六章拉普拉斯变换

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1、主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 六章拉普拉斯变换Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 1. 双边拉普拉斯变换；双边拉普拉斯变换；2. 双边拉普拉斯变换的收敛域；双边拉普拉斯变换的收敛域；3. 常用信号的拉氏变换；常用信号的拉氏变换；4. 零极点图与系统函数；零极点图与系统函数；5. 双边拉普拉斯变换的性质；双边拉普拉斯变换的性质；6. 单边拉普拉斯变换；单边拉普拉斯变换；7. 利用单边拉氏变

2、换分析增量线性系统；利用单边拉氏变换分析增量线性系统；本章基本内容：本章基本内容：主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.0 引言引言 (Introduction): 傅傅里里叶叶变变换换是是以以复复指指数数函函数数中中的的特特例例，即即以以和和为为基基底底分分解解信信号号的的。而而对对于于更更一一般般的的复复指指数数函函数数和和也也理理应应能能够够以以此此为为基基底底对对信信号号进进行行分分解解。 傅里叶分析方法在信号与傅里叶分析方法在信号与LTI系统分析中如此有用，系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表

3、示成复指数信号的线性组合，而数信号的线性组合，而复指数函数是一切复指数函数是一切 LTI 系统的系统的特征函数。特征函数。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 通过本章及下一章，会看到拉氏变换和通过本章及下一章，会看到拉氏变换和Z变换不仅变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方题，而且还能解决傅里叶分析方法不能适用的许多方面。面。 拉氏变换与拉氏变换与Z变换的分析方法是傅里叶分析

4、方法的变换的分析方法是傅里叶分析方法的推广，傅里叶分析是它们的特例推广，傅里叶分析是它们的特例。 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。一章要讨论的中心问题。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 （ The Laplace Transform）: 复指数信号复指数信号 是一切连续时间是一切连续时间LTI系统的特征系统的特征函数。如果函数。如果LTI系统的单位冲激响应为系统的单位冲激响应为 ，则系统，则系统对对 产生的响应是：产生的响应是： 其中其中当当 时，就是连续时间傅里

5、叶变换时，就是连续时间傅里叶变换。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 一一. 定义：定义：称为称为 的的双边拉氏变换双边拉氏变换 。其中。其中若若 ， 则则: 就是就是 的傅里叶变换的傅里叶变换。 表明：表明：连续时间傅里叶变换是拉氏变换在连续时间傅里叶变换是拉氏变换在 , 或是在或是在 轴上的特例。轴上的特例。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 由于由于 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广，所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的拉的拉氏变换就是氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的

6、信号，存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号，在引入在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。因此，收敛而它的拉氏变换存在。因此，拉氏变换比傅里叶拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。变换有更广泛的适用性。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 如果如果 在在 收敛，则有：收敛，则有：表明表明傅立叶变换就是拉氏变换在傅立叶变换就是拉氏变换在 轴上的表现轴上的表现。由傅立叶反变换有：由傅立叶反变换有：主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 由由 得得当当 从从 时时, 从从拉氏反变换拉氏反变

7、换拉氏变换的物理含义：拉氏变换的物理含义： 可以被分解成复振幅为可以被分解成复振幅为的复指数信号的复指数信号 的线性组合。的线性组合。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.2 拉氏变换的收敛域拉氏变换的收敛域 ( Region of Convergence ):一收敛域一收敛域ROC： 使使 存在的存在的 s 的取的取值范范围称称为 的收敛域。的收敛域。 由于由于ROC与与 有关，它就是有关，它就是使使 绝对可可积的那些的那些 的取值范围。这表明的取值范围。这表明ROC由由 决定。决定。例例1 主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 例例2 我们看到：

8、两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，我们看到：两个不同的信号具有相同的拉氏变换式，只是它们的只是它们的ROC不同。这表明：不同。这表明：拉氏变换式连同拉氏变换式连同ROC才能与信号建立一一对应的关系。才能与信号建立一一对应的关系。例例3 当当 a0 时，这两个两个积分的收分的收敛域有共同部分域有共同部分主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 此此时 存在。存在。 当当 a0）若若主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.由由5.再次利用再次利用s域平移性质可得域平移性质可得:主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 由由s域微分性质有域微分

9、性质有:7.主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 当当a=0时，有：时，有：0TtT例例1.0T2TTt 0Tt1（T）主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 （括号中第一项无极点）（括号中第一项无极点）例例2.包络函数包络函数主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 (ROC为整个为整个s平面平面)主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.5 拉氏反变换拉氏反变换:（The Inverse Laplace Transform ) 当当 是有理函数是有理函数时，通常利用部分分式展开法，通常利用部分分式展开法做拉氏反做拉氏

10、反变换。 若若 ，当，当 的阶数低于的阶数低于 的的阶数时，称为有理真分式。可直接将其展开成部分分阶数时，称为有理真分式。可直接将其展开成部分分式。当式。当 的阶数大于或等于的阶数大于或等于 的阶数时，先的阶数时，先长除，再将余式展开成部分分式。长除，再将余式展开成部分分式。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 各分式均只有一个极点，其各分式均只有一个极点，其ROC不是不是该极点的右极点的右边就是它的左就是它的左边。确定的原。确定的原则是是各分式各分式ROC的公共的公共部分部分应符合符合 ROC的要求。的要求。此时，此时， 可展开为可展开为对其每一项分别做反变换即可得到对其

11、每一项分别做反变换即可得到 。部分分式展开法是做拉氏反变换的主要方法。部分分式展开法是做拉氏反变换的主要方法。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 例：例：主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 当当 有复数极点、重有复数极点、重阶极点极点时，部分分式的展，部分分式的展开开见教材附教材附录。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 一复一复频域分析法：域分析法： 6.6 连续时间连续时间LIT系统的复频域分析：系统的复频域分析：( Continuous-Time LTI System Analysis in s-Domain )ROC: R

12、1 R2 若系若系统稳定，定， 的的ROC包括包括 轴，当轴，当s 时，时，即有即有这就是就是频域分析法。域分析法。 是是系统的频率响应系统的频率响应。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 称称为系系统函数。函数。1. 由由LCCDE描述的系描述的系统: 二系统函数的计算：二系统函数的计算：对微分方程对微分方程两边做拉氏变换两边做拉氏变换主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 是一个关于是一个关于 S 的的有理函数。有理函数。 由方程得到的由方程得到的 ，并未给定，并未给定ROC，需要借助于，需要借助于系统的因果性或稳定性来确定系统的因果性或稳定性来确定R

13、OC。 如果系统稳定，则如果系统稳定，则 存在，存在， 的的ROC必定包必定包含含 轴。轴。 如果系统是因果的，则如果系统是因果的，则 是右边信号，是右边信号， 的的ROC必为最右边极点的右边。必为最右边极点的右边。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 对系统函数是有理函数的对系统函数是有理函数的因果、稳定系统因果、稳定系统，其，其 的的全部极点必须在全部极点必须在 s 平面的左半平面平面的左半平面。 若系统函数是若系统函数是非有理函数非有理函数，此结论的逆命题不一定，此结论的逆命题不一定成立。如：成立。如： ， ROC是最右边极是最右边极点的右边，但点的右边，但 系统是非

14、因果的。系统是非因果的。2. 由零极点图描述的系统由零极点图描述的系统: 可由零极点图得出可由零极点图得出 ，最多差一个常数因子，最多差一个常数因子，如果如果 已知，则该常数可以确定。已知，则该常数可以确定。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 例：某连续时间例：某连续时间LTI因果系统的零极点图如下：因果系统的零极点图如下： 的的ROC可由系统的因果性、稳定性确定。可由系统的因果性、稳定性确定。ROC:由零极点图可写出：由零极点图可写出：若已知若已知 ，则可得，则可得 于是于是3. 由方框图描述的系统：由方框图描述的系统：方框图与方框图与LCCDE是可以互相转换的，可以由

15、方框图是可以互相转换的，可以由方框图主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 。然后再根据系统的因果、稳定性确定。然后再根据系统的因果、稳定性确定ROC。写出写出LCCDE进而得出进而得出 ，也可直接由方框图写出，也可直接由方框图写出例：若已知图示系统是因果的例：若已知图示系统是因果的（1）（2）主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 由（由（2）得）得代入（代入（1）得：）得： 对于由方框图描述的系统，通常总是分别对两个对于由方框图描述的系统，通常总是分别对两个加法器的输出端列写方程。然后设法消去所设的中加法器的输出端列写方程。然后设法消去所设的中间变量，得

16、到一个输入间变量，得到一个输入输出方程，进而可得出系输出方程，进而可得出系统函数。统函数。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.7 单边拉氏变换：单边拉氏变换：（ The Unilateral Laplace Transform )一一. 定定义：单边拉氏变换单边拉氏变换单边拉氏变换单边拉氏变换与双与双边拉氏拉氏变换的区的区别仅在于在于积分分下限。下限可以取下限。下限可以取0、 、 。习惯上通常取习惯上通常取 ，这样，这样可以包括可以包括 在在t0有奇异函数的情况。有奇异函数的情况。单边拉氏变换与双边拉氏变换的关系：单边拉氏变换与双边拉氏变换的关系：主讲教师：阎鸿森 教

17、授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 1）单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例，即：因）单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例，即：因果信号的双边拉氏变换。果信号的双边拉氏变换。2）若两个信号）若两个信号 在在t0 时相同，但时相同，但 t0 时不同，就时不同，就会有相同的单边拉氏变换和不同的双边拉氏变换。会有相同的单边拉氏变换和不同的双边拉氏变换。除了时域微分、时域积分及时延性质略有不同外，除了时域微分、时域积分及时延性质略有不同外，二二. 单边拉氏变换的性质：单边拉氏变换的性质：3）ROC:由于单边拉氏变换就是因果信号的双边拉由于单边拉氏变换就是因果信号的双边拉氏变换，所以氏变换，所以ROC一定是最

18、右边极点的右边，可以一定是最右边极点的右边，可以不必特殊强调。不必特殊强调。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 其余性质均与双边拉氏变换相同。其余性质均与双边拉氏变换相同。1. 时域微分时域微分:（Differentiation in the Time Domain）证：证：同理依次可推得：同理依次可推得：若若则则主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 2时域域积分分:（Integration in the Time Domain ）证明：证明：主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 3. 时延性质时延性质:（Time Shifting

19、） 当当 是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性与是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性与双边拉氏变换时一致。双边拉氏变换时一致。不是因果信号时，不是因果信号时，则则若若即单边变换即单边变换主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 6.8 利用单边拉氏变换分析增量线性系统利用单边拉氏变换分析增量线性系统: 单边拉氏变换特别适合于分析由单边拉氏变换特别适合于分析由LCCDE描述的增描述的增量线性系统。量线性系统。例例.某某LTI系统由微分方程描述系统由微分方程描述解：解：对方程两边做单边拉氏变换：对方程两边做单边拉氏变换：求响应求响应主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉

20、斯变换 代入代入可得可得可得可得零输入响应：零输入响应：主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 其中，第一项为其中，第一项为强迫响应强迫响应，其它为，其它为自然响应自然响应。零状态响应：零状态响应：系统的全响应：系统的全响应：主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 由系由系统框框图求出系求出系统函数函数 H(s) ，再列出微分方，再列出微分方程程进行求解。行求解。1）由电路列出微分方程。）由电路列出微分方程。2）对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解）对方程进行单边拉氏变换，带入初始条件求解。 对于由电路描述的系统，通常按以下步骤：对于由电路描述的系统，通

21、常按以下步骤： 对于由方框图描述的系统：对于由方框图描述的系统： 对于由对于由 h(t) 描述的系统：描述的系统：由由然后按微分方程然后按微分方程描述系统的情况求解。描述系统的情况求解。主讲教师：阎鸿森 教授王 霞 副教授第六章：拉普拉斯变换 本章小结：（本章小结：（ Summary ）拉氏变换是傅氏变换的推广，它可以将微分方程拉氏变换是傅氏变换的推广，它可以将微分方程变换为代数方程，在变换为代数方程，在LTI系统分析中特别有用。系统分析中特别有用。ROC是双边拉氏变换中十分重要的概念。是双边拉氏变换中十分重要的概念。零极点图是拉氏变换的几何表示，广泛应用于工零极点图是拉氏变换的几何表示，广泛应用于工程实际中。程实际中。 单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。单边拉氏变换被广泛用于分析增量线性系统单边拉氏变换被广泛用于分析增量线性系统。