数论之余数三大定理

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1、第十四章第十四章 数论之余数三大定理数论之余数三大定理概念概念一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是abqr, 0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r 0时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2)当r 0时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商三大余数定理三大余数定理1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的

2、积，或者这个积除以 c 所得的余数。3.同余定理若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则 a，b 的差一定能被 m 整除用式子表示为：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab)例题例题1. 用某自然数a去除1992，得到商是 46，余数是r，求a和r。2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、

3、乙两数。3. 一个两位数除 310，余数是 37，求这样的两位数。4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为 40，余数是 16.被除数、除数、商、余数的和是 933，求这 2 个自然数各是多少6. （真题）（真题）三个不同的自然数的和为 2001，它们分别除以 19,23,31 所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_，_，_。7. 一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是_。8. 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第

4、一组多 5 人。如果把书全部分给第一组，那么每人 4 本，有剩余；每人 5 本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人 3 本，有剩余；每人 4 本，书不够。问：第二组有多少人9. 一个两位数除以 13 的商是 6，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数。10. 有一个大于 1 的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.11. 有一个整数，除 39,51,147 所得的余数都是 3，求这个数.12. 在小于 1000 的自然数中，分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个(余数可以为 0)13. 一个三位数除以 17 和 19 都有余数，并且除以 17 后所得的商与余数

5、的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少14. 两位自然数ab与ba除以 7 都余 1，并且a b，求abba。15. 学校新买来 118 个乒乓球，67 个乒乓球拍和 33 个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。请问学校共有多少个班16. 在除 13511，13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_。17.22003与20032的和除以 7 的余数是_。18. （真题）在 1995，1998，2000，2001，2003 中，若其中几个数的和被9 除余 7，则将这几个数归为一组。这样的数组共

6、有_组。19. 有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数之和是 50，那么这个整数是_。20. 用自然数 n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为 25，那么n=_21. 号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被 3 除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘22. 六名小学生分别带着 14 元、17 元、18 元、21 元、26 元、37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典。一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人

7、的钱凑在一起恰好可买 1 本。这种成语大词典的定价是_元。23. 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克。24. 求2461135604711的余数。25. 求478296351除以 17 的余数。26. 求31997的最后两位数。27.2222除以 13 所得余数是_. 2000个228. 求14389除以 7 的余数。29.12 223230.31303031被13除所得的余数是多少31. 已知a 200820082008，问：a除以 13 所得的余数是

8、多少2008个2008 20012 2002除以 7 的余数是多少32.777 77除以 41 的余数是多少1996个733.11 2233 44 20052005除以 10 所得的余数为多少34. 求所有的质数 P，使得4p21与6p21也是质数。35. 在图表的第二行中，恰好填上8998这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的余数都是 3。36. 3 个三位数乘积的算式abcbcacab 234235286 (其中a b c)， 在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位 6 是正确的，问原式中的abc是多少因数89909192939495969798因数

9、37. （真题）（真题）一个大于 1 的数去除 290，235，200 时，得余数分别为a，a 2，a 5，则这个自然数是多少38. 一个大于 10 的自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220 后所得的余数，则这个自然数是多少39. 甲、乙、丙三数分别为 603，939，393。某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的 2 倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的 2 倍。求A等于多少40. （真题）（真题）一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是a 5、2a、a，求这个自然数和a的值.41. 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、1

10、3、21这串数列当中第 2008 个数除以 3 所得的余数为多少42. 有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前 2009 个数中，有几个是 5 的倍数43. 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以 3、6 和 9 的余数。现知这三余数的和是 15。试求该数除以 18 的余数。44. 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是 3 的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁45. 如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步

11、，希望一圈以后能跳回到 A 孔。他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔。他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能B B跳到 B 孔。最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗A A46. 将12345678910111213.依次写到第 1997 个数字，组成一个 1997 位数，那么此数除以 9 的余数是 _。47. 设2n 1是质数，证明：12，22，n2被2n 1除所得的余数各不相同。48. 试求不大于 100，且使3n7n 4能被 11 整除的所有自然数 n 的和。49. 若a为自然数，证明10 (a2005a1949)。50. 设 n 为正整数，

12、k 2004n，k 被 7 除余数为 2，k 被 11 除余数为 3，求 n的最小值。51. （真题）（真题）有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17整除，最大的能被 19 整除，请写出一组这样的三个连续自然数。52. 从 1，2，3，n 中，任取 57 个数，使这 57 个数必有两个数的差为 13，则 n 的最大值为多少53. 从 1，2，3，4，2007 中取 N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被 15 整除。N 最大为多少54. 将自然数 1，2，3，4依次写下去，若最终写到 2000，成为12319992000，那么这个自然数除以 99 余几55. 将 1

13、至 2008 这 2008 个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：，试求这个多位数除以 9 的余数。56. 已知 n 是正整数，规定n!12n，令m 1! 1 2!23!3多少57.1351991的末三位数是多少58. 有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和。59. 设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D 60. （真题）（真题）两数相除，商 4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除

14、数是_。 2007!2007，则整数 m 除以 2008 的余数为答案及解析答案及解析1. 答：因为1992是a的46倍还多r,得到199246 43.14，得1992 464314，所以a 43，r 14。2. 答：(法 1)因为 甲乙1132，所以 甲乙乙1132乙乙1232 1088；则乙 (108832)12 88，甲1088乙1000。(法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)倍，所以得到乙数105612 88，甲数108888 1000。3. 答：本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数

15、问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有 39，91.4. 答：被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968。5. 答：本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别

16、为x,y，可以得到x 40y16x 856,解方程组得，即这两个自然数分别是 856，21.x y4016 933y 216. 答：设所得的商为a，除数为b。(19a b) (23a b) (31a b) 2001，73a 3b 2001，由b 19，可求得a 27，b 10。所以，这三个数分别是19a b 523，23a b 631，31a b 847。7. 答：设这个自然数除以 11 余a(0 a 11)，除以 9 余b(0 b 9)，则有11a a 93b b，即3a 7b，只有a 7，b 3，所以这个自然数为12784。8. 答：由484 12，485 9.6知，一组是 10 或 11

17、 人。同理可知48316，484 12知，二组是 13、14 或 15 人，因为二组比一组多 5 人，所以二组只能是 15 人，一组 10 人。9. 答：因为一个两位数除以 13 的商是 6，所以这个两位数一定大于136 78，并且小于13(61) 91；又因为这个两位数除以 11 余 6，而 78除以 11 余 1，这个两位数为785 83。10. 答：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。101 45 56，59 45 14，(56,14) 14，

18、14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。11. 答：(法 1)39336，1473144，(36,144) 12，12 的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为 3 要小于除数，这个数是4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。5139 12，14739 108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12。12. 答：我们知道 18，33 的最小公倍数为18，33=198，所以每 198 个数一次。1198 之间只有 1，2，3，17，198(余 O)这 18 个数除以 18 及 33

19、所得的余数相同，而 999198=59，所以共有 518+9=99 个这样的数。13. 答：设这个三位数为s，它除以 17 和 19 的商分别为a和b，余数分别为m和n，则s 17a m 19b n。根据题意可知a m b n，所以s a m s b n，即16a 18b，得8a 9b。所以a是 9 的倍数，b是 8 的倍数。此时，由a m b n知n m a b a a a。由于s为三位数，最小为 100，最大为 999，所以10017a m 999，而1 m 16，所以17a 117a m 999，100 17a m 17a 16，得到5 a 58，而a是 9 的倍数，所以a最小为 9，最

20、大为 54。当a 54时，nm a 6，而n 18，所以m 12，故此时s最大为175412 930；891919当a 9时，n m a 1，由于m 1，所以此时s最小为1791154。所以这样的三位数中最大的是 930，最小的是 154。14. 答：ab ba能被 7 整除，即(10a b)能被 7 整除。所（ 10b a) 9 （a b）以只能有a b 7，那么ab可能为 92 和 81，验算可得当ab 92时，ba 29满足题目要求，abba 9229 266815. 答：所求班级数是除以118,67,33余数相同的数。那么可知该数应该为11867 51和6733 34的公约数，所求答案

21、为 17。1916. 答：因为1390313511392,1458913903686，由于 13511，13903，14589 要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除。(392,686) 98，所以所求的最大整数是 98。17. 答：找规律。用 7 除 2，22，23，24，25，26，的余数分别是 2，4，1，2，4，1，2，4，1，,2 的个数是 3 的倍数时，用 7 除的余数为 1；2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用 7 除的余数为 2；2 的个数是 3 的倍数多 2时，用 7 除的余数为 4.因为22003 236672，所以22003除以 7 余 4。又

22、两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以 7 所得余数的积相同。而 2003 除以 7余 1，所以20032除以 7 余 1。故22003与20032的和除以 7 的余数是41 5。18. 答：1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5。因为25 250 7，253 6 0 253 6 7 9，所以这样的数组共有下面 4 个：2000,2003，1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995，1998,2000,2003,2001,1995。19. 答：(70110160)50 290，50316.2，除数应当是 29

23、0 的大于 17小于 70 的约数，只可能是 29 和 58，11058 1.52，5250，所以除数不是 58。7029 2.12，11029 3.23，16029 5.15，12 231550，所以除数是29。20. 答： n 能整除6391129 25 258。因为2538.1，所以 n 是 258大于 8 的约数。显然，n 不能大于 63。符合条件的只有 43。21. 答：本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算 101，126，173，193除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用 2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然 126 运动员打 5

24、盘是最多的。22. 答：六名小学生共带钱 133 元。133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以 3 余 1。易知，这个钱数只能是 37 元，所以每本成语大词典的定价是(141718 21 26)3 32 (元) 。23. 答：两个顾客买的货物重量是3的倍数。(15161819 2031)(1 2) 119339.2，剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2，只能是 20千克。24. 答：因为246111 223.8，1351112.3，6047 11 549.8，根据同余定理(三)，24611356047 11的余

25、数等于83811的余数，而838 192，1921117.5，所以24611356047 11的余数为 5。25. 答： 先求出乘积再求余数，计算量较大。可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数。478,296,351除以 17 的余数分别为2，7 和 11，(2711)17 9.1。26. 答：即考虑31997除以 100 的余数。由于100 425，由于33 27除以 25余 2，所以39除以 25 余 8，310除以 25 余 24，那么320除以 25 余 1；又因为32除以 4 余 1，则320除以 4 余 1；即3201能被 4 和 25 整除，而 4

26、与 25 互质，所以3201能被 100 整除，即320除以 100 余 1，由于1997 209917，所以31997除以 100 的余数即等于317除以 100 的余数，而36 729除以 100 余29，35 243除以 100 余 43，317 (36)235，所以317除以 100 的余数等于292943除以 100 的余数，而292943 36163除以 100 余 63，所以31997除以 100 余 63，即31997的最后两位数为 63。27. 答：我们发现 222222 整除 13，20006 余 2，所以答案为 2213 余9。28. 答：法一：由于143 3mod7 (

27、143 被 7 除余 3)，所以14389 389mod7 (14389被 7 除所得余数与389被 7 除所得余数相等)而36 729，729 1mod7（729 除以 7 的余数为 1），所以389 36363635 35 5mod7。14个故14389除以 7 的余数为 5.法二：计算389被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323363435536373mod73241于是余数以 6 为周期变化。所以389 35 5mod7。29. 答：由于12 2232 20012 20022200220034005100120031335，而 1001 是 76的倍数，所以这个

28、乘积也是 7 的倍数，故12 2232的余数是 0； 20012 20022除以 730. 答：31 被 13 除所得的余数为 5，当 n 取 1，2，3，余数分别是 5，12，8，1，5，12，8，1时5n被 13 除所得以 4 为周期循环出现，所以530被13 除的余数与52被 13 除的余数相同，余 12，则3130除以 13 的余数为 12；30 被 13 除所得的余数是 4，当 n 取 1，2，3，时，4n被 13 除所得的余数以 6 为周期循环出分别是 4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，现，所以431被 13 除所得的余数等于41被 13 除所得的余数，即 4，故

29、3031除以 13 的余数为 4；所以31303031被 13 除所得的余数是12 413 3。31. 答：2008 除以 13 余 6，10000 除以 13 余 3，注意到20082008 200810000 2008；200820082008 2008200810000 2008；2008200820082008 20082008200810000 2008；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：除以 13 余63 61311，2008 除以 13 余113639 0，即 2008 是 13 的倍数。而2008除以 3 余 1，所以a 200820082008除以 13 的余数与2008

30、除以 13 的2008个2008余数相同，为 6.32. 答：找规律：741 7，77 41 36，77741 39，7777 41 28，77777 41 0，所以 77777 是 41 的倍数，而19965 3991，所以777 77以分成 399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7。1996个733. 答：求结果除以 10 的余数即求其个位数字。从 1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循环的，因此把所有加数的个位数按每 20 个(20 是 4 和 10 的最小公倍数)一组，

31、则不同组中对应的个位数字应该是一样的。首先计算11 2233 44 2020的个位数字，为1 47 65636901636567 490 94的个位数字，为 4，由于 2005 个加数共可分成 100 组另 5 个数，100 组的个位数字和是4100 400的个位数即 0，另外 5 个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是1 4765 23的个位数 3，所以原式的个位数字是 3，即除以 10 的余数是 3。34. 答：如果p 5，则4p21101，6p21151都是质数，所以 5 符合题意。如果 P 不等于 5，那么 P

32、 除以 5 的余数为 1、2、3 或者 4，p2除以 5 的余数即等于12、22、32或者42除以 5 的余数，即 1、4、9 或者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4 两种情况。如果p2除以 5 的余数为 1，那么4p21除以 5的余数等于411 5除以 5 的余数，为 0，即此时4p21被 5 整除，而4p21大于 5，所以此时4p21不是质数；如果p2除以 5 的余数为 4，同理可知6p21不是质数，所以 P 不等于 5，4p21与6p21至少有一个不是质数，所以只有p 5满足条件。35. 答：因为两个数的乘积除以 11 的余数，等于两个数分别除以 11 的余数之积。因此原题中的8

33、998可以改换为110，这样上下两数的乘积除以 11余 3 就容易计算了。我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：因数89909192939495969798因数9195899793949098929636. 答：由于234235286 23 4 235 28 6 8(mod9)，abcbcacab (a b c)3(mod9)，于是因数89909192939495969798因数37195621048(a b c)38(mod9)，从而(用a b c 0,1,2,.,8(mod9)代入上式检验)a bc 2,5,8(mod9)(1)，对a进行讨论：如果a 9，那么bc 2,5,8(mod9

34、)(2)，又cab的个位数字是 6，所以bc的个位数字为 4，bc可能为41、72、83、64，其中只有(b,c) (4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有983839398 328245326符合题意。如果a 8，那么bc 3,6,0(mod9)(3)，又bc的个位数字为 2 或 7，则bc可能为21、43、62、76、71，其中只有(b,c) (2,1)符合(3)，经检验，abc 821不合题意。如果a 7，那么bc 4,7,1(mod9)(4)，则bc可能为42、63，其中没有符合(4)的(b,c)。如果a 6，那么b 5，c 4，abcbcacab 700600500 210000

35、000 222334586，因此这时abc不可能符合题意。综上所述，abc 983是本题唯一的解。37. 答：根据题意可知，这个自然数去除 290，233，195 时，得到相同的余数（都为a）。既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0。那么这个自然数是29023357的约数，又是233195 38的约数，因此就是 57 和 38 的公约数,因为 57 和 38 的公约数只有 19 和 1，而这个数大于 1，所以这个自然数是 19。38. 答：这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164 254后所得的余数，所以 254 和

36、220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254220 34的约数，又大于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34.如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是 17，那么他去除90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是 17。39. 答：根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K1r1939 A K2r2393 A K3r3由于r1 2r2，r2 2r3，要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把余数处理成相同的

37、，再两数相减。这样我们先把第二个式子乘以 2，使得被除数和余数都扩大 2 倍，同理，第三个式子乘以 4。于是我们可以得到下面的式子：603 A K1r19392 A 2K22r23934 A 2K34r3这样余数就处理成相同的。最后两两相减消去余数，意味着能被A整除。93926031275，3934603 969，1275,969 51317。51 的约数有 1、3、17、51，其中 1、3 显然不满足，检验 17 和 51 可知 17满足，所以A等于 17。40. 答：将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：42952 848，791、5002 1000，这样这些数被这个自然数除所得的余

38、数都是2a，故同余.将这三个数相减，得到848791 57、1000848 152，所求的自然数一定是57和152的公约数，而57,15219，所以这个自然数是19的约数，显然 1 是不符合条件的，那么只能是 19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a 6时成立,所以这个自然数是19，a 6.41. 答：斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被 3 除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是 1，与第一项和第二项的值相同且位置

39、连续，所以裴波那契数列被 3 除的余数每 8 个一个周期循环出现，由于 2008 除以 8的余数为 0，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为 0.42. 答：由于两个数的和除以 5 的余数等于这两个数除以 5 的余数之和再除以 5 的余数。所以这串数除以 5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每20 个数为一个循环，且一个循环中，每 5 个数中第五个数是 5 的倍数。由于20095 4014，所以前 2009 个数中，有 401 个是 5 的倍数。43.

40、答：除以 3、6 和 9 的余数分别不超过 2，5，8，所以这三个余数的和永远不超过25815，既然它们的和等于 15，所以这三个余数分别就是 2，5，8。所以该数加 1 后能被 3，6，9 整除，而3,6,9 18，设该数为a，则a 18m 1，即a 18(m 1)17（m为非零自然数），所以它除以 18 的余数只能为 17。44. 答：从任意三人岁数之和是 3 的倍数，100 除以 3 余 1，就知四个岁数都是3k 1型的数，又是质数。只有 7，13，19，31，37，43，就容易看出：父 43 岁，母 37 岁，兄 13 岁，妹 7 岁。45. 答：设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A

41、孔编号为 1，然后沿逆时针方向顺次编号为 2，3，4，B 孔的编号就是圆圈上的孔数。我们先看每隔 2 孔跳一步时，小明跳在哪些孔上很容易看出应在 1，4，7，10，上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是 3 的倍数加 1。按题意，小明最后跳到 B 孔，因此总孔数是 3 的倍数加 1。同样道理，每隔 4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味着总孔数是 5 的倍数加1；而每隔 6 孔跳一步最后跳回到 A 孔，就意味着总孔数是 7 的倍数。如果将孔数减 1，那么得数既是 3 的倍数也是 5 的倍数，因而是 15 的倍数。这个 15 的倍数加上 1 就等于孔数，设孔数为a，则a 15m1（m为非零自然数）而

42、且a能被 7 整除。注意 15 被 7 除余 1，所以156被 7 除余 6，15 的 6 倍加 1 正好被 7 整除。我们还可以看出，15 的其他(小于的 7)倍数加 1 都不能被 7 整除，而157 105已经大于 100。7 以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是1561 91。46. 答：本题第一步是要求出第 1997 个数字是什么，再对数字求和。19共有 9 个数字，1099共有 90 个两位数，共有数字：902 180 (个),100999共 900 个三位数，共有数字：9003 2700 (个),所以数连续写，不会写到 999,从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数

43、，(19979180)3 602.2，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位。从 100 开始的第 602 个三位数是 701，第 603 个三位数是 9，其中 2 未写出来。因为连续 9 个自然数之和能被 9 整除，所以排列起来的 9个自然数也能被 9 整除，702 个数能分成的组数是：7029 78 (组)，依次排列后，它仍然能被 9 整除，但 702 中 2未写出来，所以余数为9-2 7。47. 答：假设有两个数a、b，(1 b a n)，它们的平方a2，b2被2n 1除余数相同。那么，由同余定理得a2b2 0(mod(2n1)，即(a b)(a b) 0(mo

44、d(2n 1)，由于2n 1是质数，所以a b 0(mod(2n1)或a b 0(mod(2n1)，由于a b，a b均小于2n 1且大于 0，可知，a b与2n 1互质，a b也与2n 1互质，即a b，a b都不能被2n 1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证。48. 答：通过逐次计算，可以求出3n被 11 除的余数，依次为：31为 3，32为 9，33为 5，34为 4，35为 1，因而3n被 11 除的余数 5 个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，；类似地，可以求出7n被 11 除的余数 10 个构成一个周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，；于是3n

45、7n 4被 11 除的余数也是 10 个构成一个周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，；这就表明，每一个周期中，只有第 3、4、6 个这三个数满足题意，即n 3,4,6,13,14,16,.,93,94,96时3n7n 4能被 11 整除，所以，所有满足条件的自然数 n 的和为：3 46131416.939496 13 43. 2831480。49. 答：10 25，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2 (a2005a1949)。a2005a1949 a1949(a561)，如果a能被 5 整除，那么5 a1949(a561)；如果a不能被 5 整除，那么a被 5 除的余数为

46、 1、2、3 或者 4，a4被 5 除的余数为14、24、34、44被 5 除的余数，即为 1、16、81、256 被 5 除的余数，而这四个数除以 5 均余 1，所以不管a为多少，a4被 5 除的余数为 1，而a56 (a4)14，即 14 个a4相乘，所以a56除以 5 均余 1，则a561能被 5 整除，有5 a1949(a561)。所以5 (a2005a1949)。由于 2 与 5 互质，所以10 (a2005a1949)。50. 答：2004 被 7 除余数为 2，被 11 除余数也为 2，所以2n被 7 除余数为2，被 11 除余数为 3。由于21 2被 7 除余 2，而238被

47、7 除余 1，所以 n 除以 3 的余数为 1；由于28 256被 11 除余 3，2101024被 11 除余 1，所以 n 除以 10 的余数为8。可见n 2是 3 和 10 的公倍数，最小为3,1030，所以 n 的最小值为 28。51. 答：设三个连续自然数中最小的一个为 n，则其余两个自然数分别为n 1，n 2。依题意可知：15|n，17|n1，19|n 2，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|n15|2n15|2n1517|n117|2n 217|2n 1515,17,19|2n1519|n 219|2n 419|2n15从上面可以发现2n15应为 15、17、19 的公倍数

48、。由于15,17,19 4845，所以2n 15 48452k 1 (因为2n15是奇数)，可得n 4845k 2415。当k 1时n 2430，n 1 2431，n 2 2432，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432。52. 答：被 13 除的同余序列当中，如余 1 的同余序列，1、14、27、40、53、66，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为 13；如果没有两个相邻的数，则没有两个数的差为 13，不同的同余序列当中不可能有两个x数的差为 13，对于任意一条长度为 x 的序列，都最多能取x 个数，使2得取出的数中没有两个数的差为 13，即从第 1 个数起隔 1 个取 1

49、个。n n 基于以上，n 个数分成 13 个序列，每条序列的长度为或13131，两个长度差为 1 的序列，要使取出的数中没有两个数的差为 13，能够被取得的数的个数之差也不会超过 1，所以为使 57 个数中任意两个数的差都不等于13，则这 57 个数被分配在 13 条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过 1，那么 13 个序列有 8 个序列分配了 4 个数，5 个序列分配了 5 个数，则这 13 个序列中 8 个长度为 8，5 个长度为 9，那么当 n 最小为8895 109时，可以取出 57 个数，其中任两个数的差不为 13，所以要使任取 57 个数必有两个数的差为 13，那么 n

50、的最大值为 108。53. 答：取出的 N 个不同的数中，任意三个的和能被 15 整除，则其中任意两个数除以 15 的余数相同，且这个余数的 3 倍能被 15 整除，所以这个余数只能是 0，5 或者 10。在12007中，除以 15 的余数为 0 的有151，152，15133，共有133个；除以 15 的余数为 5 的有1505，1515，151335，共有 134 个；除以 15 的余数为 10 的有15010，15110，1513310，共有 134 个。所以 N 最大为 134。54. 答：由于99 911，可以分别求这个数除以 9 和 11 的余数，进而求出它除以 99 的余数。实际

51、上求得这个数除以 9 和 11 的余数均为 3，所以这个数减去 3 后是 9 和 11 的倍数，那么也是 99 的倍数，所以这个数除以 99 的余数为 3。下面介绍另一种解法。由于100a 99a a，所以100a除以 99 的余数等于a除以 99 的余数。同样，10000a，1000000a等数除以 99 的余数等于a除以 99 的余数。可知，一个自然数a，如果在它后面加上偶数个 0，那么这个数除以 99 的余数等于a除以 99 的余数。根据这一点，可以把12319992000分成若干个后面带有偶数个 0 的数之和。由于12319992000的位数是奇数，那么对于组成12319992000的

52、一位数 1，2，3，9，可以分成10000，230000，450000，670000，890000；对于其中的两位数 10，11，12，98，99，可以分成100000，110000，120000，980000，990000；对于其中的三位数 100，101，102，103，998，999，两两一组，可以分成1001010000，1021030000，1041050000，9989990000；对于其中的四位数 1000，1001，1999，2000，可以分成10000000，10010000，10020000，19990000，2000。那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的 0 的个数互

53、不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为12319992000，那么12319992000除以 99 的余数就等于分成的这些数除以 99 的余数的和。由于这些数除以 99 的余数分别为 1，23，45，67，89；10，11，12，98，99；100101，102103，104105，998999；1000，1001，1999，2000，而其中 100101，102103，104105，998999 是公差为 2002 的等差数列，共 450 项，可知所有这些余数的和为：1 23 45678910111210001001 200099100101102103998999 225109990210

54、010199899945021000 200010012 225 4905 2472975001501500 248804130，而 0 除以 99 的余数等于2 4880 4130 201除以 99 的余数，为 3。所以12319992000除以 99 的余数为 3。55. 答：以这个八位数为例，它被 9 除的余数等于1999 2000被9 除的余数，但是由于 1999 与1999被 9 除的余数相同，2000 与2000被 9 除的余数相同，所以就与1999 2000被 9 除的余数相同。由此可得，从 1 开始的自然数9 的余数相同。被 9 除的余数与前 2008 个自然数之和除以根据等差

55、数列求和公式，这个和为：余数为 1。1 200820082 2017036，它被 9 除的另外还可以利用连续 9 个自然数之和必能被 9 整除这个性质，将原多位数分成 9，61718，0062007，2008 等数，可见它被 9 除的余数与 2008 被9 除的余数相同。因此，此数被 9 除的余数为 1。56. 答：m 1!1 2!23!3 2007!2007 2007! （20081）1! （21） 2! （31） 3! （41） 2!1!3! 2! 4!3! 2008!1 2008!2007!2008 能够整除2008!，所以2008!1的余数是 2007。57. 答：首先，仅考虑后三位数

56、字，所求的数目相当于135991的平方再乘以993995997999的末三位。而993995997999 99399999599799300099399500099539930009939950002985，其末三位为715 105；然后来看前者。它是一个奇数的平方，设其为5k (k 为奇数)，由于5k 25k2 2525k21，而奇数的平方除以 8 余 1，所以k21是 8 的22倍数，则25k21是 200 的倍数，设25k21 200m，则5k5k2 2525k21 25200m，所以它与 105 的乘积105 25 200m105 21000m 2625，2所以不论 m 的值是多少，所

57、求的末三位都是 625。58. 答：本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以 9 的余数分别为 1 和 8，所以等式一边除以 9的余数为 8，那么1031 除以 9 的余数也必须为 8，只能是 3.将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217所以两个三位数是 143 和 217，那么两个三位数的和是 36059.答：由于一个数除以 9 的余数与它的各位数字之和

58、除以 9 的余数相同，所以20092009与A、B、C、D除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为 2，则20092009除以 9 的余数与22009除以 9 的余数相同，而26 64除以 9 的余数为1，所以22009 2633452625除以 9 的余数为25除以 9 的余数，即为 5。334另一方面，由于20092009100002009108036，所以20092009的位数不超过 8036位，那么它的各位数字之和不超过98036 72324，即A 72324；那么A的各位数字之和B 95 45，B的各位数字之和C 92 18，C小于 18 且除以 9 的余数为 5，那么C为 5 或 14，C的各位数字之和为 5，即D 5。60. 答：因为被除数减去 8 后是除数的 4 倍，所以根据和倍问题可知，除数为（415488） （41 ） 79，所以，被除数为7948324。