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1、1 导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1.分离参数，恒成立转化为最值问题2.分离参数，结合零点和单调性解不等式3.将参数分成若干个区间讨论是否满足题意1 已知函数-xfxeax（aR，e为自然对数的底数）（）讨论函数fx的单调性；（）若1a，函数2xg xxm fxexx在2,上为增函数，求实数m的取值范围解：（ ）函数fx的定义域为R，xfxea当0a时，0fx，fx在 R上为增函数；当0a时，由0fx得lnxa，当,lnxa时，0fx，函数fx在,ln a上为减函数，当ln,xa时，0fx，函数fx在ln , a上为增函数 4 分（）当1a时，2xxg xxmexexx，g x在2
2、,上为增函数； 10xxgxxemem在2,上恒成立，即11xxxeme在2,上恒成立，6分令11xxxeh xe，2,x，则2221xxxxexeehxe221xxxeexe，令2xL xex，10xLxe在2,上恒成立，即2xL xex在2,上为增函数，即2240L xLe，0hx，即11xxxeh xe在2,上为增函数， 222121eh xhe，22211eme，所以实数m的取值范围是2221,1ee 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 2(2016 全国甲卷 )已知函数 f(x)(x1)ln x
3、a(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1， )时，f(x)0，求 a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为 (0，)当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，f(1)0，f(x)ln x1x3，f(1) 2.故曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xa x1x10.设 g(x)ln xa x1x1，则 g(x)1x2ax12x22 1a x1x x12，g(1)0.当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递
4、增，因此g(x)0；当 a2时， 令 g(x)0得 x1a1a121， x2a1a121.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此 g(x)0.综上， a 的取值范围是 (，23(2016 全国乙卷 )已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点(1)求 a 的取值范围；(2)设 x1，x2是 f(x)的两个零点，证明： x1x20，则当 x(，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)内单调递减，在 (1，)内单调递增又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b0 且 ba2(b2)a(b1)2ab232b
5、0，故 f(x)存在两个零点设 a0，因此 f(x)在(1，)内单调递增又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点若 a1，故当 x(1，ln(2a)时，f(x)0.因此 f(x)在(1，ln(2a)内单调递减，在 (ln(2a)，)内单调递增又当 x1 时，f(x)0，所以 f(x)不存在两个零点综上， a 的取值范围为 (0，)(2)证明：不妨设 x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，又 f(x)在(，1)内单调递减，所以 x1x2f(2x2)，即 f(2x2)1 时，g(x)1 时，g(x)0.从而 g(x2)f(2x2)0，故 x1x20，所以
6、 f(x)在(0，)上单调递增若 a0，则当 x0，1a时，f(x)0；当 x1a， 时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为f1aln1aa11aln aa1.因此 f1a2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增， g(1)0.于是，当 0a1时，g(a)1 时，g(a)0.因此， a 的取值范围是 (0,1)6(2016 全国甲卷 )已知函数 f(x)(x1)ln xa(x1)(1)当 a4 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1， )时，f(x)0，求 a的取值范围解：(1)f(x)的定
7、义域为 (0，)当 a4 时，f(x)(x1)ln x4(x1)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 f(1)0，f(x)ln x1x3，f(1) 2.故曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为2xy20.(2)当 x(1，)时，f(x)0 等价于 ln xa x1x10.设 g(x)ln xa x1x1，则 g(x)1x2ax12x22 1a x1x x12，g(1)0.当 a2，x(1，)时，x22(1a)x1x22x10，故 g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，因此g(x)0；当 a2时， 令
8、g(x)0得 x1a1a121， x2a1a121.由 x21 和 x1x21 得 x11，故当 x(1，x2)时，g(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，因此 g(x)0.综上， a 的取值范围是 (，27.(2016 山东高考 )设 f(x)xln xax2(2a1)x，aR(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值，求实数a 的取值范围解：(1)由 f(x)ln x2ax2a，可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，)所以 g(x)1x2a12axx当 a0，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0，x0，12
9、a时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x12a， 时，g(x)0，函数 g(x)单调递减所以当 a0 时，g(x)的单调增区间为 (0，)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 当 a0 时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a， (2)由(1)知，f(1)0当 a0 时，f(x)单调递增，所以当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意当 0a12时，12a1，由(1)知 f(x)在0，12a内单
10、调递增，可得当 x(0,1)时，f(x)0，当 x 1，12a时，f(x)0所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意当 a12时，12a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在 (1，)内单调递减，所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意当 a12时，012a1，当 x12a，1 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(x)在 x1 处取极大值，符合题意综上可知，实数a 的取值范围为12， 8.(2016 海口调研 )已知函数 f(x)mxmx，g(x)3ln
11、 x(1)当 m4 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若 x(1，e(e是自然对数的底数 )时，不等式 f(x)g(x)3 恒成立，求实数 m 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 解：(1)当 m4 时，f(x)4x4x，f(x)44x2，f(2)5，又 f(2)6，所求切线方程为 y65(x2)，即 y5x4(2)由题意知， x(1，e时，mxmx3ln x3 恒成立，即 m(x21)3x3xln x 恒成立， x(1，e，x210，则 m3x3xln xx21恒成立令 h(
12、x)3x3xln xx21，x(1，e，则 mh(x)minh(x)3 x21 ln x6x2123 x21 ln x6x212， x(1，e， h(x)0，即 h(x)在(1，e上是减函数当x(1，e时，h(x)minh(e)9 e2 e1 m 的取值范围是，9 e2e29.(2017 福建省质检 )已知函数 f(x)axln(x1)，g(x)exx1曲线 yf(x)与 yg(x)在原点处的切线相同(1)求 f(x)的单调区间；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 (2)若 x0 时，g(x)kf(x)，求 k
13、的取值范围解：(1)因为 f(x)a1x1(x1)，g(x)ex1，依题意， f(0)g(0)，即 a10，解得 a1，所以 f(x)11x1xx1，当1x0 时，f(x)0；当 x0 时，f(x)0故 f(x)的单调递减区间为 (1,0)，单调递增区间为 (0，)(2)由(1)知，当 x0 时，f(x)取得最小值 0，所以 f(x)0，即 xln(x1)，从而 exx1设 F(x)g(x)kf(x)exkln(x1)(k1)x1，则 F(x)exkx1(k1)x1kx1(k1)，()当 k1 时，因为 x0，所以 F(x)x11x120(当且仅当 x0时等号成立 )，此时 F(x)在0，)上
14、单调递增，从而 F(x)F(0)0，即 g(x)kf(x)()当 k1 时，因为 f(x)0，所以 f(x)kf(x)由()知 g(x)f(x)0，所以 g(x)f(x)kf(x)，故 g(x)kf(x)()当 k1 时，令 h(x)exkx1(k1)，则 h(x)exkx12，显然 h(x)在0，)上单调递增，又 h(0)1k0，h( k1)ek110，所以 h(x)在(0，k1)上存在唯一零点x0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页1 0当 x(0，x0)时，h(x)0，所以 h(x)在0，x0)上单调递减，从而 h(x)h(0)0，即 F(x)0，所以 F(x)在0，x0)上单调递减，从而当 x(0，x0)时，F(x)F(0)0，即 g(x)kf(x)，不合题意综上，实数 k 的取值范围为 (，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
