2022年大学物理课后习题及答案_电介质

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1、优秀学习资料欢迎下载电解质题 8.1：一真空二极管，其主要构件是一个半径R1 = 5.0 104 m 的圆柱形阴极和一个套在阴极外，半径m105. 432R的同轴圆筒形阳极。阳极电势比阴极电势高300 V，阴极与阳极的长度均为L = 2.5102 m。假设电子从阴极射出时的速度为零。求：（1）该电子到达阳极时所具有的动能和速率；（ 2）电子刚从阳极射出时所受的力。题 8.1 分析： （1）由于半径LR1，因此可将电极视作无限长圆柱面，阴极和阳极之间的电场具有轴对称性。从阴极射出的电子在电场力作用下从静止开始加速，电于所获得的动能等于电场力所作的功，也即等于电子势能的减少。由此， 可求得电子到达

2、阳极时的动能和速率。（2）计算阳极表面附近的电场强度，由EFq求出电子在阴极表面所受的电场力。解： （1）电子到达阳极时，势能的减少量为J108.417epeVE由于电子的初始速度为零，故J108.417epekekEEE因此电子到达阳极的速率为17eksm1003.122meVmEv（2）两极间的电场强度为r02eEr两极间的电势差1200ln2d2d2121RRrrVRRRRrE负号表示阳极电势高于阴极电势。阴极表面电场强度r121r10ln2eeERRRVR电子在阴极表面受力NeEFr141037.4e这个力尽管很小，但作用在质量为9.11 1031kg 的电子上，电子获得的加速度可达重

3、力加速度的 5 1015倍。题 8.2：一导体球半径为R1，外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V0。求此系统的电势和电场的分布。题 8.2 分析： 不失一般情况，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示，依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布。并由pvlE dP或电势叠加求出电势的分布。最后将电场强度和电势用已知量210RRQV、表示。题 8.2 解： 根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称。取同心球面为高斯面，由高斯定理024dqrrESE，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域精选学习资料 - - - - - - -

4、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载内的电场分布为时1Rr，01rE时21RrR，2024rqrE时2Rr，2024rqQrE由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布。rR1时，2010321144dddd2211RQRqVRRRRrrlElElElE时21RrR，20032244ddd22RQrqVRRrrlElElE时2Rr，rqQVr0334dlE也可以从球面电势的叠加求电势的分布。在导体球内（rR1）2010144RQRqV在导体球和球壳之间（R1rR2）rqQV034由题意20100144RQRqVV得QRRVR

5、q210104代人电场、电势的分布得时1Rr，011; 0VVE时21RrR，rRQRrrVRVrRQRrVRE2010122201201244；时2Rr，rRQRRrVRVrRQRRrVRE201201322012201344；题 8.3：在一半径为R1 =6.0 cm 的金属球 A 外面套有一个同心的金属球壳B。已知球壳 B 的内、外半径分别为R2=8.0 cm，R3=10.0 cm。设球 A 带有总电荷C100.38AQ，球壳 B带有总电荷C100. 28BQ。 （l）求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳 B 的电势； （2）将球壳 B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求球

6、A 和球壳 B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳 B 的电势。题 8.3 分析： （ 1）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球 A 表面，球壳 B 内表面带电荷AQ ， 外表面带电荷ABQQ，电荷在导体表面均匀分布，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳 B 的电势。（2）导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳B 接地后，外表面的电荷从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电AQ 。断开球壳 B 的接地后，再

7、将球A 接地，此时球A 的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球A 带电 qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应qA，外表面带电qAQA。此时球 A 的电势可表示为30AA20A10AA444RQqRqRqV由0AV可解出球A 所带的电荷Aq ，再由带电球面电势的叠加，可求出球 A 和球壳 B 的电势。解： （1）由分析可知，球A 的外表面带电C100.38，球壳B 内表面带电C100.38，外表面带电C100.58。由电势的叠加，球A 和球壳 B 的电势分别为V106 .5444330BA20A10AARQQRQRQV

8、V105. 44330RQQVBAB（2）将球壳 B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电 qA，球 A 和球壳 B 的电势为044430AA20A10AARqQRqRqV30AAB4RqQV解得C1012.2831322121ARRRRRRQRRq即球 A 外表面带电C1012. 28，由分析可推得球壳B 内表面带电C1012.28，外表面带电C109 .08。另外球A 和球壳 B 的电势分别为0AVV1092.72BV导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

9、- - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载题 8.4：地球和电离层可当作球形电容器，它们之间相距约为100 km，试估算地球电离层系统的电容。设地球与电离层之间为真空。题 8.4 解： 由于地球半径m1037.661R；电离层半径m1047.6m1000.16152RR，根据球形电容器的电容公式，可得F1058.44212210RRRRC题 8.5：两线输电线， 其导线半径为3.26 mm，两线中心相距0.5 m，线位于地面上空很高处，因而大地影响可以忽略。求输电线单位长度的电容题 8.5 解： 两输电线的电势差RRdUln0因此，输电线单位长度的电容RdRRdUC

10、ln/ln/00代人数据F1086.412C题 8.6：由两块相距0.50 mm 的薄金属板A、B 构成的空气平板电容器被屏蔽在一金属盒K内，金属盒上、下两壁与A、B 分别相距0.25 mm，金属板面积为mm40mm30求： （1）被屏蔽后电容器的电容变为原来的几倍；（2）若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽金相碰，问此时的电容又为原来的几倍。题 8.6 分析： 薄金属板A、B 与金属盒一起构成三个电容器其等效电路图如图所示，由于两导体间距离较小。电容器可视为平板电容器，通过分析等效电路图可求得A、B 间的电容。解： （1）如图，由等效电路可知13232123CCCCCCCC由于电容器可视作平板电

11、容器，且32122ddd，故1322CCC，因此A、B 间的总电容12CC（2）若电容器的一个引脚与屏蔽盒相碰，相当于2C （或者3C ）极板短接，其电容为零，则总电容13CC题 8.7：在 A 点和 B 点之间有5 个电容器，其连接如图所示。（1）求 A、B 两点之间的等效电容； （2）若 A、B 之间的电势差为12 V，求 UAC、UCD和 UDB。题 8.7 解： （1）由电容器的串、并联，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载F1221ACCCCF843CDCCC求得等效电容F4ABC（2

12、）由于ABDBCDACQQQQ，得V4ABACABACUCCUV6ABCDABCDUCCUV2CCABCDABDBUU题 8.8：盖革米勒管可用来测量电离辐射。该管的基本结构如图所示，一半径为R1的长直导线作为一个电极，半径为 R2的同轴圆柱筒为另一个电极。它们之间充以相对电容率1r的气体。当电离粒子通过气体时，能使其电离。若两极间有电势差时，极板间有电流，从而可测出电离粒子的数量。如以E1表示半径为R1的长直导线附近的电场强度。（1）求极板间电势的关系式； （2）若mm0.20,mm30.0,mV100. 221161RRE，两极板间的电势差为多少？题 8.8 解： （1）由上述分析，利用高

13、斯定理可得LrLE012，则两极板间的电场强度rE02导线表面（ r = R1）的电场强度1012RE两极板间的电势差12110lnd2d2121RRERrrURRRRrE（2）当mm0 .20,mm30. 0,mV100.221161RRE时，V1052.23U题 8.9：一片二氧化钛晶片，其面积为1.0 cm2，厚度为0.10 mm。 把平行平板电容器的两级板紧贴在晶片两侧。 （1）求电容器的电容； （2）当在电容器的两板上加上12 V 电压时，极板上的电荷为多少时，极板上的电荷为多少？此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（ 3）求电容器内的电场强度. 题 8.9 解： （1）查表可知

14、二氧化钛的相对电容率173r，故充满此介质的平板电容器的电容F1053.190rdSC（2）电容器加上V12U的电压时，极板上的电荷C1084.18CUQ极板上自由电荷面密度为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载240mC1084.1SQ晶片表面极化电荷密度2400mC1083.111r（3）晶片内的电场强度为15mV102.1dUE题 8.10：如图所示，半径R = 0.10 m 的导体球带有电荷C100.18Q，导体外有两层均匀介质，一层介质的0. 5r，厚度m10. 0d，另一层介质为空气，

15、充满其余空间。求：（1）离球心为r = 5 cm、15 cm、25 cm 处的 D 和 E； （ 2）离球心为r = 5 cm 、15 cm、25 cm 处的 V； （3）极化电荷面密度。题 8.10 分析： 带电球上的自由电荷均匀分布在导体球表面，电介质的极化电荷也均匀分布在介质的球形界面上，因而介质中的电场是球对称分布的任取同心球面为高斯面，电位移矢量D 的通量只与自由电荷分布有关，因此在高斯面D 上呈均匀对称分布，由高斯定理0dqSD可得rD再由r0DE可得rE。介质内电势的分布，可由电势和电场强度的积分关系rVlE d 求得，或者由电势叠加原理求得。极化电荷分布在均匀介质的表面，其极化

16、电荷体面密度nP。解： （1）取半径为r 的同心球面为高斯面，由高斯定理得0421rDRr0011ED；QrDdRrR224，2r022244rQErQD；QrDdRr234，2032344rQErQD；将不同的 r 值代人上述两式， 可得 r = 5 cm、 15 cm 和25 cm 时的电位移和电场强度的大小，其方向均沿径向朝外。 r1 = 5 cm，该点在导体球内，则0011rrED；r2 = 15 cm，该点在介质层内，0.5r，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载132r0r2822r

17、mV100.84mC105. 3422rQErQDr3 = 25 cm，该点在空气层内，空气中0，则1320r328230r3mV104.14mC103.14rQErQD（2）取无穷远处电势为零，由电势与电场强度的积分关系得V3604d,cm25203331rQVrrrEV480444dd,cm150r02r032222dRQdRQrQVrdRdRrrErEV540444dd,cm50r0r03211dRQdRQRQVrdRdRRrErE（3）均匀介质的极化电荷分布在介质界面上，因空气的电容率0，极化电荷可忽略。故在介质外表面；2rrn0rn411dRQEP282rrnmC106 .141dR

18、QP在介质内表面：2rrn0rn411RQEP282rrnmC104 .641RQP介质球壳内、 外表面的极化电荷面密度虽然不同，但是两表面极化电荷的总量还是等量异号。题 8.11：一平板电容充电后极板上电荷面密度为230mC105.4。现将两极板与电源断开，然后再把相对电容率为0.2r的电介质插人两极板之间。此时电介质中的D、E 和 P各为多少？题 8.11解： 介质中的电位移矢量的大小250mC105.4SQD介质中的电场强度和极化强度的大小分别为16r0mV105. 2QE250mC103 .2EDP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

19、-第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载D、P、E 方向相同，均由正极板指向负极板（图中垂直向下）。题 8.12：在一半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为2R ，相对电容率为r。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为。试求介质层内的D、E 和 P。题 8.12 解： 由介质中的高斯定理，有LrLD 2dSD得r2eDr在均匀各向同性介质中rr0r02eDErrr0211eEDPr题 8.13：设有两个薄导体同心球壳A 与 B，它们的半径分别为R1 = 10 cm 与 R3 = 20 cm，并分别带有电荷C100 .48与C100. 17。球壳间有两层介质内层介质的0

20、.4r1，外层介质的0.2r2，其分界面的半径为R2 = 15 cm。球壳 B 外为空气。 求（1）两球间的电势差UAB；（2）离球心30 cm 处的电场强度； （3）球 A 的电势。题 8.13 分析： 自由电荷和极化电荷均匀分布在球面上。电场呈球对称分布。取同心球面为高斯面，根据介质中的高斯定理可求得介质中的电场分布。由电势差和电场强度的积分关系可求得两导体球壳间的电势差，由于电荷分布在有限空间，通常取无穷远处为零电势，则A 球壳的电势AVlE dA解： （1）由介质中的高斯定理，有124dQrDSD得rrQeDD2121421r2r101r10114RrRrQeDE32r2r201r20

21、224RrRrQeDE两球壳间的电势差32r20121r10121AB114114ddd322131RRQRRQURRRRRRlElElE（2）同理由高斯定理可得1r3r20213mV100.64eeErQQ（3）取无穷远处电势为零，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载V101.24d3r1021AB3ABAQQUUVBlE题 8.14：如图所示，球形电极浮在相对电容率为0.3r的油槽中。球的一半浸没在油中，另一半浸入在油中，另一半在空气中。已知电极所带净电荷C100. 260Q。问球的上、下部

22、分各有多少电荷？题 8.14 分析：我们可以将导体球理解为两个分别悬浮在油和空气中的半球形孤立容器，静电平衡时导体球上的电荷分布使导体成为等势体，故可将导体球等效为两个半球电容并联，其相对无限远处的电势均为V，且2211CQCQV（1）另外导体球上的电荷总量保持不变，应有021QQQ（ 2）因而可解得Q1、Q2. 解 ： 将 导 体 球 看 作 两 个 分 别 悬 浮 在 油 和 空 气 中 的 半 球 形 孤 立 电 容 器 ， 上半球在空气中，电容为RC012下半球在油中，电容为RCr022由分析中式（1）和式（ 2）可解得C1050.01160r02111QQCCCQC105 .1160

23、rr02122QQCCCQ由于导体球周围部分区域充满介质，球上电荷均匀分布的状态将改变。可以证明， 此时介质中的电场强度与真空中的电场强度也不再满足r0EE的关系。事实上，只有当电介质均匀充满整个电场，并且自由电荷分布不变时，才满足r0EE. 题 8.15：有一个空气平极电容器，极板面积为S，间距为d。现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当（1）充足电后； （2）然后平行插入一面积相同、厚度为d 、相对电容率为r的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板。分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E。题 8.15 分析： 电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电

24、源端电压U。插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱。由于极板间的距离d 不变， 因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有SQdSQUr00相类似的原因， 在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载电荷和插人导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间

25、的电势差不变，并有dSQU0综上所述，接上电源的平板电容器，插人介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加，而电势差保持不变。解： （l）空气平板电容器的电容dSC00充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为UdSQ00dUE0（2）插入电介质后，电容器的电容C1为dSSQdSQQCrr0r001/故有dSUUCQrr011介质内电场强度dUSQErr011空气中的电场强度dUSQErr011（3）插人导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为dSC02UdSQ02导体中的电场强度00E空气中的电场强度dUE2题 8.16：如图所示，在平板电容器中填入两种介质，每种介质各占一半体

26、积，试证其电容为2210rrdSC题 8.16 证 1：将此电容器视为极板面积均为2S，分别充满相对电容率为r1和r2的电介质的两个平板电容器并联，则222r2r10r201r021dSdSdSCCC证 2：假设电容器极板上带电荷Q，则由于电容器两侧所填充的电介质的电容率不同，故导体极板上自由电荷的分布不均匀。设介质侧导体极板带电荷Q1，介质侧导体极板带电精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载荷 Q2，在导体达到静电平衡时，导体极板为等势体，故有QQQSdQSdQ21r202r10122解得QQr

27、2r11r1QQr21rr22r21r0r10122QSdSdQU2210rrdSUQC题 8.17：为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为r的电介质） ，通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A、B 为平板电容器的导体极板， d0为两极板间的距离。试说明检测原理，并推出直接测量电容C 与间接测量厚度d 之间的函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将如何？题 8.17 解： 由分析可知，该装置的电容为dddSC0rr0则介质的厚度为CSdCSCdd111rr00rrrr00r如果待测材料是金属导体，其等效电容为ddSC00导体材料的厚度CSdd00实

28、时地测量A、B 间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。题 8.18：利用电容传感器测量油料液面高度。其原理如图所示，导体圆管A 与储油随B 相连，圆管的内径为D，管中心同轴插入一根外径为d 的导体棒C， d、D 均远小于管长L 并且相互绝缘。试征明：当导体团管与导体棒之间接以电压为U 的电源时，圆管上的电荷与液面高度成正比（油料的相对电容率为r） 。题 8.18 分析： 由于 d、DL，导体 A、C 构成圆柱形电容器，可视为一个长X（X 为液面高度）的介质电容器C1和一个长L X 的空气电容器C2的并联，它们的电容值均随X 而改

29、变。因此其等效电容C = C1+C2也是 X 的函数。由于Q = CU，在电压一定时，电荷Q 仅随 C 而变化，求出Q 与液面高度X 的函数关系，即可得证证： 由分析知，导体A、C 构成一组柱形电容器，它们的电容分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载dDXCln2r01dDXLCln202其总电容XdDXLdDXCCCln2ln20r021其中dDdDLln12;ln2r00UXUCUQ即导体管上所带电荷Q 与液面高度X 成正比，油罐与电容器联通。两液面等高，测出电荷 Q 即可确定油罐的液面

30、高度。题 8.19：有一平行平板电容器，两极板间被厚度为0.01 nm 的聚四氯乙烯薄膜所隔开，求该电容器的额定电压。题 8.19 解：查表可知聚四氯乙烯的击穿电场强度Eb = 1.9 107 V m1。当电容器不被击穿时，电容器中的电场强度bEE。因此，由均匀电场中电势与电场强度的关系，可得电容器上最大电势差（即额定电压）为V190bmaxdEU题 8.20：空气中半径分别为1.0 cm 和 0.10 cm 的长直导线上， 导体表面电荷面密度最大为多少？题 8.20 解： 设长直导线上单位长度所带电荷为，则导线周围的电场强度为002 rE式中导体表面电荷面密度r2。显然，在导线表面附近电场强

31、度最大，查表可知空气的击穿电场强度Eb = 3.0 106 V m1，只有bEE，空气才不会被击穿，故的极限值250mC1066.2bmE显然，它与导线半径无关。题 8.21： 一空气平板电容器， 空气层厚1.5 cm， 两极间电压为40 kV， 该电容器会被击穿吗？现将一厚度为0.30 cm 的玻璃板插入此电容器，并与两极平行，若该玻璃的相对电容率为7.0，击穿电场强度为10 MV m1。则此时电容器会被击穿吗？题 8.21 解： 未插入玻璃时，电容器内的电场强度为16mV107.2dUE因空气的击穿电场强度Eb = 3.0 106 V m1，bEE故电容器不会被击穿插人玻璃后，由习题8.1

32、5 可知，空气间隙中的电场强度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载16rrmV102. 3dVE此时，因bEE，空气层被击穿。击穿后40 kV 电压全部加在玻璃板两侧，此时玻璃板内的电场强度17mV103.1VE由于玻璃的击穿电场强度Eb = 10 MV m1，故bEE，玻璃也将相继被击穿，电容器完全被击穿。题 8.22：某介质的相对电容率8 .2r，击穿电场强度为18 106V m1，如果用它来作平板电容器的电介质，要制作电容为0.047 F，而耐压为4.0 kV 的电容器，它的极板面积至少要

33、多大。题 8.22 解： 介质内电场强度16bmV1018EE电容耐压 Um = 4.0 kV ，因而电容器极板间最小距离m1022. 24bmEUd要制作电容为0.047 F 的平板电容器，其极板面积2r0m42.0CdS显然，这么大的面积平铺开来所占据的空间太大了，通常将平板电容器卷叠成筒状后再封装。题 8.23：一平行板空气电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求： （ 1）电容器能量的改变； （2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。题 8.23 解： （1）极板间的电场为均匀场，且电场强度保持不变，因此，电场的能量密度为20220e221SQEw在外力作用下极板间距从d 被拉开到2d。电场占有空间的体积，也由V 增加到 2V，此时电场能量增加。SdQVwW02ee2（2）两导体极板带等量异号电荷，外力F 将其缓缓拉开时，应有F = F则外力所作的功为SdQQEdA02e2rF外力克服静电引力所作的功等于静电场能量的增加。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页