第5章-平面势流理论课件

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1、第第5章章 平面势流理论平面势流理论 在不可压缩理想流体中，当流动无旋时，称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初始条件下具有实际背景的许多问题的解答。工程流体力学工程流体力学1 由于速度势和流函数又满足柯西黎曼（CauchyRiemann）条件，因此也可以利用复变函数这门数学工具求解平面势流。 在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分便得到流体与物体之

2、间的作用力。平面势流理论在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学的重要部分。 工程流体力学工程流体力学25.1 5.1 平面势流的复势平面势流的复势 5.1.1 5.1.1 复势的定义复势的定义 在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ，流速场在直角坐标系中有关系式 工程流体力学工程流体力学3 解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面势流。 这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组成一个解析复变函数 式中工程流体力学工程流体力学45.1.2 5.1.2 几种简单的平面势流复势几种简单的平面势流复势 1.1.均匀直线流动（均流）均匀直线

3、流动（均流） 当流动速度为 ，方向同x轴方向一致时，复势 若均流的 ， ，如图5.1所示，则复势 图5.1 不同方向的均流yxaOU0工程流体力学工程流体力学52 2. .源和汇源和汇当将源或汇置于极坐标的原点时，复势 若源或汇置于复平面 处，则其复势 工程流体力学工程流体力学63.3.环流环流 （1）点涡。点涡也称平面圆旋，是一团无限长的直圆筒形流体，流体质点均绕本身的中心旋转，旋转的角速度 ，大小是 ，方向是直圆筒轴线方向。涡束的半径是 ，且是一个小量，因此也称它为点涡。点涡的强度 式中 涡束的半径； 内部流体质点旋转角速度大小； 速度环量。 工程流体力学工程流体力学7（2）环流。由于圆旋

4、的存在，则周围流体将引起一个诱导速度场，也称为环流，该诱导速度场是平面势流。若点涡的强度是 ，将它置于原点，点涡的旋转方向是逆时针，则 ，若是顺时针，则 。其复势 点涡置于复平面处，则其复势 工程流体力学工程流体力学84.4.偶极子偶极子 当等强度的源、汇（源至汇的方向为x方向）无限靠近，并置于原点时，复势 工程流体力学工程流体力学9若偶极子中源到汇的方向与 轴成 角，则复势 若偶极子放置在 处，且偶极子中源到汇的方向同 轴，则复势工程流体力学工程流体力学105.2 5.2 复速度复速度5.2.1 5.2.1 复速度和共轭复速度复速度和共轭复速度 平面势流的流动复势已知时，便可以对复势求导，若

5、复势 对 进行微分，得复势导数的实部是 轴向的速度分量 ，导数的虚部是y轴向的速度分量 的负值，如图5.2所示。yxOqqvu+ivu-iv图5.2 复速度工程流体力学工程流体力学11 通常称 为复速度，称 为共轭复速度。显然复速度的模是速度的大小 复速度有可能写为 一旦得到复势，就可以得到流场的速度场工程流体力学工程流体力学12图5.3 速度环量yxzldlvO5.2.2 5.2.2 复速度的积分复速度的积分1.1.速度环量速度环量 在流场中，取一封闭的空间曲线l，在l上取微分线段dl，如图5.3所示 ，该处流体速度为 ，则定义 为沿曲线l的速度环量，以 表示（简称环量）。 工程流体力学工程

6、流体力学13流动是势流，那么存在速度势 2.2.复速度积分复速度积分 在平面流场中取一封闭曲线l，复速度对闭合回路l的积分为物理意义是复速度沿封闭曲线l的积分，其实部等于沿该曲线的速度环量 ，虚部等于由内向外通过该封闭曲线的体积流量 。工程流体力学工程流体力学14【例5.1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是 ，在原点处压强为 ，试求：（1）上半平面的速度分布；（2）绘制上半平面的流线图；（3）沿x轴的压强分布。 【解】 （1）复速度 则流场的速度分布 工程流体力学工程流体力学15 （2）由复势 得流函数 流线方程 常量， 上半平面的流线图如图5.4所示。 （3）由于流动是无旋的，按拉格朗日

7、方程求压强分布 式中 ； 原点到该点的距离。 yxO图5.4 的流线图2Waz=工程流体力学工程流体力学16 当 处， ， ， ，此时 即 为平面中各点压强分布。【例5.2】已知某一平面势流，其流动复势为 ，（1）试分解这种流动为最简单的流动；（2）求沿圆周 的环量和通过这一围线的流量。【解】 平面势流具有叠加原理，将两个或更多的简单平面势流叠加成复杂的平面势流，复杂流动的复势只须将原先简单流动的复势简单地代数相加即可。 工程流体力学工程流体力学17（1）解析下式：对于 ， 是源强度 放置于（0,0）点的复势；对于 ，是汇强度 放置于（3,0）点的复势。（2）沿 圆周的环量和通过该围线的流量为

8、 工程流体力学工程流体力学18按留数定理 故 由于在 区域内无点涡存在，故环流的强度为零。由于在 内有强度为 的源存在，故体积流量为 。 工程流体力学工程流体力学19【例5.3】某一平面势流，其流动复势为一般的对数函数 （A，B为实常数）；试分解这种流动为最简单的流动和绘制流动图形。 【解】有以下解析式： 对于 是强度为 的源（汇）放置于（0,0）点的复势；对于 ，则是强度为 的点涡放置于（0,0）点的复势。（当 时，点涡为顺时针方向旋转，反之则为逆时针方向旋转） 工程流体力学工程流体力学20流动图形的分析 ：故速度势函数 流函数 流场中速度分布 流线 工程流体力学工程流体力学21 即 也即它

9、们都是对数螺线，如图5.5所示。 同理，等势线为 qABeCr2=图5.5 平面涡源流工程流体力学工程流体力学225.3 5.3 求解平面势流复势的方法求解平面势流复势的方法 在许多情况下直接找流动的复势要比求解 和 来得容易，本章简单介绍三种在一定条件下求解平面势流复势的方法。 工程流体力学工程流体力学235.3.1 5.3.1 奇点分布法奇点分布法 上面已经介绍了几种简单的平面势流并给出了它们的复势，这几种简单流动称为流体力学奇点。所谓奇点分布法： 1.1.绕圆柱无环量的流动绕圆柱无环量的流动 将无限长圆柱体放置在均流中，就是绕圆柱体无环量的流动，其流动图形如图5.6所示。观察流线图谱可发

10、现以下现象：图5.6 绕圆柱体无环量流动工程流体力学工程流体力学24 当均流叠加偶极子组合，会有圆柱流线形成。它们组合流场的复势为 （1）当均流叠加源流，会有半无限物体的流线形状，如图57(a)所示。（2）当均流叠加等强度源汇，会有绕朗金椭圆（如图5.7(b)所示）和开尔文椭圆（如图5.7(c)所示）的流线形状。图5.7 均流和源叠加（a）、均流和源、汇叠加（b）、（c）工程流体力学工程流体力学25 对于这个组合流场，只要选择适当的偶极子强度 和均流速度 的大小，使一条零流线与圆柱表面正好重合即可。 首先引入 ，得 展开上式可得 zMzUzWzWzW12)()()(021p+=+=工程流体力学

11、工程流体力学26 为确定零流线，令 ， ，那么可得到零流线与圆柱面 重合的条件为 流场的势函数和流函数分别为 流线族 如图5.8所示。 U0yx图5.8 均流叠加偶极流场工程流体力学工程流体力学27（1）流场的速度分布：设 点为圆柱表面上任意一点，则 ，速度分布为 工程流体力学工程流体力学28 如图5.9所示，在圆柱的前后驻点 和 上和 速度 ；在上下侧点 和 上 ，速度分别为 ，速度的大小是来流速度的两倍，是圆柱面上最大速度点。 （2）圆柱体表面压强分布 无穷远处来流压强为 ，则圆柱体表面上任意点的压强 由拉格朗日方程求得： 其中 得 U0D2U02U0ABC图5.9 圆柱表面特殊点速度工程

12、流体力学工程流体力学29圆柱体表面的压强 分布关于 ， 轴对称，前后驻点 ， 处 ， 的压强最大 ：而上，下侧点 和 处 压强最小：定义压强因数： 圆柱表面压强分布图5.10所示。工程流体力学工程流体力学30在前后驻点处 ， ， 为最大值，即 ；在 处， 为最小值，即 ； 在 和 处， ，即该处的压强 。 图5.10 圆柱体表面压强分布工程流体力学工程流体力学31 从压强分布图可以看出，压强在圆柱表面是对称于 ， 轴的，因而沿圆柱表面积分而得的合力必然等于零。这一结论可以推广到任意形状的物体上去，故物体在理想流体中作等速直线运动时，所受到的阻力等于零，这就是著名的达朗贝尔佯缪。 工程流体力学工

13、程流体力学32【例5.4】密度为 的半直圆柱由于自重沉于水底，速度为 的均流绕过此半直圆柱，半直圆柱与河底面间有很小间隙，滞止压强是 ，如图5.11所示，求能使半直圆柱浮起的最小水流速度 。【解】 半直圆柱在均流中，其圆柱表面的压强为相对于无穷远处的相对压强为 工程流体力学工程流体力学33半直圆柱表面所受动压力在y轴分力的投影为 圆柱底平面处滞止压强 ，由拉格朗日方程 故圆柱底平面处受到动压力在y轴方向的投影为工程流体力学工程流体力学34圆柱体受到的重力W和表面上由于水深所致的压力差（浮力） 分别为 （方向向下） （方向向上） 根据题意，当半直圆柱刚能浮起时，水流的最小速度 应满足 即 解得

14、工程流体力学工程流体力学352.2.绕圆柱体有环量的流动绕圆柱体有环量的流动 当在均流中的无限长圆柱体绕本身轴线作定轴转动时，就形成绕圆柱体有环量的流动，如图5.12所示。流动的复势复速度以S点表示驻点，则驻点 的位置应满足下面的方程：工程流体力学工程流体力学U0图5.12 绕圆柱体有环量的流动36 驻点 的位置视环量 和均流速度 而定，有以下三种情况： （1）当 ，或 时： 令 ，所以驻点在圆柱上的A，B两点处，如图5.13（a）所示，若已知驻点在A，B两点，则环量 。（2）当 ，或 时： 此时 ，即 ，得 即两驻点A、B重合在同一点，且位于圆柱的下部，如图5.13（b）所示。工程流体力学工

15、程流体力学37（3）当 ，或 时： 令 ，得故 这两个分流点一个小于 ，另一个大于 ，小于 的在圆柱体内，不符合实际情况，不予考虑，而另一个驻点在圆柱之外，如图5.13（c）所示。 工程流体力学工程流体力学38将 代入，得圆柱表面的速度大小分布为 圆柱表面的速度：工程流体力学工程流体力学图5.13 不同环量的绕圆柱体绕流39作用在圆柱表面上的压强分布 圆柱表面上的压强因数 作用在圆柱上的压强合力 大小：如图（5.14）所示。 工程流体力学工程流体力学40而 称这个与来流方向垂直的力 为升力，用 表示，这与环量的存在有关。 升力的方向是来流速度方向逆环量的方向转过 ，即为升力 的方向，单位长柱体

16、上的升力大小始终为 ，这就是著名的儒可夫斯基定理。 马格纳斯（Magnus G）在实验中发现了侧向的升力，它使圆柱产生横向运动，这个现象后来被称为马格纳斯效应，工程上也有人称之为 效应。 工程流体力学工程流体力学41 足球运动员踢出旋转的球，其飞行轨迹是一条曲线，绕过对方的球员及守门员而飞入网内，这种球俗称“香蕉球”。 这种方法最关键在于根据物体边界形状，找一组适当的平面势流，使它们叠加后，在组合流场中存在着这种形状的流线。这是带有某种“凑合”尝试的方法，因而这种方法也称为奇点凑合法。 在上世纪初，曾在船上装置旋筒式推进器，以使船舶借助于一定的风向而前进，如图5.15所示。工程流体力学工程流体

17、力学42 流动的复势为以无穷远处来流速度U0的均流叠加强度为m放置于原点的源组成。即【例5.5】某山脉剖面如图5.16，若它的地形可近似用半无限物体来模拟，在风速U0=13m/s时，求（1）流动的复势、流函数和势函数；（2）山脉剖面轮廓线方程；（3）纵向流速等值线方程。 【解】 建立平面直角坐标系如图所示，原点在距离山脉底部A点 处。 工程流体力学工程流体力学43由于A点为驻点，故将 代入上式 即 而 其中 通过A点的流线方程为 ， ，将其代入上式，得 工程流体力学工程流体力学44由于当 ， 时，y=300 故（1）流动的复势速度势 （2）山脉剖面轮廓线方程为 或 流函数（3）纵向流速等值线方

18、程 由于工程流体力学工程流体力学45故纵向流速 即 等值线是圆心在y轴上的一系列圆。5.3.2 5.3.2 镜像法镜像法 在研究物体绕流时，除了被绕流物体之外，在流场中还有其他固体壁面（平面或曲面）存在，这时固体壁面对流动的影响将改变流动的边界条件，从而改变了绕物体流动的复势，解决这类问题镜像法可有效求解流场的复势。 工程流体力学工程流体力学461.1.镜像的定义镜像的定义 如图5.17所示，设以C为周界的区域D外存在着一组流体力学奇点S，若在D域内放置另一组奇点S后，组合流场中，周界C是一条流线，那么奇点S称为奇点S关于周界C的镜像。显然，由奇点S和S构成的组合流场的复势就是所求D域外流场的

19、复势。 2.2.圆定理（米尔圆定理（米尔汤姆逊圆定理）汤姆逊圆定理） 若在 的圆周之外无界流场中存在流体力学奇点，其复势已知为f(z)，则当流场中放入 的圆周固壁之后，流场的复势为工程流体力学工程流体力学SDCS图5.17 奇点及其影响47式中的记号 是指除z之外将f(z)中虚数单位i改为 。 现将坐标作旋转变换， 则 【例5.6】速度为U0，来流方向与x轴成 角的均流对半径为a的圆柱无环量绕流，求流动的复势 (图5.18)。【解】 方法一：对于来流方向与x轴平行的无环量绕流复势为工程流体力学工程流体力学48方法二 ：与x轴成角，大小为U0的均流，其复势为根据圆定理，对于 的镜像其复势 对于

20、之外的流场复势 工程流体力学工程流体力学49【例5.7】在速度为U0的均匀来流流场中，放置一个半径为a的圆柱，并在 和 点各放置一个强度相同，方向相反的点涡如图5.19所示，试求流场复势。 【解】 对于来流U0的无环量绕流，其复势对于两点涡，其复势为 根据圆定理，对于 的镜像，其复势 工程流体力学工程流体力学50两点涡在 之外的流场，其复势 所以，组合流场复势 【例5.8】在平面中有一半径为，圆心位于原点的圆柱面，在圆外 处（如图5.20）有一强度为m的源。试证明圆周外部流场的复势为 工程流体力学工程流体力学51证明：设在 点有一强度为m的源，此时复势为 若在流体中插入半径为的圆柱面，圆柱面外

21、部流场的复势 现讨论如下：如果取坐标如图5.20所示，使 在x 轴上， 离原点为b，则 , ,故工程流体力学工程流体力学52 上式最后一项为常量，可以省略。 上述复势由以下三个平面势流叠加而成： （1）位于 ，即 点强度为m的源； （2）位于 ，即 点对于以a为半径圆的反演点处强度为m的源； 工程流体力学工程流体力学53（3）位于原点，强度为m的汇。 通过以上讨论表明：为了保证圆柱面为一流线，即使得圆柱面上 。除了需在圆周内与 反演点处放置同等强度的源，同时还需在圆心处放置同样强度的汇，以保持圆周内部流体质量的平衡。3.3.平面定理平面定理 如果固壁边界是平面，一般有两种情况，第一种，y轴是固

22、壁，另一种，x轴是固壁。 （1）若在 的上半平面中存在流体力学奇点，其复势已知为f(z)，则当流场放入固壁y=0之后，上半平面流动的复势 工程流体力学工程流体力学54 （2）若在 的右半平面中存在流体力学奇点，其复势已知为f(z)，则当流场放入固壁x=0之后，右半平面流动的复势 镜像法的实质是寻找奇点关于边界的映象点，在相应的映象点上放置大小不变，但方向要变化的奇点，由这些奇点共同叠加的组合流场复势就能满足实际流动的边界条件。 【例5.9】在第一象限的 处放置一个强度为m的源（图5.21），求流动的复势和复速度。 工程流体力学工程流体力学55【解】 方法一： 本题流动区域是x=0和y=0两个平

23、面固壁为边界，需要分开考虑。 首先考虑y=0（即x轴）的流场，对于 处强度为m的源： 在将流场放入固壁y=0后，流动的复势 然后，再放入固壁x=0，流动的复势 工程流体力学工程流体力学56+常量 +常量 复势中的常量项对流场不起作用，可不予考虑。 复速度 工程流体力学工程流体力学57方法二： 如图522所示，在 关于x=0, y=0的镜像点放置强度为m的源。即在镜像 ， ， 处放置强度均为m的源。则组合流场的复势 工程流体力学工程流体力学585.3.2 5.3.2 共形映射法共形映射法 在复变函数中，解析函数的几何意义就是将一个平面通过解析函数关系映射到另一个平面，而这样的变换在所有解析函数导

24、数不为零的那些点处，都是保角变换（共形映射）。例如：翼型绕流通过共形映射可以变换为另一平面上的圆柱绕流，这里借助于复变函数中有关共形映射的方法，就可以很好解决大部分同类的问题。 工程流体力学工程流体力学59 在一个物理平面（z平面）上，设无穷远处速度为U0的均流绕经以C为周界的某物体（如图5.23），若存在一个解析函数 （它的反函数为 ），将周界C变换为映射平面（ 平面）上形状简单的周界 （如圆周等），并满足z平面上C周界外区域，单值保角映射到 平面上周界 外区域；且规定 对应于 ，则在映射平面 上形成了在无穷远处速度为 的均流绕经 周界的物体流动。若在映射平面上流动的复势 能找到的话，则 其

25、中， 就是在实际平面中要寻求的流动复势。这种方法就是共形映射法。 1.1.基本方法基本方法工程流体力学工程流体力学602.2.共形映射法的对应关系共形映射法的对应关系 由于在z平面和 平面上流动中存在着以下一一对应的关系： （1） 平面上的流线、等势线对应在物理平面上仍为流线和等势线，其中 平面上周界C流线对应于z平面上周界C流线。 工程流体力学工程流体力学61 （2）z平面上无穷远处均匀来流大小为U0，方向成 ，对应于 平面上无穷远处均匀来流的大小为 ，方向仍为 ，其中， 。 （3）在物理平面和映射平面上，绕某一封闭曲线的速度环量和流量之间存在一定的关系。 设 平面上绕曲线l的速度环量和流量

26、 在z平面上绕曲线l（l和l相互对应）的速度环量和流量因此 工程流体力学工程流体力学62 （4）在z平面上， 在 点上有奇点，则在 平面上，相应的对应点 上，相应的 也具有同样性质的奇点。 （5）在 平面上的流线与等势线，对应于 平面上仍为流线与等势线。 3.3.共形映射法的对应关系共形映射法的对应关系 环量的存在和大小的确定是根据库塔儒可夫斯基（KuttaJoukowsky）假定（简称KJ假定）来确定的。 在具有尖后缘翼形（或平板）的绕流中，当流动的冲角不足以大到发生严重流动分离时，翼型上下两股流动总是在尖锐后缘上汇合，而且在该处的流速为有限值，因此必定存在有环量，它的大小应能恰好使背面的后

27、驻点移到后缘，使得在尖后缘处流动的速度是有限值。工程流体力学工程流体力学63 这一假设就是著名的KJ假定，它是确定机翼绕流环量的依据。 在物理平面z上的周界C，通过变换函数 映射为 平面上的圆周 ，如图5.24所示，解得 当 满足上式时，在翼型后缘速度为有限值，这个式子是KJ假定条件的数学表达式。 工程流体力学工程流体力学644.4.翼型的几何参数翼型的几何参数 机翼或叶片的横剖面称为翼型。翼型的几何形状和几何参数决定着它的流动动力特性。翼型的几何参数包括： （1）弦长是指翼型的前缘（一般具有较小曲率半径）和后缘（尾部的一个尖点）连线（称翼弦）的长度，以 来表示， 如图5.25所示。 （2）翼

28、型厚度是指翼型的上下周线之间与翼弦垂直的直线段长度，以 表示。 工程流体力学工程流体力学65 （3）中线是指翼型各个厚度线段中点的连线，称为翼型的中线。而中线到翼弦的距离 称为翼型的弯度。 翼型采用如图5.25所示的坐标，机翼的长度称为翼展，用 l表示，翼展与弦长之比 称为展弦比，它是反映有限长机翼的几何特征的参数，一般的机翼。 5.5.儒可夫斯基变换儒可夫斯基变换 为求解翼型的几何和气动力特性问题，儒可夫斯基提出了一个变换函数为：式中c(翼型的半弦长)是实常数，其反函数为： 工程流体力学工程流体力学66儒可夫斯基函数的几何性质： （1）z平面上半宽长为c的直线段变换为 平面上半径为c的圆周（

29、图5.26）。工程流体力学工程流体力学67参数如下： （2）z平面上长、短半轴分别为 的椭圆变换为 平面上半径为a的圆周（图5.27）。 工程流体力学工程流体力学68 （3）z平面上圆弧翼变换为 平面上偏心圆周(图5.28)。 已知圆弧翼参数：弦长为2c，翼厚t。若映射圆的偏心距m=t ，或映射圆的圆心在 点，则映射圆的半径 工程流体力学工程流体力学69（4）z平面上对称机翼变换为 平面上偏心圆周(图5.29)。（5）z平面上儒可夫斯基机翼变换为 平面上偏心圆周（图5.30）。工程流体力学工程流体力学706.6.绕翼型的库塔绕翼型的库塔儒可夫斯基条件儒可夫斯基条件 实验表明，具有向上弯度的翼型

30、在沿翼弦方向向前做平移运动时，将产生向上的升力，这说明绕翼型产生了速度环量 ，这个环量是如何产生的，下面作一简单说明。 工程流体力学工程流体力学71 当机翼刚启动时，绕翼型流动是无环量绕流。这时后驻点在翼型的上表面B处，如图5.31(a)所示。下部流体将绕过尖锐尾缘A处时形成逆时针方向的尾部涡量。随着流体向下游运动，带动旋涡由翼型尾部脱落，这个涡称为起动涡。工程流体力学工程流体力学72 在流场中，包含机翼画一周界线ABCD，如图5.31(b)所示。根据环量守恒定理必定在翼型前部产生一个与起动涡大小相同，而方向相反的旋涡，这个旋涡称为附着涡。此附着涡就产生绕翼型的环量。 当翼型以速度 均匀运动时

31、，由KJ假定确定的环量为 ，则翼型升力由儒可夫斯升力定理为 。一般认为环量 与翼型形状和来流攻角有关。7.7.儒可夫斯基变换的应用儒可夫斯基变换的应用 应用儒可夫斯基变换是共形映射法求较复杂流动的复势常用方法之一，其解题步骤如下：（1）写出儒可夫斯基变换函数及其反函数。 工程流体力学工程流体力学73（2）求出满足KJ假定条件的速度环量 。 （3）写出映射平面绕圆柱绕流的复势。 （4）用 反函数代入上述的复势，得到实际平面上流动的复势。 【例5.10】将长2c的平板放置在速度为U0的均匀来流（图5.32）中，试求：（1）流场复势和复速度；（2）升力系数 。工程流体力学工程流体力学74【解】 儒可

32、夫斯基的变换函数为 ：其中c为平板长度的一半（z平面上）映射为半径为c的圆（平 面上），在z平面上无穷远处速度为U0，冲角 ，在平面上无穷远处速度为 ，冲角为 。 反函数为： 根据儒可夫斯基假定条件：后缘B点处速度为有限值，环量大小为（即顺时针方向） 工程流体力学工程流体力学75（1）在 平面绕半径为c的圆柱绕流复势为 将 代入上式，则物理平面上流动复势为工程流体力学工程流体力学76以 代入 ，其中常量项可以不计，故流动复势为 复速度 工程流体力学工程流体力学77（2）作用在平板上的升力大小 升力方向是U0方向逆时针转 即可。升力因数 【例5.11】如图5.33所示流场，应用儒可夫斯基变换求流

33、动复势 。【解】 由于x轴是条流线，本题为半无限平面流动，根据对称原理可视为绕长度为2l的竖直平板无限平面的均流。即图5.33(b)所示。 工程流体力学工程流体力学78由变换函数 将物理平面z变换成映射平面 ，平板映射为半径为l的圆，而m由下式求得：工程流体力学工程流体力学79在 平面上均流 ，如图5.33（c）所示。绕半径为l的圆柱的复势为 以变换函数的反函数 代入上式，得工程流体力学工程流体力学80即绕长度为l竖直平板的流动复势为 【例5.12】已知绕圆弧形段翼的平面流动，如图5.34，其中弦长为2 ，翼厚为t，来流的冲角为 ，无穷远处均流的速度为U0，流体密度为 ，求（1）流动的复势；（

34、2）速度环量 的大小和方向。 工程流体力学工程流体力学81【解】 儒可夫斯基变换函数为 将圆弧形段翼映射为半径为 ，圆心在 的偏心圆（ 平面），且在平面上来流 ，冲角为 。（1）在 平面上绕圆柱流动的复势为由于 ，故 工程流体力学工程流体力学82其中， 。（2）环量 的大小 其中 式中负号表示环量的方向是顺时针方向。工程流体力学工程流体力学838.8.施瓦茨施瓦茨克里斯托费尔（克里斯托费尔（SchwarzChristoffel） 变换（简称变换（简称S-CS-C变换）变换） 在自然流动中经常会出现许多由平壁组成的多角形区域（如图5.35），这时流动通常采用施瓦茨克里斯托费尔变换，将多角形区域映

35、射为半无限平面来解决。 工程流体力学工程流体力学84 设在z平面内有一个n角形，其外角分别是 （弧度）。SC变换函数是 式中A、B是复常数； 是实常数，它可将在z平面上一个n角形变换为 平面上的上半平面(如图5.36所示)。工程流体力学工程流体力学85在实际应用中要注意如下几点：多角形顶点 变换为 平面实轴上的点 ，其坐标是 。 （1） 和 排列顺序对应关系应符合边界与区域的对应关系，一般沿边界顺序行进区域始终保持在左边。 （2）两条平行线可以看作在无穷远处相交，其外角为 。 （3）在实际问题中，有时经常会遇到的多角形是变态多角形，如图5.36所示，在图中，它的顶点有一个或几个在无穷远，这时该

36、点在映射平面 上的对应点为实轴上的无穷远处，即 。工程流体力学工程流体力学86 （4）通常有 ，共n+2个常数，可以预先规定好 中任意的3个，其他则由边界条件来确定。 （5）对于外角 ，要注意正、负号，其中逆时针方向是“+”，顺时针方向是“”。 【例5.13】求图5.37中半无限长渠道内的流动复势和复速度。工程流体力学工程流体力学87【解】 利用施瓦茨克里斯托费尔变换，将图中z平面的半无限长区域映射到上半平面，其点的对应关系如下：0z坐标11坐标平面 外角z平面 工程流体力学工程流体力学88根据所对应的关系，SC变换式为 现来求待定常数A,B，用z平面中A2 , A3及 平面上 , 点的坐标代

37、入，得 解得 因此SC变换函数为工程流体力学工程流体力学89反函数为 它将半无限长渠道的边界变换为 平面上的实轴，渠道内的区域变换成 平面上的上半平面。 从图5.37可看出，在边界 中点，即 处有一强度为m的源，而该点在 平面上的上对应点是： 应用镜像法中平面定理，在该处再叠加一个强度为m的源。即在 平面上，在实轴 处有一强度为m的源，故上半平面流动的复势为 工程流体力学工程流体力学90在物理平面z中复势为复速度为【例5.14】求图5.38所示角域内的流动复势。 工程流体力学工程流体力学91【解】 利用施瓦茨克里斯托费尔变换，将图中z平面的角域，映射到上半平面，其各点对应关系如下：00平面坐标

38、外角z坐标z平面工程流体力学工程流体力学92根据所对应的关系，SC变换式为将z平面中 及 平面中 点的坐标代入上式，得并令 ，得SC变换函数为 或 它将z平面上角度为 的角形边界映射为 平面上的实轴，角形区域映射为 平面上的上半平面（本题中，仅由本角形域的三点就可以决定映射函数）。B=0工程流体力学工程流体力学93 在z平面 处有一点涡，强度为 ，则相当在 平面上 处有一强度为 的点涡。 上半平面 平面上的复势，应用镜像法中平面定理，在 处放一强度为 ，转向相反的点涡，其复势在物理平面中复势为工程流体力学工程流体力学94【例5.15】用施瓦茨克里斯托费尔变换求解例5.11题。【解】 利用施瓦茨

39、克里斯托费尔变换，将图5.39中z平面的区域映射到 平面上半平面，其各点的对应关系如下：工程流体力学工程流体力学95+l00l 坐标 平面 外角00z坐标z平面1A根据所对应的关系，SC变换式为工程流体力学工程流体力学96当 时， ，得 ；当 时， ，得 ；则SC变换函数为或 平面在上半平面流动的复势z平面的流动复势工程流体力学工程流体力学975.4 5.4 作用在物体上的力和力矩作用在物体上的力和力矩 在讨论绕圆柱有环量流动时，通过以下步骤求得圆柱上受到的力： （1）求出绕流复势； 这里介绍一种更为简便的公式，只要求出某物体的绕流复势，就可以用以下定理计算流体作用在物体上的力和力矩。 （2）

40、由复势求出速度分布； （3）由速度分布按拉格朗日方程写出压强分布； （4）将压强沿圆柱表面积分便可解得圆柱上受到的力，这种方法也适用于其它形状的物体。工程流体力学工程流体力学985.4.1 5.4.1 布拉休斯布拉休斯（Blasius）定理定理 1.1.作用在物体上的力作用在物体上的力 有一物体，其周界为C，现来讨论绕该物体流动时，物体受到的力（图5.40）。若流动的复势为 ，那么该物体受到流体对它的作用力为工程流体力学工程流体力学99 称为物体受到的共轭复力，其实部是 在x轴上的投影 ，虚部的负数是 在y轴上的投影 ； 是流体的密度； 是复速度。上式称为布拉修斯第一公式。2.2.作用在物体上

41、的力矩作用在物体上的力矩 设作用在物体上的力为 ，作用点在 点，以坐标原点O为矩心， 对O点的力矩为 是上述积分的结果取实部。上式称为布拉修斯第二公式。工程流体力学工程流体力学1005.4.1 5.4.1 布拉休斯定理的应用布拉休斯定理的应用 布拉休斯定理可用来求解任意形状物体的绕流作用力和合力的作用点，特别是物体在非均流中。【例5.16】在实轴 处有一强度为m的源，在原点处放置半径为a的圆柱 ，如图5.41所示。试求：（1）圆柱附近处流动的复势；（2）圆柱受到的作用力。工程流体力学工程流体力学xyaOmb图5.41 圆柱在非均匀流中101【解】 (1)源的复势为 由圆定理，流场的复势为 工程流体力学工程流体力学102在复势中常数项 可以略去。 上述复势可看作强度均为m的 处源、 处源和 处汇简单势流的组合。（2）复速度 根据布拉修斯第一公式，作用在圆柱上的共轭复力为 工程流体力学工程流体力学103根据留数定理，上述复变函数的积分解得为故 结果表明，放置在非均匀流中的圆柱是受到流体作用力的，即达朗贝尔佯缪未必成立。工程流体力学工程流体力学104第5章 结束工程流体力学工程流体力学105