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1、14.2 14.2 乘法公式乘法公式1 .1 .平方差公式平方差公式学习目标学习目标: :1 1、会推导平方差公式，并且懂得运用、会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算平方差公式进行简单计算. .2 2、经历探索特殊形式的多项式乘法的、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展符号感和推理能力，使学过程，发展符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式生逐渐掌握平方差公式. .学习重点：学习重点：平方差公式的推导和运用，以及对平平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解方差公式的几何背景的了解. .学习难点：学习难点：平方差公式的应用平方差公式的应用. . 老王在某开发
2、商处预定了老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说：“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何？”老王老王一听觉得没有吃亏，就答应了。 5米5米x 米(X-5)米(X+5)米？你认为老王吃亏了吗？你认为老王吃亏了吗？x 米(X-5)米(X+5)米x(x+5)(x-5)(x+5)(x-5)=X2-5x+5x-25=X2-25多项式乘多项式法则多项式乘多项式法则 ： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 是亏还是赚是亏还是赚？开发商很开发商很黑心，亏黑
3、心，亏了了 25m2（a b)( a b）=a2 ab + ab b2=a2多项式与多项式是如何相乘的？多项式与多项式是如何相乘的？(a+b)(m+n)=am+an+bm+bnb2 平方差公式平方差公式 证明：证明：(a+b)(a-b) 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.（多项式乘法法则）（多项式乘法法则）（合并同类项）（合并同类项） 注：注：这里的这里的a、b可以是两个可以是两个单项单项式，式，也可以是两个也可以是两个多项式多项式即：即： （a+b)(a-b)探探 究究 平方差公式平方差公式即：即： （a+b)(a-b)两数之和乘以差，结果两数平方
4、差两数之和乘以差，结果两数平方差。平方差公式的特点：平方差公式的特点：一同一反，一同一反， 平方相减平方相减 平方差公式平方差公式即：即： （a+b)(a-b)平方差公式平方差公式的特点：的特点：平方差，有特点；平方差，有特点；一项同号一项反；一项同号一项反；异号跟在同号后；异号跟在同号后；两数平方来相减。两数平方来相减。ba请问你有几种方法求红色部分面积？请问你有几种方法求红色部分面积？自主探究自主探究aba长方形的面积长方形的面积=(a+b)(a-b) 剩下的面积剩下的面积=a2-b2bba自主探究自主探究4.巩固平方差公式课本P108 例例 1 计算：计算：（1）(3x+2)(3x-2)
5、 （2）(-x+2y)(-x-2y)解：解：(1) (3x+2)(3x-2) = (3x)2-22 = 9x2-4(a + b) (a-b) = a2 b2解：解：(2) (-x+2y)(-x-2y) = (-x)2-(2y)2 = x2-4y2(a + b) (a-b) = a2 b2(1) (a+b)( ab) ； (2) (ab)(ba) ;(3) (a+2b)(2b+a); (4) (ab)(a+b) ;(5) ( 2x+y)(y2x). ( (不能不能) ) 下列式子可用平方差公式计算吗下列式子可用平方差公式计算吗? ? 为什么为什么? ? 如果能够，如果能够，怎样计算怎样计算? ?
6、 (第一个数不完全一样第一个数不完全一样 ) ( (不能不能) ) ( (不能不能) ) ( (能能) ) (a2 b2)= = a2 + b2 ;(不能不能) 拓展练习拓展练习典典例例分分析析例例2 2 计算计算: :(1) 102(1) 10298;98;(2) (y+2)(y-2)(2) (y+2)(y-2)(y-1)(y+5) .(y-1)(y+5) .解解: (1) 10298=(100+2)(100-2)= 1002-22=10 000 4 = 9 996.(2)(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5) = y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = -
7、4y + 1.1.计算计算 20042 20032005;解：解： 20042 20032005= 20042 (20041)(2004+1)= 20042 （2004212 )= 20042 20042+12 =1例例3 3：利用平方差公式计算：利用平方差公式计算: :（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解解:原式原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16 典例分析：典例分析：试一试试一试: : （ ) (x(x4 4+y+y4 4) )(x(x4 4+y+y4 4) )(x(x4 4+y+y4 4) )1.1.已知已知x x2 2-y-y2 2=8=8，x-y=4x-y=4，求，求x+
8、yx+y的值。的值。2 2. .（2 21 1）（）（2 22 21 1）（）（2 24 41 1）能否用平能否用平方差公式进行计算？如能，还需创造什方差公式进行计算？如能，还需创造什么条件？么条件？无中生有无中生有 3 3. .( (威海威海中考中考) )已知已知a-b=1,a-b=1,则a a2 2b b2 22b2b的的值为( ) ( ) A A4 4 B B3 3 C C1 1 D D0 0 【解析解析】选选C.C. a a2 2b b2 22b2b =(a-b)(a+b)-2b =(a-b)(a+b)-2b =a+b-2b=a-b=1. =a+b-2b=a-b=1.【课课堂堂检测检测
9、】中考接轨中考接轨4 4（湖州（湖州中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_【解析】【解析】图甲的面积图甲的面积= =（a+ba+b）(a-b)(a-b)，图乙的面积，图乙的面积=a(a-=a(a-b)+b(a-b)=ab)+b(a-b)=a2 2-ab+ab-b-ab+ab-b2 2=a=a2 2-b-b2 2. .答案答案: :（a+ba+b）(a-b)=a(a-b)=a2 2-b-b2 2 【课课堂堂检测检测】中考接轨中考接轨5.5.化简：化简：(
10、x-y)(x+y)(x(x-y)(x+y)(x2 2+y+y2 2)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616).).原式原式= =（x x2 2-y-y2 2 )( x)( x2 2+y+y2 2)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )= =（x x4 4-y-y4 4)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )= =（x x8 8-y-y8 8)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y161
11、6) )=(x=(x1616-y-y1616)(x)(x1616+y+y1616) )= x= x3232-y-y3232. .【解析解析】【课课堂堂检测检测】中考接轨中考接轨给出下列算式给出下列算式: 3212=8 =81； 5232=16=82； 7252=24=83； 9272=32=84. （1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？ 。 （2）用含用含n的式子表示出来的式子表示出来 （n为正整数）为正整数）. （3）计算计算 2005220032= 。 此时此时n = . 连续两个奇数的平方差是连续两个奇数的平方差是8 8的倍数的倍数. .（2
12、n+1)2 (2n1)2=8n80161002提示提示:根据根据2005=2n+1或或2003=2n-1求求n科学探究科学探究 (a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反为相反为b小结小结 相同为相同为a 适当交换适当交换合理加括号合理加括号平方差公式平方差公式 平方差公式平方差公式即：即： （a+b)(a-b)两数之和乘以差，结果两数平方差两数之和乘以差，结果两数平方差。 平方差公式平方差公式即：即： （a+b)(a-b)平方差公式平方差公式的特点：的特点：平方差，有特点；平方差，有特点；一项同号一项反；一项同号一项反；异号跟在同号后；异号跟在同号后；两数平方来相减。两数平方来相减。小小结
13、结作业：作业：1 1、教科书习题、教科书习题14.214.2第第1 1题题2 2、先化简，再求值。、先化简，再求值。【其中其中a=-1a=-1，b=1 b=1 】3 3、先化简，再求值。、先化简，再求值。【其中其中 】4 4、先化简，再求值。、先化简，再求值。【其中其中 】 平方差公式平方差公式即：即： （a+b)(a-b)两数之和乘以差，两数之和乘以差，结果两数平方差。结果两数平方差。两个数，平方差，两个数，平方差，两数之和乘以差。两数之和乘以差。顺着看：顺着看：反过来：反过来：小小结结1.1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是的是( )( )（1
14、1）( (x x+1)(1+1)(1+x x) ) （2 2）( (a a+ +b b)()(b ba a) )； （3 3）( (a+b)(aa+b)(ab)b)（4 4）(x(x2 2y)(x+yy)(x+y2 2) )； （5 5）( (a ab)(ab)(ab)b)；（；（6 6）(c(c2 2d d2 2)(d)(d2 2+c+c2 2). ). （2 2）（）（5 5）（）（6 6）【课后检测课后检测】2.2.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：原式原式=(-2y-x)(-2y+x)=(-2y-x)(-2y+x) = 4y = 4y2 2x x2 2. .【解析解析】原式原式=
15、(5+2x)(5-2x)=(5+2x)(5-2x) = 25 = 254x4x2 2. .【解析解析】 【课后检测课后检测】【解析解析】原式原式=(x+6)-(x-6)(x+6)+(x-6)=(x+6)-(x-6)(x+6)+(x-6) = (x+6-x+6)(x+6+x-6) = (x+6-x+6)(x+6+x-6) =12 =122x=24x.2x=24x.注：平方差公式的逆用注：平方差公式的逆用 a a2 2b b2 2 = = (a+b)(a(a+b)(ab)b)【课后检测课后检测】【解析解析】原式原式=(0.5-x)(0.5+x)(x=(0.5-x)(0.5+x)(x2 2 +0.2
16、5) +0.25) =( 0.25 =( 0.25x x2 2)( 0.25+x)( 0.25+x2 2) ) =0.062 5 =0.062 5x x4 4. .（5 5）100.5100.599.5.99.5.【解析解析】原式原式=(100+0.5)(100-0.5)=(100+0.5)(100-0.5) =10 000-0.25 =10 000-0.25 =9 999.75. =9 999.75.【课后检测课后检测】1 1（眉山（眉山中考）下列运算中正确的是中考）下列运算中正确的是（ ）A A B B C C D D【解析解析】选选B. B. 在在A A中中3a3a2a2a5a5a；C C中中 ；D D中中 . . 【课后检测课后检测】中考接轨中考接轨原式原式=(100-1)(100+1)=(100-1)(100+1)1000110001 =(10 000-1)(10 000+1) =(10 000-1)(10 000+1) =100 000 000-1 =100 000 000-1 =99 999 999. =99 999 999.4.计算计算 999910110110001. 10001. 【解析解析】【课后检测课后检测】中考接轨中考接轨
