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1、数列的求和一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式； 2能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3熟记一些常用的数列的和的公式二、教学重点：特殊数列求和的方法三、教学过程：（一）主要知识：1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(11（2）等比数列的求和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法：222221(1)(21)1236nkn nnknL2333331(1)1232nkn nknL3错位相减法：比如.,2211的和求等比等差nnnnb
2、abababa4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：111)1(1nnnn；11 11()(2)22n nnn)121121(21)12)(12(1nnnn!)!1(!nnnn5分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。6合并求和法：如求22222212979899100的和。7倒序相加法：8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页（二）主要方法：1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2求和过程中注意分类讨
3、论思想的运用；3转化思想的运用；（三）例题分析：例 1求和：个nnS11111111122222)1()1()1(nnnxxxxxxS求数列1，3+4 ，5+6+7 ，7+8+9+10，前 n 项和nS思路分析：通过分组，直接用公式求和。解：)110(9110101011112kkkka个)101010(91)110() 110()110(9122nSnnn81109109)110(10911nnnn)21()21()21(224422nnnxxxxxxSnxxxxxxnn2)111()(242242（1）当1x时，nxxxxnxxxxxxSnnnnnn2) 1()1)(1(21)1(1) 1
4、(22222222222（2）当nSxn4,1 时kkkkkkkkkkak23252)23()12()1() 12() 12(2)12(22) 1(236)12)(1(25)21(23)21(2522221nnnnnnnaaaSnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页)25)(1(61nnn总结：运用等比数列前n 项和公式时，要注意公比11qq或讨论。2错位相减法求和例 2已知数列)0()12( ,5 ,3 , 112aanaan，求前 n 项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，2n-1 与等比数列120,
5、naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS2)12(5332nnanaaaaSnnnanaaaaSa) 12(22221)1 (:21132当nnnnaaaSaa) 12()1()1(21)1( ,121时21)1 () 12() 12(1aananaSnnn当2,1nSan时3.裂项相消法求和例 3.求和) 12)(12()2(534312222nnnSn思路分析 :分式求和可用裂项相消法求和. 解: )121121(211)12)(12(11) 12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak12)1(2)1211(21)121
6、121()5131()311(2121nnnnnnnnaaaSnn练习 :求nnanaaaS32321答案 : )1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn4.倒序相加法求和例 4 求证：nnnnnnnCnCCC2) 1()12(53210精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnSmnnmnCCnnnnnnCnCnCnCnS)22()2
7、2()22()22(2:)2()1 (210有nnnnnnnnCCCCnS2)1()1(210等式成立5其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例 5已知数列nnnnSnaa求,) 1( 2,。思路分析：nnna)1(22，通过分组，对n 分奇偶讨论求和。解：nnna)1(22，若mkkmnmSSmn212)1(2)2321 (2,2则)1(2)12()2321 (2nnmmmSn若) 12(22)12()1(2 22) 12(, 1222212mmmmmmaSSSmnmmmmn则22)1() 1(224222nnnnmm)(2)() 1(2为正奇数为正偶数nnnnnnSn预备 ：已知
8、nnnaaaaxaxaxaxf,)(321221且成等差数列，n 为正偶数，又nfnf)1(,)1 (2，试比较)21(f与 3 的大小。解：naaaaafnaaaafnnn13212321) 1() 1(2222)(121dnaandnnnaann12122) 1(111naadndnaan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页nnnfxnxxxxf)21)(12()21(5)21(321)21() 12(53)(3232可求得nnnf)21)(12()21(3)21(2，n 为正偶数，3)21(f（四）巩固练习：1求
9、下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555 ，5(101)9n，； （2）1111,1 3 24 3 5(2)n nLL；（3）11nann；（4）23,2,3,naaanaLL；（5）1 3,24,35, (2),n nLL；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89ooooL L解：（ 1）555555555nnS6 7 8LL个5(999999999)9n6 7 8LL个235(101)(101)(101)(101)9nL23550510101010(101)9819nnnnL（2）11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324
10、352nSnnL1111(1)2212nn（3）1111(1)(1)nnnannnnnnnn11121321nSnnL(21)( 32)(1)nnL11n（4）2323nnSaaanaL，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页当1a时，123nS(1)2n nn，当1a时，2323nSaaanna，23423naSaaa1nna，两式相减得23(1)na Saaa11(1)1nnnnaaananaa，212(1)(1)nnnnanaaSa（5）2(2)2n nnn，原式222(1232)2(123n)n(1)(27)6n
11、 nn（6）设2222sin 1sin 2sin 3sin 89SooooL L，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1SooooL L，289S，892S2已知数列na的通项65()2()nnnnan为奇数为偶数，求其前n项和nS解：奇数项组成以11a为首项，公差为12 的等差数列，偶数项组成以24a为首项，公比为4 的等比数列；当n为奇数时，奇数项有12n项，偶数项有12n项，1121(1 65)4(1 4)(1)(32)4(21)221423nnnnnnnS，当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有2n项，2(1 65)4(1 4 )(32)4(21)221423nnnnnnnS，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页所以，1(1)(32)4(21)()23(32)4(21)()23nnnnnnSnnn为奇数为偶数四、小结：1掌握各种求和基本方法；2利用等比数列求和公式时注意分11qq或讨论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
