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1、MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 第二讲插值与数据拟合模型函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是数据拟合问题。一、插值方法简介插 值
2、问 题 的 提 法 是 ， 已 知1n个 节 点njyxjj, 2, 1 ,0),(， 其 中jx互 不 相 同 ， 不 妨 设bxxxan10，求任一插值点)(*jxx处的插值*y。),(jjyx可以看成是由某个函数)(xgy产生的，g的解析表达式可能十分复杂，或不存在封闭形式。也可以未知。求 解 的 基 本 思 路 是 ， 构 造 一 个 相 对 简 单 的 函 数)(xfy， 使f通 过 全 部 节 点 ， 即), 2, 1 ,0()(njyxfjj，再由)(xf计算插值，即*)(*xfy。1拉格朗日多项式插值插值多项式从理论和计算的角度看，多项式是最简单的函数，设)(xf是 n 次多项
3、式，记作0111)(axaxaxaxLnnnnn（1）对于节点),(jjyx应有njyxLjjn, 2, 1 , 0,)(（2）为了确定插值多项式)(xLn中的系数011,aaaann，将（ 1）代入（ 2），有nnnnnnnnnnnnnnnnyaxaxaxayaxaxaxayaxaxaxa01110111110001010（3）记TnTnnnnnnnnnnyyyYaaaAxxxxxxX),(,),(,11110011111100方程组（ 3）简写成YXA（4）注意Xdet是 Vandermonde 行列式，利用行列式性质可得nkjjkxxX0)(det因jx互不相同，故0det X，于是方程
4、（ 4）中 A 有唯一解，即根据1n个节点可以确定唯一的n 次插值多项式。拉格朗日插值多项式实际上比较方便的做法不是解方程（4）求 A，而是先构造一组基函数：nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiiniii, 2, 1 ,0,)()()()()()()(110110（5）)(xli是 n 次多项式，满足名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:
5、/ njijijixlji, 2, 1 , 0,0, 1)(（6）令niiinxlyxL0)()(（7）显然)(xLn是满足（ 2）的 n 次多项式，由方程（4）解的唯一性，（7）式表示的)(xLn的解与（ 1）式相同。（ 5）、（ 7）称拉格朗日插值多项式，用)(xLn计算插值称拉格朗日多项式插值。误差估计插值的误差通过插值多项式)(xLn与产生节点),(jjyx的)(xg之差来估计， 记作)(xRn。虽然我们可能不知道)(xg的解析表达式，但不妨设)(xg充分光滑，具有1n阶导数。利用泰勒展开可以推出，对于任意,bax。),()()!1()()()()(0)1(baxxngxLxgxRnj
6、jnnn（8）若可以估计1)1(|)(|nnMg（9）则),(, |)!1(|)(|01baxxnMxRnjjnn（10）实际上因为1nM常难以确定，所以（10）式并不能给出精确的误差估计。但是可能看出，n 增加，|)(|xRn减少；g越光滑，1nM越小，| )(|xRn越小； x 越接近jx，|)(|xRn越小。例将区间2,0n 等分，用xxgycos)(产生1n个节点，然后作拉格朗日插值多项式。用)(xLn计算6cos（取 4 位有效数字）。估计| )(|xRn（取2, 1n）。解若1n，则)1 , 0(),(00yx, 0,2),(11yx。由（ 5）、（ 7）式xxxlylyxL210
7、2002021)(110016667.066cos1L若2n，则)1 , 0(),(00yx，0 ,2),( ,7071.0,4),(2211yxyx，由（ 5）、（ 7）式。4202)4)(0(024042)0(7071.02040241)(2211002xxxxxxlylylyxL27071.01624822xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：htt
8、p:/ 8508.066cos2L。估计| )(|xRn：对于xxgcos)(可设11nM，记节点间隔nh2。当1,jjxxx时4|21hxxxxjjnhhhhxxnjj324|20于是（ 10）式给出1112)2)(1(4)1(4324)!1(1| )(|nnnnnnnhnhhhhnxR可以算出n 1 2 3 4 | )(|xRn0.3 0.04 3107 .44107.46cos的精确值是0.8660（4 位有效数字）6,621LL的误差在|)(|xRn范围内。插值多项式的振荡用拉格朗日插值多项式)(xLn近似)(bxaxg虽然随着节点个数的增加，)(xLn的次数变大，多数情况下误差|)(
9、|xRn会变小，但n 增加时，)(xLn的光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。理论上，当n时，在,ba内并不能保证)(xLn处处收敛于)(xg。Runge 给出了一个有名的例子：5 ,5,11)(2xxxg取njnjxj,2,1 ,0,105。对于, 6,4,2n作)(xLn，会得到如下图所示的结果。可以看出，对于较大的| x，随着n 的增加，)(xLn的振荡越来越大，事实上可以证明，仅当63.3| x时，才有)()(limxgxLnn，而在此区间外，)(xLn是发散的。高次插值多项式的这些缺陷，促使人们转而寻求简单的低次数多项式插值。2. 分段线性插值简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，
10、如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作)(xIn，它满足jjnyxI)(，且)(xIn在每个小区间,1jjxx上是线性函数), 1 ,0(nj。)(xIn可以表示为njjjnxlyxI0)()(（12）其它时舍去时舍去,0)(,)0(,)(111111njxxxxxxxjxxxxxxxxljjjjjjjjjjj（13）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：h
11、ttp:/ )(xIn有良好的收敛性，即对于,bax有，)()(limxgxInn。用)(xIn计算x点的插值时，只用到x左右的两个节点，计算量与节点个数n无关。但n越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。3. 三次样条插值样条函数的由来分段线性插值虽然简单，n足够大时精度也相当高。但是折线在节点处显然不光滑，即)(xIn在节点处导数不连续。这影响了它在诸如机械加工等领域(希望插值曲线光滑)中的应用。所谓样条 (Spline)，来源于船舶、飞机等设计中描绘光滑外形曲线用的绘图工具。一根有弹性的细长
12、木条用压铁固定在节点上，其它地方让它自然弯曲，如此画出的曲线称为样条曲线。因为这种曲线的曲率是处处连续的，所以要求样条函数的二阶导数连续。人们普遍使用的样条函数是分段三次多项式。三次样条函数三次样条函数记作bxaxS),(。要求它满足以下条件：a) 在每个小区间), 1(,1nixxii上是 3 次多项式；b) 在bxa上二阶导数连续；c) niyxSii, 1 ,0,)(。(14) 由条件 a，不妨将)(xS记为nixxxxSxSiii, 1,),()(1iiiiidxcxbxaxS23)(（15）其中iiiidcba,为待定系数，共4n个。由条件b，)()(1,2 ,1)()()()(11
13、1iiiiiiiiiiiixSxSnixSxSxSxS（16）容易看出， (14)、(16)式共含有 4n-2 个方程，为确定)(xS的 4n个待定参数，尚需再给出2个条件。最常用的是所谓自然边界条件：0)()(0nxSxS（17）可以证明， 4n阶线性方程组 (14)、(16)、(17)有唯一解，即)(xS被唯一确定。但是，这种解法的工作量太大，方程组又常呈病态，所以实际上要设计简便的解法。另外，像分段线性函数)(xIn一样，三次样条函数)(xS也有良好的收敛性，即在相当一般的条件下，)()(limxgxSn。4. 用 MATLAB作插值计算拉格朗日插值需先按照(5)、(7)式编写一个程序。
14、设n个节点以数组x0,y0 输入 (注意：程序中用n个节点，而不是(5)、(7)式中的n+1 个节点 )，m 个插值点以数组x 输入。输出数组y 为 m 个插值。比如可以写一个名为lagr1.m 的 M 文件。分段线性插值有现成的程序y=interp1(x0,y0,x) 其中输入x0,y0,x 和输出 y 的意义同上，数组长度自定义(x0,y0 同长度， x,y 同长度 )。三次样条插值也有现成的程序y=interp1（x0,y0,x,spline ）或y=spline(x0,y0,x) 其中输入x0,y0,x 和输出 y 的意义同上，数组长度自定义(x0,y0 同长度， x,y 同长度 )。
15、例对55,)1 (12xxy，用n(=11)个节点 (等分)作上述三种插值，用m(=21) 个插值点 (等分)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 作图，比较结果。插值方法小结拉格朗日插值是高次多项式插值(n+1 个节点上用不超过n次的多项式 )，插值曲线光滑，误差估计有表达式。但有振荡现象，收敛性不能保证。这种插值主要用于理论分析，实际意义不大。分
16、段线性和三次样条插值是低次多项式插值，简单实用，收敛性有保证，但不光滑，三次样条插值的整体光滑性已大有提高，应用广泛，唯误差估计较困难。二、 最小二乘法简介下面先看一个例子。例 1 “人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查的我国从1949 年至 1994 年人口数据智料如下：年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数(百万 ) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1
17、176.74 分析：（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999 年人口数。方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（ 1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为： N = 14.088 t 26915.842，代入 t =1999,得 N 12.46 亿。方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999 代入，分别求出人口数，再取其算数平值。方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。最小二乘法简介设),( ,),(),(2211nnyxyxyx是直角平面
18、坐标系下给出的一组数据，设nxxx21，我们可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线baxy，使得它能 最好 的反映出这组数据的变化。对个别观察值来说，用直线baxy的值来近似代替其观察值时，所产生的误差可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，可用niiibaxy1| )(|来表示用直线baxy来近似代原来实验数据时所产生的误差。为了在数学上处理方便，又把上式改成niiibaxyd12)(也就是说，我们选取常数ba,，使得总误差d达到最小。这就是所谓的最小二乘法。用微分法不难求出上面最小值问题的驻点，这里不
19、列出其结果。事实上，在MATLAB中已有现成的求最小二乘问题的函数polyfit ，称为多项式拟合函数，并且这个函数允许多项式的次数可以是任意次的。除外，还可以用解线性方程组中的除法运算（矩阵除法）来求解。这两个方法的区别在于：用polyfit 函数求拟合问题时，多项式的次数必须从0 次到最高次数n之间每个次数都要出现。而如果需要选择一些次数进行拟合时，就可用矩阵除法运算来进行。矩阵除法还可以求一般的线性拟合问题，例如拟合函数不是多项式的线性拟合问题。上面例 1 中的问题就可以用polyfit 来求解。例 2 用最小二乘法求一个形如2bxay的经验公式，数据如下：x 19 25 31 38 4
20、4 y 19.0 32.3 49.0 73.3 98.8 解 用求矩阵除法（因为要拟合的多项式缺了1 次幂项，所以不能用polyfit 函数）。代码如下。x=19 25 31 38 44; y=19.0 32.3 49.0 73.3 98.8; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ x1=x.2; x1=ones(5,1),x1 ;yx0=19:0.
21、2:44; y0=ab(1)+ab(2)*x0.2; clf plot(x,y, o, x0,y0,-r );多项式拟合是线性拟合问题（注意：无论拟合的多项式次是多少，多项式拟合都是线性拟合!）。但在实际应用中，有时还需要作非线性拟合问题。所谓线性拟合问题是指：需要拟合的函数中的未知常数都线性的。如函数2bxay中，常数ba,是线性的。但bxeaxy、bxaey中的常数ba,都是非线性。这种函数的拟合问题称为非线性拟合问题。有 的 非 线 性 拟 合 问 题 可 以 化 为 线 性 拟 合 问 题 。 例 如 在 函 数bxaey中 ， 两 边 取 对 数 ， 得bxaylnln，再令aaln
22、1，yzln，则要拟合的函数就成bxaz1，这样就变成线性拟合问题了。但也有不能化成线性拟合问题的情况，如函数bxeaxy就是这样。在 MATLAB5.3中求非线性拟合问题的函数是lsqcurvefit 。例 3 在区间3, 1内拟合函数bxeaxy。解 用非线性拟合函数lsqcurvefit 来拟合。先建立拟合函数。% 建立拟合函数，文件名是nxxyhhx.m ，必须与函数名相同。% 要拟合的函数中参数用x 表示，即 x(1)=a x(2)=b ；% 而拟合函数中x 的值则用 xdata 表示。function v=nxxyhhx(x,xdata) v=x(1)*xdata+exp(x(2)
23、*xdata); 以下指令在命令窗中进行。clf; x=linspace(-1,3,10); y1=2*x+exp(-0.1*x); %原型函数plot(x,y1, -k) hold on y=y1+1.2*(rand(size(x)-0.5); %将原型函数加一些扰动plot(x,y, *g) x0=2.5,-0.5; a=lsqcurvefit( nxxyhhx ,x0,x,y) %用原始实验数据拟合函数nxxyhhx (x), vpa(a(1),a(2),8) % nxxyhhx (t) 表达式中各项的系数。y2=nxxyhhx(a,x); plot(x,y2, -r) legend(原
24、型函数 ,原始数据 ,用原始数据拟合的结果,4); 三、血液流量问题小哺乳动物与小鸟的心跳速度比大哺乳动物与大鸟的快。如果动物的进化为每种动物确定了最佳心跳速度，为什么各种动物的最佳心跳速度不一样呢？由于热血动物的热量通过身体表面散失，所以它们要用大量的能量维持体温，而冷血动物在休息时只需要极少的能量，所以正在休息的热血动物似乎在维持体温。可以认为，热血动物可用的能量与通过肺部的血液流量成正比。（1）试建立一个模型，将体重与通过心脏的基础（即休息时的）血液流量联系起来，用下面的数据检验你的模型。（2）有许多可得到脉搏数据但没有血液流量数据的动物，建立一个模型将体重与基础脉搏联系起来，用下面的数
25、据检验你的模型。（3）在检验你在（1）和（ 2）中的模型时会出现不一致，试进行分析。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 表一关于某些哺乳动物的数据哺乳动物名称兔山羊狗狗狗体重（千克）4.1 24 16 12 6.4 基础血液流量（分升/分）5.3 31 22 12 11 表二 关于人类的数据年龄5 10 16 25 33 47 60 体重（千克）1
26、8 31 66 68 70 72 70 基础血液流量（分升/分）23 33 52 51 43 40 46 脉搏（次 /分）96 90 60 65 68 72 80 表三关于小鸟类的数据表四关于大鸟类的数据鸟类体重（克）脉搏（次 /分）鸟类体重（克）脉搏（次 /分）蜂鸟4 615 海鸥388 401 鹪鹩11 450 鸡1980 312 金丝雀16 514 秃鹰8310 199 麻雀28 350 火鸡8750 93 鸽子130 135 驼鸟80000 65 表五关于哺乳动物的数据哺乳动物名称体重（千克）脉搏（次 /分）哺乳动物名称体重（千克）脉搏（次 /分）小蝙蝠0.006 588 海豹2025
27、 100 小家鼠0.017 500 山羊33 81 仓鼠0.103 347 绵羊50 7080 小猫0.117 300 猪100 6080 大家鼠0.252 352 马380450 3455 天竺鼠0.437 269 牛500 4653 兔1.34 251 象20003000 2550 这里只对该问题作一些拟合方面的练习。其它问题读者可自己进行讨论。符号用w表示动物的体重，单位：千克用v表示动物的基础血液流量，单位：公升/分用t表示动物的年龄，单位：岁用n表示动物的脉搏，单位：次/分假设动物的基础血液流量与动物的体重之间存在一定的函数关系)(wfv，可以用表一中的数据来拟合这个函数。函数)(w
28、f是一个什么样的函数呢？由于我们对“动物的基础血液流量与动物的体重”之间的关系并不清楚，所以只有根据表一中的数据得出函数)(wf一些性质。先将表一中的数据用MATLAB软件作出图形。 从图上可以看出，这个函数关系)(wfv应当是一个单调增加的函数。因此，拟合的函数如果不具有这一性质的话，就不能作为是好的选择。一般地，可以假设函数)(wf是一个多项式，通常，这个多项式的次数不要超过3、4 次，具体可根据拟合的效果来定。当然也可以用其它函数来拟合。为了提高拟合的效果，函数)(wf还可以用分段函数来拟合。以下是用分段函数拟合的结果：24,16,6265.7431526.9204756.016,1 .
29、4,0649.433418.219727.21706.00033.0)(2234wwwwwwwwwfv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 拟合函数图形是：问题 1：写出拟合函数)(wfv和作出上面图形的MATLAB指令。同样可以拟合人的基础血液流量与体重之间的函数关系)(wgv，可以用表二中的数据来拟合这个函数。这里用4 次多项式来拟合，拟合的结果
30、是：72,18,98.16340. 41728.000351. 0000025. 0234wwwwwv拟合函数图形是：问题 2：写出拟合函数)(wgv和作出上面图形的MATLAB指令。将上面拟合出来的函数)(wfv和)(wgv在它们的公共定义域24,18上的图形画出来， 如下图所示。从图形上可以看出人类与动物之间的差异。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：htt
31、p:/ 问题 3：写出作出上面图形的MATLAB指令。下面考虑动物、人类的体重与基础脉搏的函数关系。假设人类的体重与基础脉搏之间的函数关系是)(1nHw，利用表二中的数据来拟合这个函数。这里用 3 次多项式拟合。拟合的结果是：96,60,216.4502450.16143347.00002566.0)(231nnnnnHw其图形是：问题 4：写出拟合函数)(1nHw和作出上面图形的MATLAB指令。假设哺乳动物的体重与基础脉搏之间的函数关系是)(2nHw，利用表五中的数据来拟合这个函数。这里用分段函数来拟合。由于当100n时，w变化激烈，所以用多项式已不能描述其变化的规律，可用其它函数来拟合。
32、拟合的结果是：100,1056493.7100,7835.140345386.0)(6122nnnnnHw图形如下。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 问题 5：写出拟合函数)(2nHw和作出上面图形的MATLAB指令。假设小鸟类、 大鸟类的体重与基础脉搏之间的函数关系分别是)(31nHw和)(32nHw， 利用表三、四中的数据来拟合这两个函数。拟
33、合的结果是：615,135,685.29561275. 10031454.00000021.0)(2331nnnnnHw401,65,1004631.2)(31032nnnHw其图形如下。问题 6：写出拟合函数)(31nHw和)(32nHw和作出上面图形的MATLAB指令。下面考虑人类的基础血液流量与基础脉搏的函数关系。假设人类的基础血液流量与基础脉搏之间的函数关系是)(nUv，利用表二中的数据来拟合这个函数。拟合结果是：96,60,322.9893316.37482394. 000217132.0)(23nnnnnUv名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
34、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 考虑复合函数)(1nHgv=-.2489e-4*(.256557e-3*n3-.143347*n2+16.2450*n-450.216)4+.3506e-2*(.256557e-3*n3-.143347*n2+16.2450*n-450.216)3-.1728*(.256557e-3*n3-.143347*n2+16.2450*n-450.216)2+.1113457380e-2*n
35、3-.622125980*n2+70.5033000*n-1970.917440; 用 MATLAB软件画出上面两个函数的图形：由上图可以看出，两者有较大的差异。原因就是前面的假设不合理，或不够完善。下面我们假设人类的的基础血液流量是体重和年龄的二元函数),(twVv， 用表二中的数据来拟合该函数。用二元二次多项式来拟合。结果是：),(twVv1606.1471439.484792.00171689.00896015.0025085.022twtwtw问题 7：写出以上相应的MATLAB程序和作出上面图形的MATLAB指令。四、冰山的运输在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，淡水
36、资源十分贫乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水，成本大约是每立方米淡水0.05 英镑，有些专家提出从相距9600 千米之遥的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法。这个模型要从经济的角度研究冰山运输的可行性。为了计算用拖船运送冰山所获得的每立方米淡水所花的费用，我们需要关于拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速度等方面的数据，以此作为建模所必须的准备工作。模型准备1. 三种拖船的日租金和最大运量：船型小中大日租金 ( 英镑 ) 4.0 6.2 8.0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
37、精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 最大运量 ( 米3) 5 1061071082. 燃料消耗 ( 英镑 / 千米 ) 。主要依赖于船速和所运冰山的体积，船形的影响可以忽略：冰山的体积( 米3) 船速（千米 / 小时）1051061071 8.4 10.5 12.6 3 10.8 13.5 16.2 5 13.2 16.5 19.8 3. 冰山在运输过程中的融化速率（米/ 天）。指在冰山与海水接触处每天融化的深度，融化速率除与船速有关外， 还和运输过程中冰山到达
38、处与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故。与南极的距离（千米）船速（千米 / 小时）0 1000 4000 1 3 5 0 0 0 0.10 0.15 0.20 0.30 0.45 0.60 建立模型的目的选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地后，可得到的每立方米淡水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。根据建模的目的和搜集到的有限的资料，需要对问题作如下的简化和假设：模型假设1. 拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离为9600 千米。2. 山形状为球形，球面各点融化速率相同。3. 冰山到达目的地后，每立方米冰可融化成0.85 立方米水。模型
39、构成首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况; 然后是计算航行过程中的燃料消耗；由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费。在计算过程中需要根据收集到的数据拟合出经验公式。问题： 1. 理解建模过程中每一步的作用；2. 用 MATLAB 软件求解这个模型，写出相应的MATLAB 指令。五、水塔流量估计某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约两个小时。水塔是一个高12.2 米、直径 17.4
40、 米的正圆柱。按照设计，水塔水位降至约8.2 米时，水泵自动启动，水位升到约10.8 米时水泵停止工作。下表是某一天的水位测量记录、试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。时刻（ h）水位（ cm）0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 时刻（ h）9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 / / 1082 1050 1021 994 965 941 91
41、8 892 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 水位（ cm）时刻（ h）水位（ cm）19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91 866 843 822 / / 1059 1035 1018 六、加工工序的问题设有 14 件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必须安排在另一些工件加工完后才
42、能进行，第 j 件工件加工时间jt及先期必须完工的工件号由下表给出: 工件号 j1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 20 28 25 16 42 12 32 10 24 20 40 24 36 16 前期工件号 i3，4 5，7，8 5，9 - 10，11 3，8，9 4 3，5，7 4 - 4，7 6，7，14 5，12 1，2，6 (1). 若给出一个加工顺序，则确定了每个工件完工的时间( 包括等待与加工两个阶段) ，试设计一个满足条件的加工顺序，使各个工件完工的时间之和最小。(2). 若第 j 号工件紧接着第i 号工件完工后开工，机床需要准备时间是jijij
43、ijitij),(2,试设计一个满足条件的加工顺序，使机床花费的总时间最小。(3). 若工件完工时间超过一定时限u，则需支付一定的补尝费，其数额等于超过的时间与费用率iw之积:工件号 j1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 费用12 10 15 16 10 11 10 8 5 4 10 10 8 12 对于 u = 100 ，0ijt安排一个满足条件的加工顺序，使总的补尝费用最少。上面的三个问题，它们都有一定的实际意义。对于问题(1) 可以看着是 : 如果在某个时刻同时有很多客户需要加工自己的工件，而你用来加工这些工件的机床只有一台，这里假设机床不能同时加工两个及其
44、以上的工件，这样客户们就需要排队等待加工，这时对于客户们来说当然希望等待的时间越少越好。对于问题 (2) 则可以看着是：客户对于加工费用方面的考虑，因为有很多的实际情况是加工的费用与租用机床的时间长短有关的，租用机床的时间越长，则费用越高，而机床花费的时间包括准备时间和加工工件的时间两部分。优化模型与问题的求解根据问题的要求，先作一个PERT网络图，如图所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - MATLABFAN
45、收集 更多 MATLAB资料请访问：http:/ 下图是经简化之后得到的PERT图。其中从第 i 号工件到第j 号工件之间的箭头上的数字表示完成加工第 j 号工件所需的加工时间。优化准则 1. 当两个工件的加工次序允许交换的话, 为了使得总的完工时间最小,应先加工所需加工时间较短的工件。可以推广到多个工件的情形。即若有n个工件等待加工, 且这 n 个工件的加工次序允许交换, 则可将这n 个工件加工所需的时间按从小到大的次序进行排序，然后再按加工所需时间最小的工件先加工的次序依次进行加工 , 就是最优的加工顺序。优化准则 2. 设0,0 utij，记iiitwv，如果第ji,号工件的加工次序可以
46、交换的话，为了使补尝费用最少，应先加工jivv ,值较大的工件。七、截断切割某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6 次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的 r 倍，且当先后两次垂直切割的平面( 不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1）
47、需考虑的不同切割方式的总数。2）给出上述问题的数学模型和求解方法。3）试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。4）对于 e=0 的情形有无简明的优化准则。5）用以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5 、19 和 3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1 元， r 和 e 的数据有以下4 组：a. r=1, e = 0; b. r =1.5, e =0; c. r =8, e =0; d. r =1.5; 2 = e = 15. 对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -
