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1、数学立体几何练习题一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的1如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点, A1MAN2a3,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) A相交B平行C垂直D不能确定2将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使平面ABD 平面 CBD ,E 是 CD 中点,则AED的大小为()A.45oB.30oC.60oD.90o3 PA, PB, PC 是从 P 引出的三条射线, 每两条的夹角都是60o, 则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦
2、值为()A12B。32C。33D。634正方体ABCD A1B1C1D1中, E、F 分别是 AA1与 CC1的中点,则直线ED 与 D1F 所成角的余弦值是A15B。13C。12D。325 在棱长为2 的正方体1111DCBAABCD中, O 是底面 ABCD 的中心, E、F 分别是1CC、AD 的中点,那么异面直线 OE 和1FD所成的角的余弦值等于()A510B32C55D5156在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若 AB=2 , A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为()A43B23C433D37在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若 AB=2BB1,则 AB1与 C1B
3、所成的角的大小为()A.60oB. 90oC.105oD. 75o 8设 E,F 是正方体AC1的棱 AB 和 D1C1的中点,在正方体的12 条面对角线中,与截面A1ECF 成 60 角的对角线的数目是()A0 B2 C4 D6 9. 平面外一点到平面内一直角顶点的距离为23cm,这点到两直角边的距离都是17cm,则这点到直角所在平面的距离为()A.40 B.249 C.7 D.1510. 一条直线和平面所成角为,那么的取值范围是()(A)( 0o,90o) ( B)0o ,90o (C)0o ,180o (D)0o ,180o 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分11.
4、在正方体ABCDA1B1C1D1中, M、N 分别为棱 AA1和 BB1的中点,则A B M D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页Q P D C B A ABCDPsinCMuuu r,1D Nuuuu r的值为 _. 12如图,正方体的棱长为1,C、 D 分别是两条棱的中点,A、B、M 是顶点,那么点 M 到截面 ABCD 的距离是. 13正四棱锥P-ABCD 的所有棱长都相等,E 为 PC 中点,则直线AC 与截面 BDE 所成的角为14已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D 是 A1C1的中
5、点,则直线AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为. 15已知边长为4 2的正三角形ABC 中, E、F 分别为 BC 和 AC 的中点, PA面 ABC ,且 PA=2 ,设平面过PF 且与 AE 平行,则AE 与平面间的距离为16棱长都为2 的直平行六面体ABCD A1B1C1D1中, BAD=60,则对角线A1C 与侧面 DCC1D1所成角的余弦值为 _. 三、解答题 : 本大题共6 小题,共80 分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17如图,直三棱柱111CBAABC,底面ABC中, CA CB1,90BCA,棱21AA,M 、N 分别 A1B1、A1A是的中点(1)
6、求 BM 的长;(2) 求11,cosCBBA的值;(3) 求证:NCBA1118如图,三棱锥PABC 中,PC平面 ABC ,PC=AC=2 ,AB=BC , D 是 PB 上一点,且 CD平面 PAB (1) 求证: AB平面 PCB;(2) 求异面直线AP 与 BC 所成角的大小;(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值19如图所示,已知在矩形ABCD 中, AB=1,BC=a(a0), PA平面 AC,且 PA=1(1)试建立适当的坐标系,并写出点P、B、 D 的坐标;(2)问当实数a 在什么范围时,BC 边上能存在点Q,使得 PQQD?(3)当 BC 边上有且仅有一个点Q 使得 P
7、QQD 时,求二面角 Q-PD-A 的余弦值大小20. 如图,在底面是棱形的四棱锥ABCDP中,,60aACPAABCaPDPB2,点 E 在PD上,且PE:ED2:1(1) 证明PA平面ABCD;(2) 求以 AC 为棱,EAC与DAC为面的二面角的大小;(3) 在棱 PC 上是否存在一点F,使BF平面AEC?证明你的结论21. 如图四棱锥PABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,PG平面 ABCD ,垂足为 G,G 在 AD 上,且 PG4,GDAG31,BG GC,GBGC2, E 是 BC 的中点(1)求异面直线GE 与 PC 所成的角的余弦值;(2)求点 D 到平面 PBG 的距离
8、;(3)若 F 点是棱 PC 上一点,且DFGC,求FCPF的值22.已知四棱锥SABCD 的底面 ABCD 是正方形, SA底面xyzB1C1A1C B A M N C D B A P E P A G B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页ABCDPxyzABCD,E 是 SC上的任意一点(1)求证:平面 EBD平面 SAC;(2)设 SA4,AB2,求点 A 到平面 SBD 的距离;(3)当SAAB的值为多少时,二面角BSCD 的大小为 120 ?理科立体几何训练题(B)答案一、选择题题号1 2
9、3 4 5 6 7 8 9 10 答案B D D A D B B C C B 二、 填 空题11.4591223 13. 45 1445 15332 16 43三、解答题17 解析: 以 C 为原点建立空间直角坐标系xyzO. (1) 依题意得B(0,1,0), M(1,0,1)3)01() 10()01(222BM. (2) 依题意得A1(1,0,2), B(0,1, 0), C(0,0,0), B1(0,1, 2). 1030,cos111111CBBACBBACBBA. (3) 证明:依题意得C1(0,0,2), N) 0,21,21(),2, 1 , 1(),2 ,21,21(11NC
10、BA. 18解析:(1) PC平面 ABC,AB平面 ABC ,PCAB. CD平面 PAB ,AB平面 PAB ,CDAB 又CCDPC, AB平面 PCB (2 由(I) AB平面 PCB, PC=AC=2 ,又 AB=BC ,可求得BC=2 以 B 为原点,如图建立坐标系则(, 2,),( 0,0,0), C(2,0), P(2, ,2)APuuu r=(2,2,2),BCuuu r=(2,0,0)则AP BCuuu r uuu r=2 2+0+0=2 cosAP,BCuuu r u uu r=AP BCAPBCuuu r uuu ruuu ruuu r=2222= 21异面直线AP 与
11、 BC 所成的角为3(3)设平面PAB 的法向量为m= (x,y,z)ABuuu r=(0, 2,0),APuuu r=(2,2,2),则AB0,AP0.uuu ruuu rmm即20,2220.yxyz解得0,2yxz令 z= -1,得 m= (2,0,-1)由 PC平面 ABC 易知:平面PAC平面 ABC ,取 AC 的中点 E,连接 BE,则BE为平面 PAC 的一个法向xyzB1C1A1C B A M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页量,)0, 1 , 1 (22)0,22,22(BE,故平面PAC
12、的法向量也可取为n= (1,1,0)cos,m nm nm n=33232. 二面角C-PA-B 的大小的余弦值为3319解析:( 1)以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示PA=AB=1,BC=a,P( 0,0,1), B(1,0,0),D(0,a,0)(2)设点 Q(1,x,0),则(1,0),( 1,1)DQxaQPxuuu ruu u r由0DQQP?uuu ruuu r,得 x2-ax+1=0显然当该方程有非负实数解时,BC 边上才存在点Q,使得 PQQD ,故只须 =a2-40 因 a0,故 a 的取值范围为a 2(3)易见,当a=2 时,
13、BC 上仅有一点满足题意,此时x=1,即 Q 为 BC 的中点取 AD 的中点 M,过 M 作 MN PD,垂足为N,连结 QM 、QN则 M(0,1,0), P(0,0,1), D(0,2,0) D、N、P 三点共线,(0,1,0)(0, 1,1)(0,1, )111MDMPMNuuu u ruuu ruuu u r又(0,2,1)PDuuu r,且0MNPD?uuuu ruuu r,故(0,1, )232(0,2,1)0113?于是2 2(0,1,)1 23 3(0, )25 513MNuuu u r故12(1,)55NQNMMQMNABuuu ruuuu ruuu u ruuu u ru
14、uu r1202()( 1)()055PDNQ?uuu ruuu r,PDNQuuu ruuu r MNQ 为所求二面角的平面角6cos6| |NMNQMNQNMNQ?uuuu ruuu ruuuu ruuu rg,注:该题还有很多方法解决各个小问,以上方法并非最简. 20 解析: (1)传统方法易得证明(略)(2)传统方法或向量法均易解得30;(3)解以 A 为坐标原点,直线APAD,分别为 y 轴、 z轴,过 A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系(如图)由题设条件,相关各点的坐标为所以AE)31,32, 0(aa,AC)0,21,23(aa,z Q P D C B A
15、 y x M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页BP),21,23(aaa,设点 F 是棱PC上的点,PCPF),21,23(aaa,其中10,则)1(),1(21),1(23(aaaPFBPBF令AEACBF21得221131)1 (3221)1(2123)1 (23aaaaaaa解得23,21,2121,即21时,AEACBF2321亦即, F 是 PC 的中点时,AEACBF,共面,又BF平面AEC,所以当F 是 PC 的中点时,BF平面AEC21 解析: (1)以 G 点为原点,GPGCGB、为 x 轴、
16、 y 轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4),故 E(1,1,0),GE(1,1,0),PC(0,2,4)。10102022|cosPCGEPCGEPCGE ,GE 与 PC 所成的余弦值为1010(2) 平面 PBG 的单位法向量n(0, 1,0) )02323(4343,BCADGD,点 D 到平面 PBG 的距离为GD|n |23. (3) 设 F(0, y,z),则)2323()02323()0(zyzyDF,。GCDF,0GCDF,即032)020()2323(yzy,23y, 又PCPF,即 (0,23,z4)(0 ,2, 4),z=1,
17、故 F(0,23,1) ,)1210()3230(,FCPF,FCPF3 52352PFPC。22 解析: (1)SA平面 ABCD,BD?平面 ABCD,SABD,四边形 ABCD 是正方形, ACBD,BD 平面 SAC,BD?平面 EBD,平面 EBD平面 SAC. (2)设 ACBDF,连结 SF,则 SFBD,P A G B C D F E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页AB2,SA4,BD22,SFSA2AF242( 2)23 2,SSBD12BD SF12 2 2 326,设点 A 到平面 SBD
18、的距离为 h,SA平面 ABCD,13 SSBD h13 SABD SA,6 h12 2 2 4,h43,即点 A 到平面 SBD 的距离为43. (3)设 SAa,以 A 为原点, AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,为计算方便,不妨设AB1,则 C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0),SCuuu r(1,1, a),SBuuu r(1,0,a),SDuu u r(0,1, a),再设平面 SBC、平面 SCD 的法向量分别为n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2),则111111100n SCxyazn SBxazuu u ruu u ry10,从而可取 x1a,则 z11,n1(a,0,1),x20,从而可取 y2a,则 z21,n2(0,a,1),cosn1,n21a21,要使二面角 BSCD 的大小为 120 ,则1a2112,从而 a1,即当SAABa11 时,二面角 BSCD 的大小为 120 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页