化三求值四作答。有限条件的组合应用题。a类型： “ 含” 与“ 不含 ” 的问题；b解法：直接法、间接法、可将条件视为特殊元素与特殊位置，一般来讲，特殊者优先满足，其余则“ 一视同仁” ；c分类的依据：“ 至多 ” 、“ 至少 ” 。(3)排列、组合综合题一般解法：先选元素后排列，同时
27、注意按元素的性质分类或按事件的发生过程分步.类型：分组、分配、群排列等。3解排列组合问题的基本思路：(1)对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法。有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊的元素或特殊位置；元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看作一个整体；元素不相邻的排列，可以制造空档插进去；元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序，排列后再利用规定顺序的实情求结果。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -
28、10 (2)处理几何中的计算问题，注意 “ 对应关系 ” ，如不共线三点对一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等等，可借助图形来帮助思考，并善于利用几何性质于解题中。(3)对于有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑是分类或分步，或交替使用两个原理，也可以先不考虑约束条件，然后扣除不符合条件的情况获得结果。(4)要注意正确理解“ 有且仅有 ” 、“ 至多 ” 、“ 至少 ” 、“ 全是 ” 、“ 都不是 ” 、“ 不都是 ” 等词语的确切含意。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -
