《2022年勾股定理中考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年勾股定理中考（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、涉及勾股定理的中考题精选勾股定理是我国数学史上的一颗璀璨夺目的明珠，有着丰富的文化价值，在西方又被称为毕达哥拉斯定理，我国著名数学家华罗庚教授曾把它喻为地球人与“外星人”交流的语言， 勾股定理还被人们誉为“千古第一定理” ，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，可以解决许多直角三角形中的计算与证明问题，现实生活中仍有着极为广泛的应用。在这里将近几年的中考试题送上几例，供同学们学习参考。一、逆向思考型例 1（2005 年呼和浩特市）如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD、EF、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）（A） CD、EF、GH （ B）AB 、 E
2、F、GH （C） AB 、CD 、GH （ D）AB 、 CD、EF 图 1 解： 在 RtEAF 中， AF=1 ， AE=2 ，根据勾股定理，得EFAEAF2222215同理ABGHCD2 2132 5，计算发现()()()52 213222，即ABEFGH222，根据勾股定理的逆定理得到 AB 、EF、GH 为边的三角形是直角三角形。故选（B） 。二、探索规律型例 2（2005 年广州市） 如图 2，设四边形ABCD 是边长为1 的正方形， 以正方形ABCD的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ， 再以第二个正方形的对角线AE 为边作第三个正精选学习资料 - - - - - - -
3、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页方形 AEGH ，如此下去。（ 1）记正方形ABCD的边长a11，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，aaaaaan34234，求出，的值。（2）根据以上规律写出第n 个正方形的边长an的表达式。图 2 解： （ 1）因为四边形ABCD 为正方形，图形中有多个等腰直角三角形所以根据勾股定理ACABBC222同理 AE=2 ，EH2 2因为aaaa10213243122222 22()()()()，（2）根据以上规律，第n 个正方形的边长annn()211（）（ n 是自然数）三、展面助解型例 3（2005 年安徽省芜湖
4、市）如图31 所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图32 所示。已知展开图中每个正方形的边长为1。（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中BAC 与平面展开图中B A C的大小关系？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页图 3 1 解： （1） 在平面展开图中可画出最长的线为10。 如图 3 2 中的A C， 在 RtA C D中因为C DA D13，由勾股定理得：A CC DA D221910答：这样的线段可画4 条（另三条用虚线标出）图 3 2 （2）因为
5、立体图中BAC 为平面等腰直角三角形的一锐角，所以BAC=45 。在平面展开图33 中，连接线段B C（如图3 4） ，由勾股定理可得：A BB CA BB CA C55222，又因为由勾股定理的逆定理可得A B C为直角三角形又因为A BB C所以A B C为等腰直角三角形所以B A C45所以 BAC 与B A C相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页四、观图解答型例 4（2005 年温州市）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、 3，正放置的四个正方形的面
6、积依次是SS12、SSSSSS341234、，则=_ 。图 4 解：S1代表面积为S1的正方形的边长的平方，S2代表面积为S2的正方形的边长的平方，又SS12代表斜放置的正方形1 的边长的平方和，故SS12=斜放置的正方形1 的面积；同理SS34=斜放置的正方形3 的面积；所以SSSS123413。五、折叠构造型例 5（ 2004 年江苏省无锡市）如图5，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交AD 于 E，交 BC 于 F，边 AB 折叠后与BC 边交于点G。（1）如果M 为 CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM=3 ： 4： 5。（2）如果 M 为 CD
7、 边上的任意一点，设 AB=2a ，问 CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把CMG 的周长用含DM 的长 x 的代数式表示；若无关，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页图 5 解： （ 1）由折叠知，EM=EA ，设 CD=2a 所以DEaEMDMa2，在 RtEDM 中，EMDEDM222所以EAaEAa2222()解得EAa54所以EDa34所以DEDMEMaaa： ：3454345。（2） CMG 的周长与点M 在 CD 边上的位置无关。由折叠知，EM=EA ， EMG= A=90 ，
8、设 DM=x ， DE=y 。所以EMEAay2在 RtEDM 中，xyay2222()所以yaxa4422又易证得EDM MCG 所以EDMCEMMGDMCG所以EDEMDMMCMGCGEDMC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页所以yayxCMGyax()22周长所以 CMG 的周长()()224axaxya（定值）六、剪拼操作型例 6（ 2003 年山东省烟台市） （ 1）四年一度的国际数学家大会于2002 年 8 月 20 日在北京召开。大会会标如图6 甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个
9、大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。（2）现有一张长为6.5cm 、宽为 2cm 的纸片，如图6 乙，请你将它分割成6 块，在拼合成一个正方形。（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）图 6 解： （1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为ab。由题意得ab5由勾股定理，得ab22132得212ab所以()ababab222213121即所求的中间小正方形的面积为1 （2）所拼成的正方形的面积为652132.()cm，所以可按照图甲制作。精选学习资料 - - - - - - - - -
10、 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页由得ab1由、组成方程组解得ab32，结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm 的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为1312324131212()cm，恰好等于中间的小正方形面积。于是，得到以下分割拼合方法：图 7 七、阅读理解型例 7（ 2005 年山西省临汾市）阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又被称为“毕达哥拉斯定理” 。关于勾股定理的研究还有一个
11、很重要的内容是勾股数组，在几何课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数成为勾股数”。以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数的两组方法：方法 1：若 m 为奇数（m3） ，则 a=m， b12112122()()mcm和是勾股数。方法 2：若任取两个正整数，m 和 n（ mn） ，则amnbmn222，cm2n2是勾股数。（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c 为边长的ABC 是直角三角形。（2）请根据方法1 和方法2 按规律填定下列表格：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页（3）某园林
12、管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图8 所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1 米，如果每个三角形最短边上都植6 棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树 _ 棵。图 8 解： （ 1）选方法1：因为ambmcm，12112122()()所以abmm22222121()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页mmmmmmmmmmmmm22224224242422214114211412141412141421141()()()()cmm2222
13、2121141()()所以abc222故根据勾股定理的逆定理得到以a、b、c 为边长的ABC 是直角三角形。（2）根据方法1 可填：勾7、股 24、弦 25 和勾 9、股 40、弦 41。根据方法2，当 m=5， n=2 时， a、 b、 c 分别可填；21、 20、29。当mn51，时， a、 b、c 分别可填：24、 10、26。（3）因为相邻两树间的距离均为1 米，每个三角形最短边上都植6 棵，这 6 棵中包括两端的 2 棵，去掉1 棵，最短边应为5 棵，其余两边分别为12 棵、 13 棵。该图案由四个全等的直角三角形组成，共需植树451213120()棵。八、类比猜想型例 8（2005
14、 年山东省临沂市）ABC 中， BC=a，AC=b ，AB=c ，若 C=90 ，如图9（1） ，根据勾股定理，则abc222。若 ABC 不是直角三角形，如图9（ 2）和 9（3） ，请你类比勾股定理，试猜想ab22与c2的关系，并证明你的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页图 9 解： 若 ABC 是锐角三角形，则有abc222若 ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有abc222当 ABC 是锐角三角形时图 10 证明： 过点 A 作 AD BC ，垂足为D，设 CD 为 x，则有BDax根据勾股定理，得bxADcax22222()即bxcaaxx222222所以abcax2222因为 a0， x0，所以20ax所以abc222当 ABC 是钝角三角形时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页图 11 证明： 过 B 作 BDAC ，交 AC 的延长线于D。设 CD 为 x，则有BDax222根据勾股定理，得()bxaxc2222即abbxc2222因为 b0， x0 所以 2bx0 所以abc222精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
