《2022年高三数学大一轮复习等比数列及其前n项和学案理新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学大一轮复习等比数列及其前n项和学案理新人教A版（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、优秀学习资料欢迎下载学案 30 等比数列及其前n项和导学目标： 1. 理解等比数列的概念.2. 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 .3. 了解等比数列与指数函数的关系.4. 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理1等比数列的定义如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零 ) ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母 _表示 (q0)2等比数列的通项公式设等比数列 an的首项为a1，公比为q，则它的通项an_. 3等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的
2、等比中项4等比数列的常用性质(1) 通项公式的推广：anam_ (n，mN*) (2) 若an为等比数列， 且klmn(k，l，m，nN*)， 则_ (3) 若an，bn( 项数相同 ) 是等比数列，则 an ( 0)，1an，a2n ，anbn ，anbn仍是等比数列(4) 单调性：a10，q1或a100q0，0q1或a11? an是_数列；q1? an 是_数列；q1 ，令bnan1 (n1,2 ，) ，若数列 bn 有连续四项在集合 53， 23,19,37,82中，则 6q_. 探究点一等比数列的基本量运算例 1已知正项等比数列an中，a1a5 2a2a6a3a7100，a2a42a3
3、a5a4a636，求数列an的通项an和前n项和Sn. 变式迁移 1 在等比数列 an 中，a1an66，a2an 1 128，Sn126，求n和q. 探究点二等比数列的判定例 2(2011岳阳月考) 已知数列 an的首项a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5，nN*. (1) 证明数列 an1 是等比数列；(2) 求an的通项公式以及Sn. 变式迁移 2 设数列 an 的前n项和为Sn， 已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*) (1) 求a2，a3的值；(2) 求证：数列 Sn 2 是等比数列探究点三等比数列性质的应用例 3(2011湛江月考)在等比数列 an中，a1a2a
4、3a4a58， 且1a11a21a31a41a52，求a3. 变式迁移 3 (1) 已知等比数列an 中，有a3a114a7，数列 bn 是等差数列，且b7a7，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载求b5b9的值；(2) 在等比数列 an 中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，求a41a42a43a44. 分类讨论思想与整体思想的应用例(12 分 ) 设首项为正数的等比数列an 的前n项和为 80，它的前2n项和为 6 560 ，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项【答
5、题模板】解设数列 an的公比为q，若q1，则Snna1，S2n2na12Sn. S2n6 5602Sn160，q1， 2 分 由题意得a1qn1q80，a1q2n1q6 560. 4 分 将整体代入得80(1 qn) 6 560 ，qn81.6分 将qn81 代入得a1(1 81)80(1 q) ，a1q1，由a10，得q1，数列 an 为递增数列8 分 ana1qn1a1qqn81a1q54. a1q23.10分 与a1q1 联立可得a1 2，q3，a2n232n1 (nN*) 12 分 【突破思维障碍】(1) 分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1 和q1 两种情况讨论；研
6、究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10,0q1 时为递增数列；当a11 或a10,0q1时为递减数列；当q0 且q1)常和指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11q当成整体求解本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a1qn1q的值整体代入求解，简化了运算， 体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用1 等比数列的通项公式、 前n项公式分别为ana1qn 1，Snna1，q 1，a1qn1q，q1.2等比数列的判定方法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
7、- -第 3 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载(1) 定义法：即证明an1anq (q0，nN*) (q是与n值无关的常数) (2) 中项法：证明一个数列满足a2n1anan2 (nN*且anan1an20)3等比数列的性质：(1)anamqn m (n，mN*) ；(2) 若an为等比数列，且klmn (k，l，m，n N*) ，则akalaman；(3) 设公比不为 1 的等比数列 an 的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn. 4在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1 或q1 作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数
8、列的关系是：(1) 若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2) 若an是等比数列，且an0，则 lg an 构成等差数列( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5 分，共 25 分) 1(2010辽宁 ) 设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5等于( ) A.152B.314C.334D.1722 (2010 浙 江 ) 设Sn为 等 比 数 列 an 的 前n项 和 ， 8a2a5 0， 则S5S2等 于( ) A 11 B 8 C5 D11 3在各项都为正数的等比数列an中，a13，前三项的和S321，则a3a4a5等于
9、( ) A33 B 72 C84 D189 4等比数列 an 前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是( ) AT10BT13CT17DT255 (2011佛山模拟 ) 记等比数列 an的前n项和为Sn， 若S32，S618， 则S10S5等于 ( ) A 3 B 5 C 31 D33 题号12345 答案二、填空题 ( 每小题 4 分，共 12 分) 6 设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516， 则数列 an 前 7 项的和为 _7(2011平顶山月考) 在等比数列 an中，公比q2，前 99 项的和S9930，则a
10、3a6a9a99_. 8(2010福建 )在等比数列 an 中，若公比q 4，且前 3 项之和等于21，则该数列的通项公式an_. 三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分)(2010 陕西 ) 已知 an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列(1) 求数列 an 的通项；(2) 求数列 2an的前n项和Sn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载10(12 分)(2011 廊坊模拟) 已知数列 log2(an1) 为等差数列，且a1 3，a25. (1) 求证：数列 a
11、n 1 是等比数列；(2) 求1a2a11a3a21an1an的值11(14 分) 已知等差数列 an 的首项a11，公差d0，且第 2 项、第 5 项、第 14 项分别是等比数列 bn的第 2 项、第 3 项、第 4 项(1) 求数列 an 与bn的通项公式；(2) 设数列 cn 对nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求c1c2c3c2 010. 答案自主梳理1公比q2.a1qn14.(1)qnm(2)akalaman(4) 递增递减常摆动6.qn自我检测1D 2.B 3.B 4.C 5. 9 课堂活动区例 1 解题导引(1) 在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q
12、，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时， 将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2) 本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：a21q42a21q6a21q8100，a21q42a21q6a21q836.，得4a21q664，a21q616. 代入，得16q2216 16q2100. 解得q24 或q214. 又数列 an 为正项数列，q2 或12. 当q2 时，可得a112，an122n 12n2，Sn12(1 2n)122n112；精选学习资料 -
13、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载当q12时，可得a132. an3212n126n. Sn32 112n112 6426n. 方法二a1a5a2a4a23，a2a6a3a5，a3a7a4a6a25，由a1a52a2a6a3a7 100，a2a42a3a5a4a6 36，可得a232a3a5a25100，a232a3a5a2536，即(a3a5)2100，(a3a5)236.a3a510，a3a56.解得a38，a52，或a32，a58.当a38，a52 时，q2a5a32814. q0，q12，由a3a1q2
14、8，得a132，an3212n126n. Sn3226n12112 6426n. 当a32，a58 时，q2824，且q0，q2. 由a3a1q2，得a12412. an122n 12n2. Sn12(2n1)212n112. 变式迁移 1 解由题意得a2an1a1an128，a1an66，解得a164，an2或a12，an64.若a164，an2，则Sna1anq1q64 2q1q126，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载解得q12，此时，an26412n1，n6. 若a12，an64，则Sn
15、264q1q126，q2. an6422n1. n6. 综上n6，q2 或12. 例 2 解题导引(1) 证明数列是等比数列的两个基本方法：an1anq (q为与n值无关的常数 )(nN*) a2n1anan2 (an0，nN*) (2) 证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法(1) 证明由已知Sn 12Snn5，nN*，可得n2 时，Sn2Sn1n4，两式相减得Sn1Sn 2(SnSn1) 1，即an12an 1，从而an11 2(an 1) ，当n1 时，S22S1 15，所以a2a12a16，又a15，所以a211，从而a212(a11)，故总有a
16、n 112(an1)，nN*，又a15，a110，从而an11an12，即数列 an 1 是首项为6，公比为2 的等比数列(2) 解由(1) 得an162n 1，所以an62n11，于是Sn6 (1 2n)1 2n62nn6. 变式迁移2 (1) 解a12a23a3nan (n1)Sn2n(nN*) ，当n1 时，a121 2；当n2 时，a12a2 (a1a2) 4，a2 4；当n3 时，a12a2 3a32(a1a2a3) 6，a38. (2) 证明a12a2 3a3nan(n1)Sn2n(n N*) ，当n2 时，a12a23a3 (n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)S
17、n(n2)Sn12n(SnSn1) Sn2Sn12nanSn2Sn12. Sn2Sn 120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn1 2) S1240，Sn 120，Sn2Sn122，故Sn2是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列例 3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度解由已知得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载1a11a21a31a41a5a1a5a1a5a2a4a2a4a3a23a1a2
18、a3a4a5a238a232，a234，a32. 若a3 2，设数列的公比为q，则2q22q 22q 2q28，即1q21q1qq21q122q12212 4. 此式显然不成立，经验证，a32 符合题意，故a32. 变式迁移 3 解(1) a3a11a27 4a7，a70，a74，b7 4，bn 为等差数列，b5b92b78. (2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3a41q61. a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15a41q548. ：a41q54a41q6q488?q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43a41q166
19、a41q6q160(a41q6) (q16)1012101 024. 课后练习区1B an 是由正数组成的等比数列，且a2a41，设 an的公比为q，则q0，且a231，即a31. S37，a1a2a31q21q17，即 6q2q 10. 故q12或q13( 舍去 ) ，a11q24. S54(1125)1128(1 125) 314. 2A 由 8a2a50，得 8a1qa1q40，所以q 2，则S5S2a1(1 25)a1(1 22) 11. 3C 由题可设等比数列的公比为q，则3(1 q3)1q21? 1qq27?q2q60 ? (q3)(q 2)0，根据题意可知q0，故q2. 所以a3
20、a4a5q2S3421 84. 4C a3a6a18a31q25 17(a1q8)3a39，即a9为定值，所以下标和为9 的倍数的积为定值，可知T17为定值 5D 因为等比数列an中有S32，S618，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载即S6S3a1(1q6)1qa1(1q3)1q 1q3182 9，故q2，从而S10S5a1(1 q10)1qa1(1 q5)1q1q512533. 6127 解析公比q4a5a116，且q0，q2，S71271 2 127. 7.1207解析S99 30，即a1
21、(2991) 30，数列a3，a6，a9，a99也成等比数列且公比为8，a3a6a9a994a1(1 833)184a1(2991)747301207. 84n1解析等比数列 an 的前 3 项之和为21，公比q4，不妨设首项为a1，则a1a1qa1q2a1(1 416) 21a121，a11，an14n14n 1. 9解(1) 由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列，得12d118d12d，(4分) 解得d1 或d0( 舍去 ) 故an 的通项an1(n1)1n. (7分) (2) 由(1) 知 2an2n，由等比数列前n项和公式，得Sn22223 2n2(1 2n)12 2
22、n12. (12分) 10(1) 证明设 log2(an1) log2(an11) d (n2)，因为a13，a2 5，所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221，(3 分) 所以 log2(an1) n，所以an12n，所以an1an112 (n2)，所以 an1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列(6分) (2) 解由(1) 可得an1(a11)2n1，所以an2n1， (8 分) 所以1a2a11a3a21an 1an精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页优秀学习资料欢迎下载12221
23、23 2212n12n1212212n 112n. (12分) 11解(1) 由已知有a21d，a514d，a14 113d，(1 4d)2(1 d)(1 13d) 解得d2(d0舍 ) (2 分) an1 (n1)2 2n1. (3 分) 又b2a23，b3a59，数列 bn 的公比为3，bn33n 2 3n1. (6分) (2) 由c1b1c2b2cnbnan1得当n2时，c1b1c2b2cn1bn1an. 两式相减得： 当n2 时，cnbnan1an2. (9 分) cn2bn23n1 (n2)又当n1 时，c1b1a2，c13. cn3 (n1)23n 1 (n2). (11分) c1c2c3c2 01036232 010133( 332 010) 32 010. (14 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
