《2022年连加连减导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年连加连减导学案（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载课题 6：连加、连减【导学目标】1.通过同学间的交流掌握用竖式连写的方法会正确计算三个数的加、减法。2.培养学生认真、细致的计算习惯。3.巩固 100 以内的加、减法。【导学重点】1.使学生掌握用竖式连写的方法会正确计算三个数的加、减法。2.培养学生认真、细致的计算习惯。【导学难点】1.应用题的多种解。2.连加连减的竖式计算方法。【导学过程】一、学前导学1.预习课本 27页。在 27 页例 1 图中你看到了什么？可以提出什么数学问题？27页例 2 讲了什么？你能解决这个问题吗？二、探究活动（一）独立思考，解决问题连加教学1.交流：在 27页例 1 图中你看到了什么？可以提出什么
2、数学问题？怎样解答？2.选出问题：一共摘了多少个南瓜？学生尝试计算。3.小组讨论（1）怎样列式？这种算式我们又叫什么算式? （2）你是按什么顺序计算的 ?竖式是怎样列的 ? （3）你能不能把两个竖式连成一个竖式呢? 4.全班交流并总结。5.把两个竖式连成一个竖式有什么好处? （二）师生探究，合作交流连减教学1.交流：例 2 讲了什么？怎样解决这个问题？2.学生尝试计算。3.小组交流（1）怎样列式？这种算式我们又叫什么算式？（2）你是按什么顺序计算的？竖式是怎样列的？（3）你能不能把两个竖式连成一个竖式呢？4、全班汇报并总结。三、巩固练习，实践应用1.课本 28 页“做一做”，比一比看谁做得又对
3、又快。2.课本 29 页练习五第 1.2.3题,。课题 7：加减混合【导学目标】1.使学生探索并初步掌握100以内数的加减混合的方法。2.发展学生解决简单实际问题的意识和能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页学习必备欢迎下载【导学重点】初步掌握 100 以内数的加减混合的顺序以及方法。【导学难点】能正确的使用竖式计算加减混合运算式题。【导学过程】一、学前导学1.预习课本 28页。在 28 页图中你看到了什么？有哪些已知条件？可以提出什么样的问题怎样解答？二、探究活动（一）独立思考，解决问题1.小组交流：在28 页
4、图中你看到了什么？有哪些已知条件？可以提出什么样的问题怎样解答？2.全班汇报。（二）师生探究，合作交流1.选出问题：现在车上有多少人？2.可以怎样列式？说一说这样列式的理由。 （学生可以列出两种不同的算式）3.选择你喜欢的算式尝试计算。4.小组讨论（1）你选择的是哪个算式：（2）你是按什么顺序计算的？竖式是怎样列的？（3）你能不能把两个竖式连成一个竖式呢？5.全班汇报并总结。三、巩固练习，实践应用1.男女生比赛完成课本28 页“做一做”。2.课本 29 页练习五第 4、5 题。课题 8：加、减法估算【导学目标】1.使学生能结合具体情境进行加、减法估算，并说明估算的思路。2.培养学生的估算意识和
5、能力，培养数感，体会算法多样化的思想。【导学重点】学生能结合具体情景进行加、减法估算，并说明估算的思路。【导学难点】探究加减法估算的方法，初步形成估算的技能。【导学过程】一、学前导学1.找一找，生活当中哪些情况不需要进行精确计算，只要计算出大致结果就可以了。2.第 32 页例 5的图讲了什么？你能口算出男生有多少人吗？二、探究活动（一）独立思考，解决问题1.贴近生活，感受估计猜价格游戏，学校买回一些运动器材，请大家猜猜价格。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页学习必备欢迎下载出示：羽毛球拍、篮球、呼拉圈图和价格。猜羽
6、毛球拍的价格：学生第一次猜价格（学生是乱猜） 。师：透露一点，接近30 元。学生第二次猜测： 29、28、27、31.32? 师：大家猜得都很有道理，这些数都接近30，我们说它大约是30 元，这个羽毛球拍的价格是 28 元。猜篮球的价格：大约是40 元，让学生猜（猜中后出示43 元） 。猜呼啦圈的价格：大约是20 元，猜价格。如果这三样体育用品各买一个大约要带多少钱呢？说一说：生活当中哪些情况不需要进行精确计算，只要计算出大致结果就可以了。2.揭示课题：在日常生活中，有时不需要进行精确计算，只要估算出大致的结果就可以了。在估算时，我们可以把一些几十几的数看成整十数，如71 看作 70，53 看
7、作 50，88 看作 90，算出大约的数，可以更简洁、迅速的解决一些问题。今天我们就来学习加减法估算。（二）师生探究，合作交流1.亲身体验，体会估算的必要性。师：同学们喜欢逛商场吗？昨天妈妈带小明也去了商场，准备买这些生活用品。出示图画：热水瓶28 元；烧水壶 43元；水杯 24 元，妈妈问小明带100 元钱够吗？大家帮帮小明好吗？你是怎样想的。根据学生的反应，教师点拨：一种是估算，一种是用笔计算，还有的同学口算，在没有让你们算出准确数量的情况下，你们觉得哪一种方法更快、更简便？（让学生用自己喜欢的方法去进行判断，通过实际体验， 集体讨论， 感受估算的必要性。 ）2.多种策略进行估算。现在结合
8、以前学过的知识请大家估计一下，妈妈带100 元钱够买这三种用品吗？先独立思考，再小组交流，看哪个小组想的办法多？全班汇报：（这里教师根据可能出现的估算方法加以点拨，引导学生解释估算的过程，让学生之间相互补充，明确估算策略。）3.如果我想知道我们估算的是否合理，可以怎样检验呢？（笔算验证）三、巩固练习，实践应用1.课本 32 页“做一做”。2.课本 32 页练习六第 14 题。四、变式练习，扩展提高。1.估算参加运动会的人数我们学校马上要开运动会了，为了保证运动会能正常进行，顺利召开， 教师们正在进行积极的准备工作。这是我们二年级参加比赛的人数。出示：跑步的 38 人；打球的 29 人；转呼啦圈
9、的 22 人。你从图中得到了哪些数学信息？每一个运动员都有一个参赛号码布，现在有61 个号码布。请你帮老师们估算一下够用吗？为什么 ? 2.估算转呼啦圈的个数。师：有个叫小亮的小朋友他报的项目是转呼啦圈，这一段时间来他在练习转呼啦圈。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页学习必备欢迎下载出示：小亮计划三天转100 个；昨天转了 29 个；今天要转 42个、两天大约转了（）个。小亮第三天大约还要转（）个。3.比赛结束后，为了表彰这次运动员出色的表现，我们班准备用60 元钱的班费作奖金。可这些运动员不仅爱体育， 为我们班赢
10、得了荣誉， 而且也非常的有爱心，他们说要用这 60 元奖金去买一些礼品送给孤儿院的小朋友们。送些什么好呢：让我们一起去商店看看吧。出示货架： 12 元的奶粉、 19 元的书、 24 元的书包、 11 元的钢笔、 19 元的羽毛球拍、 38 元的玩具，分小组设计购物方案。课题 9：整理和复习【导学目标】1.帮助学生进一步巩固100 以内数的加减法，提高计算的正确率。2.通过练习，培养学生提问题的意识和能力，以及解决实际问题的能力。3.培养学生分析、概括、和运用知识的能力。【导学重点】1.复习和总结笔算加减法的计算方法。2.通过练习，培养学生提问题的意识和能力，以及解决实际问题的能力。【导学难点】
11、1.进一步巩固 100以内数的加减法，提高计算的正确率。2.能灵活运用笔算加减法解决问题。【导学过程】一、学前导学口算。 P35例 2 学生独立完成，校对答案并说说计算方法。二、探究活动（一）独立思考，解决问题1.整理。学生在小组内交流笔算加减法的计算方法。归纳、笔算加法、相同数位对齐、从个位加起， 也可从十位加起， 个位满十、 向十位进一。 笔算减法，相同。数位对齐，从个位减起，个位不够减，向十位退一。学生独自思考笔算加减法的的相同点和不同点， 以及容易出错的地方。 在小组内交流想法： 教师引导学生整理汇报。（二）师生探究，合作交流尝试编题，抽象法则1.师：谁能分别编一道进位加、不进位加、退
12、位减和不退位减的算式学生针对每种类型分别编题教师板书。2.让学生把编出的题目进行计算。3.师：笔算加法时应注意什么？减法呢？它们共同的地方是什么？不同的又是什么？指名答。教师把要点写在黑板上。师：同学们说得非常正确。 那我们在计算的时候， 哪位同学还有特别提醒同学们注意的地方学生自由发表想法。三、巩固练习，实践应用1.完成课 36页 15 题。2.课本 37 页练习七第 8 题。知识链接精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页学习必备欢迎下载和都是 100 下面 4 道加法竖式计算题，把数字17 填进去以后，虽然填法不同
13、，但结果都等于 100。你会填吗？试试看！参考答案（1）14425765100（2）2416375100 （3）2631754100（4）2415673100 从一加到一百高斯有许多有趣的故事， 故事的第一手资料常来自高斯本人，因为他在晚年时总喜欢谈他小时候的事， 我们也许会怀疑故事的真实性， 但许多人都证实了他所谈的故事。高斯的父亲作泥瓦厂的工头， 每星期六他总是要发薪水给工人。在高斯三岁夏天时，有一次当父亲正要发薪水的时候，小高斯站了起来说：“爸爸，你弄错了。”然后他说了另外一个数目。 原来三岁的小高斯趴在地板上， 一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱。 重算的结果证明小高斯是对的，这把
14、站在那里的大人都吓得目瞪口呆。高斯常常带笑说， 他在学讲话之前就已经学会计算了，还常说他问了大人字母如何发音后，就自己学着读起书来。七岁时高斯进了 StCatherine小学。大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题： “把 1 到 100的整数写下来， 然后把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板（当时通行，写字用）面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个一个摞起来。 这个难题当然难不倒学过算数级数的人，但这些孩子才刚开始学算数呢！ 老师心想他可以休息一下了。 但他错了，因为还不到几秒钟， 高斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：“答
15、案在这儿！”其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意。考完后，老师一张张地检查着石板。大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打。最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案） 。老师吃了一惊，高斯就解释他如何找到答案：1100101，299101，398101，4952101，5051101，一共有 50 对和为 101 的数目，所以答案是 501015050。由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然后就像求得一般算术级数和的过程一样，把数目一对对地凑在一起。只有“ 21=3”的一封信19 世纪，德国
16、有一位数学家、柏林大学教授狄利克雷（PGLDirichlet ，1805-1859） 。他生于一个德国与法国血统的家庭，说一口流利的德法两种语言，后来成为这两个民族之间数学交流的纽带。狄氏自幼酷爱数学， 在大学里他是数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页学习必备欢迎下载学权威高斯的学生。他对老师十分尊重和钦佩，可谓尊师重教的典范。平时，在他身上总是带着高斯的名著算术研究一书，即使出外旅行也不例外。他花了许多时间和精力对老师的这部著作进行整理、研究， 作出了一些创造性的新成果。因为高斯的这部著作理深词简， 知之者希，以
17、致学术界对这部超时代的著作难以全懂而采取敬而远之的态度。 经狄氏针对这部著作出版了他最精彩、通俗的佳品数论讲义一书以后，才使老师的著作广为流传。有一天，德国哥廷根大学举办高斯获博士学位50 周年庆典，庆典上高斯竟用算术研究的一页手稿点烟斗。坐在不远的狄氏发现后象犯了渎圣罪一般吃了一惊，眼疾手快地一个箭步冲向恩师，从高斯手上抢过这一页手稿，视为至宝，终生珍藏。当时很有名气的狄氏就是这样尊敬和热爱自己的老师及其著作的。狄利克雷一生热心于数学事业， 他如痴如醉地潜心研究数学， 凝神苦思深奥的数学问题，忘记自己和家庭的存在，不讲究吃喝穿戴，极少过问家里的事情，对孩子也只有数学般的刻板。因此，他的儿子常
18、常抱怨地说：“啊，我的爸爸吗？他什么也不懂。”和他生活在一起的调皮侄子风趣地说： “我六七岁时， 从我叔叔的数学健身房里所受到一些指教，是我一生中最可怕的回忆。”数学家狄利克雷， 终日伏案， 纵笔写论文， 实在是舍不得花一点时间去研究数学以外的事， 甚至有这样的传说： 他的第一个孩子出生时， 在向岳父母报喜的一封信里，他只写了一个式子“21=3”作为这封信的全部内容。今天看来， 狄氏钻研数学的这种精神可嘉，但其做法不全可取， 因为在当今多元化社会，文理兼优才能相得益彰。数论上的“ 12”问题我国著名数学家陈景润（19331996） ，出生于福州市。在家里排行老三，母亲生了 12 个孩子，只有
19、6 个存活下来。 据陈景润回忆说：“在家里我是一个多余的孩子，在学校是一只丑小鸭。但我觉得，一个人不在于外表怎样，而在于志向的高下。 ” （ 工人日报 1989 年 12 月 18 日）陈景润从小喜欢数学，抗日战争时期升入初中的时候，从远方的沦陷区搬迁到福州的大学教师也在这个学校兼点课。他特别喜欢两个兼课的数理老师。老师也喜欢他学习善动脑筋。陈景润在读高中时， 教他的数学老师沈元是当时清华大学航空系的系主任（现为北航教授）。沈老师知识渊博，诲人不倦。有一天，沈老师向全班学生讲了哥德巴赫（ CGoldbach，16901764）的故事：“1742 年，德国数学家哥德巴赫写了一封信给著名数学家欧拉
20、， 提出了一个难题。 他发现每一个偶数（除 2 以外）都可以写成两个素数的和（简称为“11” ） ，如 4=22， 6=33， 8=53，10=73，。欧拉想了许久没有解决。 有人对一个一个的偶数进行了这样的验算，一直验算到三亿三千万都表明是对的。但是更大更大的数目呢？猜想起来也是对的，猜想应当证明，要证明却是很难很难的。二百多年过去了，至今尚未解决，”接着沈老师笑着说：“我有一天夜里，梦见我的一个学生证明了这个哥德巴赫猜想。 ”同学们听罢都笑了，只有陈景润一人没有笑。陈景润把这个故事深深地记在心里，为解决这个难题，他坚持不懈地计算了20多年，于 1966 年 5 月在科学通报第17 期上证明
21、了“ 12”问题，就是说：任何一个大偶数等于一个素数与另一个不超过两个素数之积的和。这被国外誉为“陈氏定理”。这就是数论上“ 12”问题。虽然“11”问题（哥德巴赫猜想）至今未被解决，但陈景润对它的最终被解决作出了重要贡献。“2+1=2”的争论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页学习必备欢迎下载德国数学家、 物理学家高斯 （CFGauus ，17771855）小时候被誉为 “神童” 。18 岁进入德国哥廷根大学，在大学学习期间发明了最小二乘法，发现并证明正十七边形的尺规作图， 又发现并用八种方法证明 “二次互反律”
22、（又称黄金定理），22 岁获博士学位，他的博士论文一共给出了四种不同证明，显然，高斯喜欢一题多证。 24 岁出版算术研究，开创近代数论。后来又建立了微分几何、用笔尖发现“谷神星”、与韦伯一道发明了电磁电报等等，他在数学、天文学和物理学等许多领域都留下深深的足迹，被誉为“数学王子”，成为横跨 18、19 世纪的数学权威。鲁迅先生在名人和名言里说： “名人的话并不都是名言；许多名言，倒出自田夫野老之口。”高斯的一些语句常被人作为名言，可是，名人高斯的话语并非句句是真理，有时他的个别断言还有片面性，例如：有一次，高斯在文章中写道： “科学规律只存在于数学之中，而化学则不属于精密科学之列。”这句断言引
23、起了意大利化学家阿伏伽德罗（AAvogadro，17761856）的注意。阿氏在化学上贡献很多， 如 1811年发表了以他名字命名的 “阿伏加德罗假说”，并提出分子概念及原子、分子的区别等重要化学问题。由于他的论点不易理解， 这个假说在当时没有得到大家的赞同。在他去世以后， 经意大利化学家坎尼札罗（ SCannizzaro，18261910）用实验加以论证，直到半个世纪以后才被公认。化学家阿氏看到高斯涉及化学的这句断言时，提出了异议， 他认为“数学确是一切自然科学之王，但如果没有其他自然科学，数学就失去自己的真正价值”。当高斯看到这位化学家的批评时，又反驳说：“对数学来说，化学充其量只能起一个
24、女仆的作用。”不久，这两位科学家相遇在一起了，他们的争论又继续进行了。阿氏有礼貌地请高斯到实验室。 化学家在高斯面前做了一个实验，他用 2 公斤的氢放在 1 公斤的氧中燃烧，后来得到2 公斤的水蒸气。这时化学家得意地喊道：“高斯先生，请看吧！只要化学愿意，它能使2+1=2，而您的数学能做到这一点吗？”聪明的高斯明白了，“智者千虑，必有一失。 ”其实，数学是自然科学之王（不属于自然科学的一门独立科学）、是工具、是基础，化学也是精密科学之一，两者不存在主仆关系。看来，真理不会因为权威的话而改变。在化学上“ 21=2”可能成立，但在数学上“ 212”永远是错的。加加减减得一百一百，这个数常被人们挂在
25、嘴边。公园里百花齐放，球场上投篮百发百中，商店里服务员百问不厌、百拿不烦，学校里百年树人、考试拿一百分。下面有一个式子，左边是123456789，九个不为零的数字全出场，从小到大按自然增长顺序排列；右边就是常被挂在嘴边的100。123456789=100 怎样在左边插进一些加号和减号，使左边的运算结果等于右边？可以写出很多不同的式子，都满足问题的条件。下面是其中的几个：123-456789=100，12+34+5-6-7+89=100，123-456789=100，123-4-5-6-78-9=100，123+45-67+8-9100，123+4-5+67-89=100。精选学习资料 - -
26、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页学习必备欢迎下载加减交替下面的计算题，一眼看去就觉得特别：10+9-87-65-43-2+1=15 特别的地方，首先是式中各数从大到小，顺次减1。其次是式中的运算符号加减交替出现。根据这两个特点，可以通过添括号，简化计算：原式=10(9-8)+(7-6)+(5-4)(3-2)1 =1011111 =15 把规模扩大些，怎么样？看看下面的问题：10099-9897-96 5-43-21=150 同样利用添括号的方法，可以得到原式=100(99-98)(97-96) (3-2)1 =100+1491 =15
27、0 韩信走马分油我们刚刚学习了平均分的知识， 其实在生活中分东西的事经常发生，今天就来给小读者们讲一个韩信走马分油的故事。看你读完这个故事后， 会不会得到一些启示。从前，有两个人，一起买了10 斤油，他们两个人有3 个装油的篓子，三个篓子分别能装油 3 斤、7 斤和 10 斤。可是，这两个人用这三个篓子倒来倒去都不能把这 10 斤油平均分成 2 份，最后这两个人居然打了起来。当时正好赶上韩信骑着马从两个人这路过。 问明白原因后， 韩信骑在马上， 很快就把这个问题给解决了。让我们一起来看看，韩信是怎么倒这些油的呢？(1)先把所有的油都倒进10 斤的油篓里。(2)用 3 斤的油篓从 10 斤的油篓
28、里往外倒油，把倒出的油都倒进7 斤的油篓里。于是有： 339（斤） ，9-72（斤） ，10-91（斤） 。这时， 10 斤的油篓里还剩下 1 斤油， 3 斤的油篓里还剩下2 斤油， 7 斤的油篓里装满了油。(3)这时，把 7 斤的油篓里的油全部倒进10 斤的油篓里，得到： 178（斤） 。再把 3 斤的油篓里（还剩2 斤油）的油都倒进7 斤的油篓里。(4)从 10 斤的油篓的 8 斤中再倒出 3 斤，有 8-35（斤） ，最后再把 3 斤油篓里的油全部倒进 7 斤篓里，有 325（斤） 。分完了，每人恰好得到5 斤油，小读者们，你们看懂了吗？巧求平均数刘老师给大家出了一道题。 前进小学 8
29、个班去帮助农民摘豆角， 每个班摘豆角的重量分别是： 55 千克、50千克、48 千克、54 千克、49千克、53 千克、54 千克、53 千克。问平均每班摘豆角多少千克？“看谁算得快。”刘老师鼓励说。于丰很快举手回答：“平均每班摘 52 千克。 ”刘老师点头说：“你能把计算的方法说一说吗？”于丰说： “求平均数有个窍门，就是先在这些数中确定一个基准数。比如，这道题就是以 50 为基准数。然后把5 个班分别比基准数多出的千克数加起来，并从中减去剩下那 2 个班比基准数少的千克数，所得的数除以8，商再加上基准数，就是所求平均数。”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
30、- - - - - -第 8 页，共 25 页学习必备欢迎下载刘老师高兴地说；“很好，于丰的这种方法我们可以给一个名字叫做减少加多法 。做的时候可以这样： 先选好基准数 50，然后从前往后看， 多的数前写上加，少的数前写上减，也就是：50-24-134316825052（千克） 。这就是平均每班摘的重量。 ”刘老师又说：“这样求平均数速度快，计算量小，是一种好方法。”零的自白我的名字叫做零， 是整数家族中的一员。 我是拥有多种身份的特殊者！ 许多人以为我一无所有，呵呵！其实我很谦虚而且富有。我可以表示路程的起点，表示千里之行，始于足下！我不能做除数，也不能做分母！如果你和我加在一起，我无足轻重
31、，在隐身，你还是你！如果你减掉我也改变不了你自己！不管你有多大，和我相乘都归零！我除以任何一个非我的数都得零！所以好多人不喜欢我，不喜欢和我在一起！我好难受！不过，你可别瞧不起我！ 记数时如果少一个我的话， 可能你的损失就大的叫你赔都赔不起！你不要以为在小数中可以把我轻易去掉，我在小数的末尾时你去掉我只能把精确度改变，大小是不变的，但如果我在数中间，千万不要丢掉我，我的大小不可估计的！我很神奇的！随着你的知识越来越多，你会把我当好朋友的，不会瞧不起我了，也会合理利用我了，我会让你得到很多很多！咱们现在就交朋友好吗？模糊数学数学不是需要精确吗？怎么会需要模糊呢？你先别着急，这里给大家讲几个例子。
32、第一个例子： 粒种子肯定不能叫一堆， 粒也不是， 粒也不是那么多少粒种子叫一堆呢？适当的界限在哪里呢？我们能否说粒种子不叫一堆，而粒种子叫一堆呢？再举一个例子， 我们现在要从一片西瓜地里找出一个最大的西瓜，那是件很麻烦的事。必须把西瓜地里所有的西瓜都找出来，再比较一下，才知道哪个西瓜最大。西瓜越多，工作量就越大。如果按通常说的，到西瓜地里去找一个较大的西瓜，这时精确的问题就转化成模糊的问题，反而容易多了。 由此可见， 适当的模糊能使问题得到简化。确实，像上面的“一粒”与“一堆” ， “最大的”与“较大的”都是有区别的两个概念。但是它们的区别都是逐渐的，而不是突变的， 两者之间并不存在明确的界限
33、，换句话说，这些概念带有某种程度的模糊性。例如，我们说一个人很高或很胖，但是究竟多少厘米才算高， 多少千克才算胖呢？像这里的高和胖都是很模糊的。饭什么时候才算熟了？衣服什么样才能算洗干净？这些都是需要一门新的数学分支模糊数学来帮助解决的问题。为此，年美国的祖德教授开创了对“模糊数学”的研究。现在，模糊数学在各行各业中得到了广泛的应用。名人的数学比喻1有一个青年人，请爱因斯坦说出成功的秘诀。爱因斯坦写出了一个公式：A=X+Y+Z ，并解释道：“A 代表成功， X 代表劳动， Y 代表适当的工作方法。 ”青年人以为最大的秘诀在最后一项，就迫不及待地问：“那么，Z 代表什么呢？”不料，爱因斯坦回答道
34、： “Z 代表少说废话！”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学习必备欢迎下载2大发明家爱迪生在回答什么是“天才”时说：“天才等于百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。”3大文豪列夫托尔斯泰说： “一个人好比分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母，分母越大，则分数的值就越小。”4俄国历史学家雷巴柯夫在利用时间方面是这样说的：“时间是个常数，但对勤奋者来说，是个变数 ，用分来计算时间的人比用小时来计算时间的人的时间多 59 倍。 ”5特洛夫的正负号国际工人运动领袖季米特洛夫说： “要利用时间， 思考一下一日
35、做了什么，正号还是负号，倘若是 + ，则进步；倘若是 - ，就得汲取教训，采取措施。 ”除号的由来除号“”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞士学者雷恩于1656 年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，除号才逐渐被人们认识和接受。聪明的小白兔小白兔收了一些白菜和100 个萝卜准备过冬。狡猾的狐狸趁小白兔不在家的时候，偷走了一些白菜和萝卜，使剩下的白菜和萝卜同样多。小白兔回到家，在门口看见狐狸留下的脚印，赶紧来到放食物的地方，数了数，发现少了 28 棵白菜和 53 个萝卜，它知道一定是懒惰的狐狸偷走了自己的食物。小白兔找到狐狸的家，要它把食物还给自己。狐狸蛮不讲理地说：
36、“如果你能说出你收了多少棵白菜，我就一起还给你。 ”小白兔想了想，说：“原来我有 100 个萝卜，被你偷走了53 个，还剩下 100-5347（个） 。而白菜剩下的和萝卜同样多，应该也剩下47 棵，加上被偷走的28棵，白菜一共有 472873（棵） ” 。狐狸见小白兔分析得这么有道理，只好乖乖地把偷来的白菜和萝卜还给了小白兔。聪明的小白兔靠自己的智慧斗败了狡猾的狐狸。数学家的趣闻轶事高雅的宫殿何人去伊萨克巴罗（ 16301677）是英国著名的数学家，曾任剑桥大学数学教授，对几何学颇有建树。 他还是位名教士， 著有大量久负盛名的布道文。他为人谦和可亲，然而却与当时的国王查理二世的宠臣罗切斯特伯爵
37、结下了难解之仇，只要遇到一起，终免不了舌战。据说，罗切斯特曾将巴罗教士讥为“一座发霉的神学院”。某日，巴罗为国王作祈祷后与罗切斯特狭路相逢。罗切斯特向巴罗深深地鞠了一躬后，语带讥讽地说： “博士，请您帮我系上鞋带。”巴罗答道：“我请您躺到地上去，爵爷。 ”“博士，我请您到地狱的中心去。 ”“爵爷，我请您站在我对面。 ”“博士，我请您到地狱的最深层去。 ”“不敢，爵爷，这样高雅的宫殿应留给您这样有身分的人啊！”说完，巴罗耸耸肩走开了。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页学习必备欢迎下载碑文的奥秘古希腊亚历山大里亚的著
38、名数学家丢番图，人们只知道他是公元3 世纪的人，其年龄和生平史籍上都没有明确的记载。但是，在他的墓碑上可以得知一二，而且它告诉人们，他终年是84 岁。丢番图的墓碑是这样的：丢番图长眠于此， 倘若你懂得碑文的奥秘， 它会告诉你丢番图的寿命。 诸神赐予他的生命的 1/6 是童年，再过了生命的 1/12，他长出了胡须， 其后丢番图结了婚，不过还不曾有孩子，这样又度过了一生的1/7，再过 5 年，他获得了头生子，然而他的爱子竟然早逝， 只活了丢番图寿命的一半， 丧子以后， 他在数学研究中寻求慰藉，又度过了4 年，终于也结束了自己的一生。数学家的遗嘱阿拉伯数学家花拉子密留下遗嘱，当时他的妻子正怀着他们的
39、第一胎小孩。“如果我亲爱的妻子帮我生个儿子， 我的儿子将继承三分之二的遗产，我的妻子将得三分之一； 如果是生女的， 我的妻子将继承三分之二的遗产，我的女儿将得三分之一。 ”而不幸的是， 在孩子出生前， 这位数学家就去世了。 之后，发生的事更困扰大家，他的妻子帮他生了一对龙凤胎，而问题就发生在他的遗嘱内容。如何遵照数学家的遗嘱，将遗产分给他的妻子、儿子、女儿呢？不是洗澡堂德国女数学家爱米诺德，虽已获得博士学位，但无开课“资格”，因为她需要另写论文后，教授才会讨论是否授予她讲师资格。当时，著名数学家希尔伯特十分欣赏爱米的才能，他到处奔走， 要求批准她为哥廷根大学的第一名女讲师，但在教授会上还是出现
40、了争论。一位教授激动地说：“怎么能让女人当讲师呢？如果让她当讲师，以后她就要成为教授，甚至进大学评议会。难道能允许一个女人进入大学最高学术机构吗？”另一位教授说： “当我们的战士从战场回到课堂，发现自己拜倒在女人脚下读书，会作何感想呢？”希尔伯特站起来，坚定地批驳道： “先生们，候选人的性别绝不应成为反对她当讲师的理由。大学评议会毕竟不是洗澡堂！”终生只能单身德国杰出的自然学家亚历山大 洪堡德在喀山拜访俄国非欧几何学的创建者罗巴切夫斯基时， 他问数学家： “为什么您只研究数学呢？据说您对矿物学造诣很深，您对植物学也很精通。 ”“是的，我很喜欢植物学， ”罗巴切夫斯基回答说，“将来等我结了婚，我
41、一定搞一个温室”“那您就赶快结婚吧。 ”“可是恰恰与愿望相反， 植物学和矿物学的业余爱好使我终生只能是单身汉了。”蝴蝶效应气象学家 Lorenz 发表一篇论文，名叫“一只蝴蝶拍一下翅膀会不会在Taxas州引起龙卷风？” 论述某系统如果初期条件差一点点，结果会很不稳定， 他把这种现象戏称做“蝴蝶效应” 。就像我们投掷骰子两次，无论我们如何刻意去投掷，两次的物理现象和投出的点数也不一定是相同的。Lorenz 为何要写这篇论文呢？这故事发生在 1961 年的某个冬天， 他如往常一般在办公室操作气象电脑。平时，他只需要将温度、 湿度、压力等气象数据输入， 电脑就会依据三个内建的微分方精选学习资料 -
42、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页学习必备欢迎下载程式，计算出下一刻可能的气象数据，因此模拟出气象变化图。这一天，Lorenz 想更进一步了解某段纪录的后续变化，他把某时刻的气象数据重新输入电脑， 让电脑计算出更多的后续结果。当时，电脑处理数据资料的速度不快，在结果出来之前，足够他喝杯咖啡并和友人闲聊一阵。在一小时后，结果出来了，不禁令他目瞪口呆。结果和原资讯两相比较，初期数据还差不多，越到后期，数据差异就越大了，就像是不同的两笔资讯。而问题并不出在电脑，问题是他输入的数据差了0000127，而这些微的差异却造成天壤之别。所以长期
43、的准确预测天气是不可能的。韩信点兵韩信点兵又称为中国剩余定理， 相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每 3 人一列余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6人刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5 人一列、 9 人一列、 13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则兵有多少？首先我们先求 5、9、13、17 之最小公倍数 9945（注：因为 5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加 3，得 9948人。中国有一本数学古书孙子算经也有类似的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩
44、三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰： “二十三”。术曰： “三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。”孙子算经 的作者及确实著作年代均不可考。不过根据考证， 著作年代不会在晋朝之后， 以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早， 所以这 个 问 题 的 推 广 及 其 解 法 ， 被 称 为 中 国 剩 余 定 理 。 中 国 剩 余 定 理（ChineseRemainderTheorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要
45、的地位。完全数如果整数 a能被 b 整除，那么 b 就叫做 a的一个因数。例如， 1、2、3、4、6 都是 12 的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。例如，6 就是最小的一个完全数，因为除6 以外的 6 的因数是 1、2、3，而 6=1+23。你能在 20 至 30 之间找出第二个完全数吗？分析与解 20 至 30 之间的完全数是 28。因为除 28 以外的 28 的因数是 1、2、4、7、14，而 28=124714。寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了23 个完全数。第三、四个完全数是：496=1+2+4+816+31
46、+62124+248 8128=124+81632+64127+254508+10162032+4064 奇怪的是，已发现的23 个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答这个问题。古老的数学著作埃及是世界上文化发达最早的地区之一。它位于尼罗河两岸。大约公元前3200年，经过近 800 年的斗争，埃及全境实现了统一。由于尼罗河定期泛滥， 人们为了丈量河水泛滥后的土地，由此产生了埃及古老的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页学习必备欢迎下载数学。现在我们对古埃及数学的认识， 主要源于两部用象形文字写成的书
47、。一本是伦敦本，一本是莫斯科本。伦敦本是在古埃及都城的废墟中发现的，1858 年被英国人莱因特所购得， 因此又叫莱因特纸草书。 纸草是盛产在尼罗河三角洲的一种水生植物，形状像芦苇，当时人们把它的茎逐层撕成薄片，就可以写字。这本书长550 厘米，宽 33 厘米，是埃及僧人阿默士所著，成书年代约在公元前1700年，距现在约有 3700 多年。书名为阐明对象中一切黑暗的、秘密事物的指南，全书共分三章：一是算术，二是几何，三是杂题；共有题目85 个，大概是当时的一种实用计算手册。莫斯科本是俄罗斯收藏者在1893 年获得的， 1912 年转为莫斯科博物馆所有。它的成书年代大约是公元前1850 年。书中记
48、载了 25 个问题，可惜缺少卷首， 不知书名。在这两部纸草书中， 不但有一元一次方程的计算，还有当时埃及分数的算法。 在应用题中，涉及粮食、酒类、动物饲养及谷物的贮藏等问题。特别是有一些算题出得非常精彩。这说明，在距今4000 年前，人们就已经应用数学来解决生产、生活中的实际问题了。有趣的“剩数问题”题目：有位商人带了不少米， 准备出城做生意。 走到内关关口， 见皇榜昭示： “持米出此关者， 7 斗付税 1 斗。 ”无奈，此人不得不拿出米来付税。到了中关，还要付税，只不过是 5 斗米付税 1 斗。到了外关， 3 斗米付税 1 斗。好不容易走出了三个关口。商人查点一下自己的米，只剩下5 斗了。这
49、位商人起初究竟带了多少米呢? 这就是我国古代三大数学名著之一九章算术 中记载的一道名题， 后人称之为“剩数问题”。这位商人走出三个关口后，还剩5 斗米，那么把这“ 5 斗米”看做单位“ 1” ，由 3 斗米付税 1 斗，可知 5 斗米的对应分率为 (1)。这样，在关外还未付税时，即商人走出前两关后，有米5(1)=7(斗)。再把“ 7 斗”看做单位“ 1” ，出中关 5 斗米付税 1 斗， “7 斗”的对应分率为 (1)，这样，商人在中关未付税时，即过内关后，有米7(1)=9(斗)。同样道理， 把“9 斗”看做单位“1” ，在内关 7 斗米付税 1 斗，对应分率为 (1)。这样此人未付税时所有的
50、米是9(1)=10(斗)。综合算式： 5(1)(1)(1)=10(斗)。按号登船旺旺、华华、京京来到减法湖。京京一看船票，上面写着渡口的规矩：“按号登船” 。每张船票上有一个减法算式，减得的结果就是要找的船号。三个人约好到湖心岛见面，就分别找自己的船了。旺旺拿着“ 9178”的船票，找到了他的船号是13。京京拿着“ 10066”的船票，也很快登上了34 号船。华华拿着“ 6537”的船票，他很快地算出“差”是32，一口气跑到 32 号船边，可是船上已坐满人而且已开航了。华华急得大声喊：“喂，等等我。”检票的“减号”看见他，说： “你的船号不是 32 号。 ”华华惊呆了，难道自己算错了？他用树枝
51、在地上又认真地写了一个竖式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页学习必备欢迎下载自言自语的说：“先算个位， 5 减 7 不够减，应当从十位借1 当做 15 来减 7，得，8 十位上的 6 被借走 1 剩 5，5 减 3 得 2，应该得 28 才对。啊！我怎么一看见5减 7 不够减，就用 7 减 5 呢？”华华飞快地跑上了那艘正在等他的28 号船。买毛衣李大妈去超市买毛衣，售货员是她邻居，告诉她一件毛衣62 元。李大妈买了一件回家了。第二天她又来到超市，售货员向她介绍：新来了一种78 元的毛衣质量很好，建议她买。李大
52、妈决定买三件。售货员算过账后说：“你应该给我234元，但是昨天你买了一件62 元的毛衣，如果想换，你就先给我52 元钱，明天再将那件 62元的毛衣和 120元钱给我就行了。” 李大妈回到家对 4件毛衣经过比较，决定买两件 62 元的和一件 78 元的。第三天，售货员又收了李大妈88 元钱。在整个过程中李大妈真是被搞糊涂了，售货员的账算得对吗？这样想：李大妈几次共交钱：62+52+88=202（元）三件毛衣的价钱： 62+62+78=202（元）因此，李大妈既没占便宜，也没吃亏。这是一道生活中的实际问题， 无论怎样变化， 只要记住你三次分别给了多少钱就不会出乱子了。猜生日星期日，两个小数学迷又在
53、一起学习数学。 小玲对小华说： “我是 11月份出生的，从我生日这天起，连续五张日历上的日期数加起来和是65。请你算一算，哪一天是我的生日呢？”小华认真地算了起来：655=13。这五张日历是11、12、13、14、15。所以，你的生日是11 月 11 日。 ” “不对！我的生日不是这一天。 ”小华很自信地说。“我算得没错呀！”小玲说。“我是 11 月 29 日出生的。不信！你看： 2930123=65。 ”两个人都想不出这是为什么。于是，便去请教王老师。王老师说：“你们今后遇到结合实际的数学问题，要考虑的全面一些。这个题目既要考虑到几个连续数的和，又要考虑到相邻两个月的实际情况。因此，你的生日
54、不是 11 月 11日，就一定是 11月 29 日。 ”追查假药药店新进 5 盒贵重药品（每盒内装5 小包） ，从厂家得到消息： 5 盒药品中混进了一盒假药，但包装一模一样，只知道真药每小包重50 克，假药每小包只有40克。一位药店工作人员数学学得好，他只用天平称一次， 就查了出来。 你知道他是如何查找的吗？随便选两盒放到天平上称， 行不行呢？这样做肯定不行。天平两端若是相等， 你就已经用了一次天平了。这位聪明的工作人员是这样做的：将 5 盒药都编上号，第一盒不拿，第二盒拿1 包，第三盒拿2 包，第四盒拿3包，第五盒拿 4 包，总共拿 10 包。再把 10 包放在天平上称，如果10 包都是真的
55、药，由于每小包50 克，称出的结果是 500 克，说明第一盒没有拿来称的就是假药；如果取的这 10 包里面有假药，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页学习必备欢迎下载由于假药每小包 40 克，称的总重量肯定是小于500 克。这就分下列几种情况：（1）重量是 490 克，说明第二盒是假药；（2）重量是 480 克，说明第三盒是假药；（3）重量依次是 470 克、460 克，分别说明第四盒、第五盒是假药。如果不打开药盒，称量两次便可知假药。有两种称法，该怎样称？台历上的数学规律爸爸给我买的台历一直放在我的书桌上，非常精
56、致，封面上两只可爱的小老鼠一直对着我傻笑。 我翻着台历， 仔细欣赏着， 突然发现数的排列竟有许多不同的规律。规律一：横着看，相邻两个数的差为1，而且从左往右不断递增1；规律二：竖着看，相邻两个数的差为7，而且从上往下不断递增7；规律三：从右上向左下斜着看，相邻的数间递增6；规律四：从左上向右下斜着看，相邻的数间递增8；规律五：当几个数形成正方形时，两条对角线上的几个数的和相等；规律六：以一个数为中心，它与周围的8 个数正好构成一个正方形，而且这9个数的和正好是这个数的9 倍。同学们，你们瞧我发现的规律多吗？我想台历上的数学问题肯定还有很多很多，让我们一起继续探索吧！换空瓶的学问星期天，小军、小
57、帆和几个同学结伴去爬香山。他们爬到半山腰又渴又累，正巧旁边有个小卖部，小卖部的小黑板上写着：凡购买本店汽水，每3 个空瓶可换 1瓶汽水。他们买了 4 瓶汽水，喝完后，用其中的3 个空瓶换回 1 瓶汽水，把这 1瓶喝完又有了 1 个空瓶，这时，共有 2 个空瓶。 2 个空瓶换 1 瓶汽水还差 1 个空瓶，怎么办呢 ?小军灵机一动，跟旁边的叔叔借了1 个空瓶，他们用这3 个空瓶又换回一瓶汽水，喝完后，将空瓶还给了叔叔。就这样，他们买了4 瓶汽水，却喝了 4116 瓶汽水。小朋友，如果他们买 6 瓶汽水，一共能喝到几瓶汽水？如果买 8 瓶、40 瓶呢？算一算，很快你就会发现，买的瓶数少，用这种换来换
58、去的方法算起来比较容易， 买的瓶数多， 算起来就比较麻烦。 那么有没有更简便的方法呢？当然有，不过，请不要急着看答案，先自己想一想，如果实在想不出来，再看答案。其实，这个方法也不难想到。我们先假设小军他们只买了2 瓶汽水，喝完后，跟别人借1 个空瓶，就有 3 个空瓶， 3 个空瓶换回 1 瓶汽水，喝完后，将这个空瓶还给人家。这样，实际上买2 瓶汽水却可以喝到3 瓶汽水。按这样的思路，只要算出买来的汽水是几个2 瓶，就可以直接算出一共可以喝到几瓶汽水了。比如，买 6 瓶汽水， 6 瓶里有 623 个 2 瓶，每 2 瓶可以喝到 3 瓶汽水，3 个 2 瓶就可以喝到 339 瓶汽水。用这种方法，
59、不管买的汽水有多少瓶，都可以很快算出一共可以喝到多少瓶汽水。小朋友，请你用这种方法算一算， 买40 瓶汽水，可以喝到几瓶汽水。生活中怎样表示位置同学们， “位置”这部分知识你们都掌握好了吗？让我们到生活中看看是怎样用数对确定位置的吧！家电商场里的家用电器很多， 但是只要我们告诉售货员要买第几排、哪边起的第几个（如，第 3 排左起第 5 个） ，售货员很快就能知道我们要买哪款电器。到青少年活动中心听讲座也需要确定位置，我们必须根据自己票上的座位号去找属于自己的座位。 比如 12排 9 座，我们从前往后找到第12 排，然后找到椅背上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
60、 - - - - - -第 15 页，共 25 页学习必备欢迎下载标明 9 的座位，这就是我们要找的位置。乘火车或飞机，也需要我们根据票来确定座位。比如火车票上的“06 车 11 号上铺”就是这列火车的第6 车厢第 11排的上铺；飞机票上的“经济舱5C”就是经济舱第 5 排左起第 3 个座位（ C 一般表示左起第 3 个） 。图书馆里的一排排书架上也都编有序号，这样便于图书管理员确定图书的位置。学校计算机教室里的电脑上都贴有标签，比如“E08” ，表示从前往后数的第5排左起第 8 台电脑，这样便于计算机老师对每台电脑进行操控和管理。生活中，类似这样用数对确定位置的例子还很多，只要我们做生活的有
61、心人， 一定能发现！妈妈的账单红红妈妈的水果超市开张了， 开业的第一个星期生意格外好， 可把妈妈给乐坏了！星期天晚上，全家人吃过晚饭，爸爸打开了电视，妈妈却没这闲工夫，只见她坐在桌子旁，打开了一个本子，然后拿起笔算起账来。红红好奇地走了过去。妈妈正在计算这个星期苹果的销售情况，只见她的本子上画着一幅表格。红红一看，问道：“妈妈，怎么这些数前面都有加号和减号啊？”妈妈笑着说：“它们不是加号和减号，你看， 叫正号，-叫负号。”红红这下明白了，她看了看表格说： “周一有两个数据，是不是400表示进货 400 千克， -220表示卖了 220 千克？”妈妈点点头说：“完全正确，你真聪明！这里的表示进货
62、，-表示销售，你能帮我算出现在店里还有多少苹果吗？”这可难不倒红红， 她思索片刻， 很快就算出来了：“周一剩余： 400-220180（千克） ；周二剩余： 180-16020（千克） ；周三剩余： 20300-150170（千克） ；周四剩余： 170-170550550（千克）；周五剩余： 550-200350（千克）；周六剩余： 350-240200310（千克） ；周日剩余： 310-26050（千克） 。 ”听了红红的分析，妈妈竖起大拇指表扬道：“我的宝贝女儿真厉害 !”同学们，你们是不是也很佩服红红呢？想一想，求剩下多少苹果还可以怎样算？四数人未识今有四数人未识，三三相加四个值；二
63、二、二七和二四，还有一个是二十。它们分别是多少，算理算法有谁知？解说：丢番都是古希腊伟大的数学家，生平事迹不详。他的著作有算术十三卷。这在当时的古希腊是很有影响的书籍，可惜，现存的却只有其中一部分。这一道诗歌算题，便是依据他现存的算术上一道题目编写而成的。原来的题目翻译过来是：今有四数，每取三个而相加，其和分别为22、24、27 和 20。问：这四个数各是多少？解答时，可先设这四个数分别是甲、乙、丙、丁，并且假定每三个三个相加所得的四个值，其来源分别是：22是甲乙丙三数之和；27是甲乙丁三数之和；24是甲丙丁三数之和；20是乙丙丁三数之和。（注：四个数的来源如果作另外的假定，最终算得的结果当然
64、也是一样的。）如果我们将这四个数值（四个和）相加，那么，它们的总和就会是（三个甲数）、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页学习必备欢迎下载（三个乙数）、 （三个丙数）和（三个丁数）之和。即22272420=（甲+甲+甲）（乙 +乙+乙）（丙 +丙+丙）+（丁+丁+丁）或者是 222724+20=（甲+乙+丙+丁）（甲 +乙+丙+丁）（甲 +乙+丙+丁）也就是说，它们的总和就是三个“甲乙丙丁四数之和”。从而可知，一个“甲乙丙丁四数之和”便是（22+27+24+20）3=933=31 于是可知，在这四个数中，一个数是
65、31-22=9；一个数是 31-27=4；一个数是 31-24=7；另一个是 31-20=11。答：这四个数分别是9、4、7 和 11。数学天才高斯高斯出生在一个普通城市工人家庭。其父格布哈德迪特里希高斯(Gebhard Dietrich Gauss) 受教育不多，但能写会算，为人勤奋，靠手艺维持家庭生计，做过园林工人、运河工人、街道小贩，还出任过丧葬机构的会计。 据说迪特里希 高斯虽忠厚却性情暴躁， 在家尤为专制。 小高斯是他第二个妻子的独子，高斯的母亲多罗西娅本茨 (Dorothea Benze) 出身石匠家庭，聪慧而善良，能读但不会写，婚前在一个贵族家当女仆，在其夫去世后长期随高斯生活，
66、母子相伴，直至96岁谢世。多罗西娅的弟弟天份颇高， 是高斯长辈中智力最突出的一位，他靠自己钻研成为艺术高超的著名织匠。高斯幼年时的生活跟当时一般市民家的孩子雷同。有一个故事说因父母为生计奔波，小高斯有时无人照料，大约在3 或 4 岁时，曾堕入离家不远的运河，几乎溺死。另一个故事说高斯自幼对数字有特殊的敏感，在 3 岁时就发现过父亲算账时的计算错误。 这些故事大都是高斯晚年对人谈起的。高斯成年后还常对人说， 他在学会说话前就会计算了。高斯接受教育的状况受制于当时德国的社会背景。他出生的城市不伦瑞克是座古城，在 17 世纪初仍是能跟汉堡和阿姆斯特丹相媲美的贸易中心，后因城市民众暴动和欧洲 30 年
67、战争的破坏而衰落。 1671 年它失去政治独立地位，并入不伦瑞克沃尔芬比特尔 (现德国下萨克森州 )公爵领地， 1673年成为该领地的首府。在18 世纪，它像其他德国城邦一样，经济政治状况落后于资本主义蓬勃发展中的英国和法国。高斯降生时不伦瑞克的统治者是C W费迪南德 (Carl Wilhelm Ferdinand)公爵，一位久经沙场的贵族，他按传统的封建方式管理他的领地：典型的特征是以农业为其财政的主要来源，并保护组织起来的个体织匠， 制纺织机械的使用。他在教育方面虽未实行义务教育，但他的大多数臣民都能识字并掌握一些初等算术知识。 至于社会下层有天赋的儿童要想获得较高等的教育，则非有贵族、富
68、商或其他有影响的保护人的资助不可。1784 年，高斯像普通市民的孩子一样入小学读书。他进的圣凯瑟琳小学给他带来了好运。该校教师JG比特纳 (B ttner)称职而热心，他教的班由50 多名年龄各异、 原有知识参差不齐的学生组成。比特纳发现高斯才智出众， 特意从汉堡弄来一本算术教科书给高斯读。一个故事说，一次高斯在班上几乎不加思索就算出了 1+2+3+100 的和，令比特纳惊讶不已，当时任比特纳助手的M巴特尔斯(Bartels)只比高斯大 8 岁，酷爱数学 (后到俄国喀山大学任教授，是非欧几何创立者之一罗巴切夫斯基的老师)，对高斯的数学才能特别器重，他们常在一起讨论算术和代数问题。高斯的父亲不希
69、望儿子继续升中学读书。让子女多读书并非当地工人阶层的风精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页学习必备欢迎下载尚；读小学时，高斯晚上经常秉父命上织机织布。经老师们的帮助， 高斯于 1788年进入预科学校 (相当于现在的中学 )， 这里班级的编排较正规， 但课程颇显陈旧，而且过份强调古典语言特别是拉丁语的教学。高斯的目标是学术上的深造， 当时的人文学科特别是科学经典都是拉丁文写的，于是他充分利用学校的条件攻读拉丁语，不久成绩就名列前茅。他还学会了使用高地德语(路德翻译圣经用的那种德语，即现在的标准德语)，高斯原来只会使用
70、本地方言。至于他的数学程度，教师在看了他的第一次数学作业后便认为，高斯已没有必要上该校的数学课了。1791年，位于不伦瑞克的卡洛琳学院的教授EAW齐默尔曼 (Zimmermann)向费迪南德公爵引介了14 岁的天才少年高斯。公爵接见高斯时为他的朴实和腼腆所动，欣然应允资助高斯的全部学业。此后，高斯在经济上便独立于父母，父亲也不再反对儿子的继续深造。1792年，高斯入家乡的卡洛琳学院(Brunswick Collegium Carolinum)学习，开始脱离家庭的独立生活，这所学校不同于普通的大学，它由政府直接兴办和管理，目标是培养合格的官吏和军人， 在德国各城邦的类似学校中属于最优秀之列，其教
71、学强调科学方面的科目。 高斯在校的三年间， 全身心地投入学习和思考， 获得了一系列重要的发现： 入学前他就研究算术 -几何平均 (1791)，此时发现了它和其他许多幂级数的联系 (1794)；发现最小二乘法 (1794)；考虑了几何基础问题，即平行公设在欧几里得几何中的地位(1792)；由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定理，即二次互反律(1795)；研究素数分布，猜想出素数定理(1792)。在这一时期，贯穿高斯一生的研究风格的一个重要方面已趋成熟：不停地观察和进行实例剖析，从经验性质的研究中获得灵感和猜想。高斯在学院学习期间还开始了对数学经典著作的钻研，阅读了I牛顿 (Newton)的自然哲
72、学的数学原理(Philosophiae naturalis Principia mathematica) 、 L欧拉(Euler)的代数与分析著作和 JL拉格朗日 (Lagrange)的若干论著，以及雅格布伯努利(Jacob Bernoulli)的猜度术 (Ars conjectandi)等。高斯的志向不是谋取官吏的职位， 而在于他最喜好的两门学问： 数学和语言。1795年，他离开费迪南德公爵管辖的领地，到格丁根大学就读。 格丁根大学的办学方式追随英国的牛津和剑桥大学， 资金较其他德国大学充裕， 较少受政府和教会的管理和干涉，高斯选中这所大学另有两个原因，一是它有藏书(尤其是数学书 )极丰的图
73、书馆； 二是它有注重改革、 侧重科学的好名声。 当时的格丁根对学生可谓是个“四无世界”：无必修科目，无指导教师，无考试和课堂的约束，无学生社团。高斯完全在学术自由的环境中成长，将来从事什么职业完全由他自己抉择。入学初期，语言学家G海涅 (Heyne)对高斯的吸引力超出了数学家AG斯腾纳 (k stener)对他的影响；是作数学家还是语言学家可能曾在高斯脑际徘徊。有两个支持这种看法的旁证：高斯到校第一年所借阅的25 本书中，仅有 5 本数学著作，其余皆属人文学科，而且高斯终其一生始终未改对语言和文学的爱好；那个时代以数学为职业者收入不丰，高斯当时仍在靠公爵的补贴生活，寻找有较高收入的职业是高斯一
74、生中经常考虑的问题。1796 年是高斯学术生涯中的第一个转折点：他敲开了自欧几里得时代起就搅扰着数学家的尺规作图这一难题的大门，证明了正十七边形可用欧几里得型的圆规和直尺作图。 这一成功最终决定了他走科学之路而非文学之路，高斯真正认识了自己的能力之所在，在注明3 月 30日的“科学日记”中，高斯写道： “圆的分割定律，如何以几何方法将圆分成十七等分。 ”所谓“科学日记”是 1898年偶然在高斯的孙子的财产中发现的一本笔记；高斯在上面记录他的众多科学发现，并称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页学习必备欢迎下载之为
75、Notizen journal(日志录 )。日记中简要记载着他自1796 年至 1814 年间的共146 条新发现或定理的证明。由于高斯的许多发现终身没有正式发表，这本日记成了判定高斯学术成就的重要依据。在格丁根学习期间，高斯在日记中记录了许多重要信息：1796年 4 月 8日，得到数论中重要定理二次互反律的第一个严格证明；1797年 1 月 7日，开始研究双纽线；1797年 3 月 19日，认识到在复数域中，双纽线积分具有双周期；1797年 5 月， 由实例计算得到算术 -几何平均和双纽线长度间的一些关系(双纽线函数是椭圆函数的一种 )；1797年 10 月，证明了代数基本定理。1798 年
76、秋，高斯突然离开格丁根回到故乡，原因不详，很可能是费迪南德公爵不愿由他资助的学生在他所辖的领地之外的大学获取文凭。正是在公爵的要求下，高斯于 1799 年接受了海尔姆斯台特 (Helmstedt)大学的博士学位，名义上的导师是 JF普法夫 (Pfaff)，当时德国最负盛名的数学家，高斯在格丁根求学期间曾访问过他，但尚不知他们之间有无学术上的联系。有一则故事表明他们二人在数学界的地位，在高斯成名后，他的好友A洪堡(Humboldt)曾询问法国大数学家、力学家PSM拉普拉斯 (Laplace)谁是德国最伟大的数学家，拉普拉斯答是普法夫， 洪堡惊鄂之余追问道： 那么高斯呢？拉普拉斯戏谑地说：高斯是全
77、世界最伟大的数学家！ 高斯博士论文的题目很长：“单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明”(Demo-nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati-onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse ，1799 年 8 月在公爵资助下出版 )。高斯在给他大学时的同学 W波尔约 (Bolyai)的信(1799 年 12 月 16 日)中说： “题目相当清楚地讲明了文章的主要目的，
78、虽然它只占篇幅的三分之一， 其余是讲述历史和对其他数学家 JR达朗倍尔 (dAlembert)、LAde 布干维尔 (Bougainville) 、欧拉、拉格朗日等相应工作的批判，以及关于当代数学之浮浅的各种评论。”此文反映了高斯研究风格的另一个方面：强调严密的逻辑推理，这是区别于18 世纪大部分数学家的高斯风格的主要特征。在此论文中，他并未具体构造出代数方程的解，而是一种纯粹的存在性证明。这类证明此后便在数学中大量涌现，还应指出，他的证明虽然必须依赖复数， 但因当时的数学家仍在为虚数的本质争论不休，所以高斯尽量避免直接使用虚数。他预先假定了直角坐标平面上的点与复数的一一对应。 而将论及的函数
79、分为实部和虚部分别加以讨论。高斯的证明也并非在逻辑上完美无缺， 如他视连续函数的一些性质自然成立而未加证明（这些性质后来为捷克数学家B波尔查诺 (Bolzano)首先证明）。 高斯可能认识到这一问题，此后又给出了代数基本定理的另外三个证明(1815，1816，1849)，最后的证明是为庆祝他获博士学位50 周年而作，方法跟博士论文基本一致，只是“现在大家都认清了复数是什么” ，所以他直接运用了复数。自 1796 年解决正十七边形的作图到1801 年，是高斯学术创造力最旺盛的时间。按数学史家O梅(May)统计，在这 6 年间(19 岁24岁)高斯提出的猜想、 定理、证明、概念、假设和理论，平均每
80、年不少于25 项，其中最辉煌的成就是1801年发表的算术研究 (Disquisitiones arithmeticae)，它把过去一直是零星成果堆砌成的数论，织成一张结构紧凑、自成系统的网，以及在1801 年中根据少量观测数据准确预报小行星 “谷神星” 的运行轨道。 天文学是当时科学界最关注的课题，高斯的这项预报引起了轰动。 上述两项成就使他不仅在数学界而且在科学界精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页学习必备欢迎下载一举成名。1802 年初，圣彼得堡科学院聘高斯为外籍院士；同年9 月又邀请他出任圣彼得堡天文台台长，
81、 这是极崇高的荣誉。 高斯出于对公爵的忠心， 也因公爵打算为他创造更好的工作条件 (计划专为高斯在不伦瑞克修建小天文台)并给他提薪，高斯最终决定留在家乡。此后，高斯虽从未完全放弃对数论、代数、几何及分析学的研究，但其主要精力和时间逐步转向更有实际效用的科学，如天文学、测地学、物理学和应用数学。学术研究重点的转移也带来了高斯结交朋友方面的转折。高斯在纯数学的研究中是相当孤独的， 没有同事和助手， 即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流。 W波尔约虽是跟高斯有过长达50 年通信联系的数学家，但未见他们在数学思想上的深入讨论，唯一的例外是法国女数学家S热尔曼 (Sophie Germain)
82、，她曾化名男子和高斯通信(18041805)讨论数论问题，二次互反律的一个证明就跟她的想法有关。 但是，在天文学界和物理学界， 高斯却有不少挚友，他们不仅切磋学术，而且过往甚密。现存的7000 多封高斯的通信中，跟这些人的信件占极大比例。18021803年间，高斯先后访问了W奥尔伯斯 (Wilhelm Olbers) 博士医生兼天文学家， 1802 年发现了小行星“小惑星”(Pallas)和著名天文学家F察赫Zach，为当时德国最著名的塞堡(Seeberg) 天文台的台长， 1801 年 12 月 7 日晚第一个在高斯预报的位置上重新观测到谷神星，讨论了天文和大地测量问题，从此高斯开始了天文观
83、测和野外测量。奥尔伯斯为杜绝圣彼得堡良好的工作条件对高斯的引诱，提议由高斯出任正在筹备中的格丁根新天文台的台长(1804 年此建议得到格丁根方面的确认)。1804 年底，高斯又开始跟年轻的FW贝塞尔(Bessel，后成为一流的理论及实用天文学家)进行维持终身的通信。据现存信件可知， 高斯的长期通信者还有C L 格林(Gerling， 物理学家，高斯的学生 )， H C 舒马赫(Schumacher ，高斯的学生，天文学家 )和 JG 雷普索尔德 (Repsold，仪器制作家，曾和高斯探讨消色差双物镜镜片的设计等问题)。1805年，高斯跟制革商的独生女约翰娜奥斯多夫(Johanna Osthof
84、f)结为伉俪。此次婚姻颇为美满， 得二子一女，高斯分别以三个小行星发现者的名字为他们的教名。跟宁静的家庭生活相悖的是政治环境的骤变，自1789 年法国大革命后，德法之间爆发了多次短期战争， 为扼制拿破仑在中欧的扩张， 德国最主要的部分普鲁士决定加强跟法国的对抗。1806 年，曾任普鲁士将军的费迪南德公爵率部与法军决战， 70 多岁的沙场老将在战斗中负了致命伤，同年11 月死于阿尔唐纳(Altona)，这意味着高斯失去了经济来源，从此必须完全靠自己的努力维持生计。1807 年，高斯携全家迁往格丁根，出任格丁根天文台台长(实际上新天文台尚在建设中，他需亲自为其购置仪器设备)，同时担任格丁根大学天文
85、学教授。高斯选择台长为其主职，教授只为次职，这跟他不喜欢当时的教学有关。1802 年高斯在致奥尔伯斯的信中说过： “我真的不喜欢教课对真正有天赋的学生，他们绝不会依赖课堂上的传授，而必是自修自学的做这种不值得感谢的工作，唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间。 ”在以后的通信中，可看出他对当时大多数学生无钻研兴趣、 很少或根本没有学习动力， 甚至有的学生缺少必要的常识不满。 至于对禀赋好的学生， 高斯愿意“偶尔给他一点提示， 以便他找到最近的路”。格丁根原属汉诺威公国，此时已划归法国控制下的西伐利亚王国(1814 年汉诺威公国复辟后，格丁根才摆脱法国统治)。法国政府征收的高额赋税给了高斯当头一棒，他
86、无力筹足大学教授需交的2000 法币。德、法两国的多名学者闻讯主动精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页学习必备欢迎下载伸出援助之手， 均遭高斯婉拒； 最后是一位匿名者替他交纳了全部税金后知此人是法兰克福的大主教达尔贝格(Dahlberg)伯爵，曾任罗马帝国的重臣 。法国入侵，费迪南德伯爵战死， 加上此次征税，无形中加深了高斯在政治上的保守倾向，纵观其一生， 他对政治上的变革或激烈行为都持旁观或反对的态度。高斯到格丁根后所受的第二次打击是爱妻在生第三个孩子时难产，不久便去世了 (1809 年 10月)。时隔不到半年，
87、新生儿也夭折而去。高斯以独有的克制精神和毅力，很快从精神沮丧中复原。 为了正常的生活和工作， 为让不满 4 岁的儿子和刚 2 岁的女儿得到照顾，高斯于1810 年 8 月跟格丁根大学法学教授的小女儿米纳沃尔德克(Minna Waldeck)成婚。第二次婚姻也得二子一女：欧根纳(Eugene)、威廉(Wilhelm) 和女儿特雷泽 (Therese) 。在这一非常时期， 高斯完成并发表了他的理论天文学方面的名著天体沿圆锥曲线的绕日运动理论(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis So-lem ambientium)，阐述他
88、预测天体轨道的方法，首次发表他的最小二乘法，提出现称高斯分布的著名统计规律。1814 年，格丁根天文台新址基本建成。为配置最好的望远镜等设备，高斯多方奔走，如于1816 年赴巴伐利亚会见光学仪器制造家Gvon 赖兴巴赫(Reichenbach) 等，买到了他最中意的装备。 1818 年，高斯发表了“确定行星对任意点的引力， 假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上，即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planet
89、a si eius massa per totam orbitam ratione temporis， quo singulae partes describuntur， uniformiter esset dispertita)，文中利用椭圆积分、算术-几何平均等工具探讨了困难的天体摄动问题。该文是高斯结束其理论天文学研究的标志，此后他的天文研究主要在天文观测，记录特殊天象， 计算并报告他对观测数据的分析，亲自调试仪器以达到最佳观测条件，一直到1854 年他最后病倒为止。高斯退出理论天文学研究的一个原因是大地测量工作引起了他的兴趣。1815 年前后，中欧各重要国家出于经济和军事目的，纷纷开始
90、大规模的大地测量。1816年，舒马赫应丹麦政府之请，测绘全丹麦的地理形状，他请高斯协助，在一系列准备之后，高斯于1818 年正式同意担负将丹麦的测地工作向南延伸，并开始参加艰苦的夏季野外测绘，冬季则对所获数据进行分析整理。1820 年，汉诺威政府正式批准高斯对汉诺威全境作地理测量的计划，任命高斯为实施计划的负责人。1818 至 1825 的八年间，高斯请他前妻所生之子约瑟夫(Joseph) 和若干军人为野外考察的助手， 工作井然有序， 表现了高斯的组织才能。 高斯动用军人的理由是“农夫们尊敬军官”， “军队管理中的纪律和秩序对任何事情都有益而无害”。为提高测量精度，高斯发明了“日光反射信号器”
91、(1820)和光度计 (1821)。至于实测数据汇集后的计算， 几乎由高斯一人承担。 他每年撰写的测地报告后汇集于利用拉姆斯登(Ramsden)仪观测所确定的格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差(Bestim-mung desch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector，1828)。长年的劳累损伤了高斯强壮的体魄，1825 年医生诊断他患有气喘病和心脏病，迫使他停止了野外作业，此后高斯仍指挥整个计划的执行，并于1847 年完成汉诺威全境的测量。高斯全力关注测地工作的十年(18181828)，是他创造活动的又一个高峰期，高斯在 1825 年致奥尔伯斯的一
92、封信中说，他这些年未能把充斥脑际的许多思想加以实现，尽管如此，他的两项理论成果已成永垂青史之作。1822 年，丹麦哥本哈根科学院设奖征答地图制作中的难题，高斯以“将给定凸面投影到另一面而使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页学习必备欢迎下载最小部分保持相似的一般方法（Allgemeine Aufl sung der Aufgabe die Theile einer gegebenen flache so abzubilden,dass die Abbil dung dem Abgeb ildeten in den
93、kleinsten Theilen ahnlich wird,1825 年出版）于 1823 年获头奖。此文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述，建立了等距映射的雏形。1827 年，高斯写成曲面的一般研究 (Disquisitiones generales circa supe-rficies curvas ，1828 年出版)，这是他集 10 多年思考测地问题所得之精萃，提出了内蕴几何的新观念，成为此后长达一个多世纪微分几何研究的源泉。测地问题中的大量计算也推动高斯完善他的最小二乘法和对统计规律的严格研究，如他的与最小可能误差有关的观测值的组合理论(Theoria combination
94、is observationum erroribus minimis obnoxiae ，1823)，以数学的严格性推广最小二乘法，使它在任何概率误差的假设下，都以最适当的方法来组合观测值。在第二次创造高峰期的后期， 高斯因测地工作得到额外的津贴(1825 年开始领取。此前的 18071824 年间，高斯的薪金一直固定未动，而家庭负担有增无减)，他的经济状况有了根本好转；但高斯却在为他自我感觉到的创造力开始下降担忧。在 1826年 2 月 19日致奥尔伯斯的信中， 他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，觉得应该去搞有别于数学的其他领域。1828 年高斯到柏林参加了他一生中唯一的一次学术会议：柏林
95、自然科学工作者大会。洪堡希望他到柏林科学院工作以发挥更大的影响，并答应为他提供磁学研究的仪器。高斯当时对磁学的兴趣确实在增长，但对到柏林就职并不热心。在18221825 年间，柏林方面曾和高斯谈判他来柏林的条件，高斯发现这个大都市的办事效率很低， 要他担负的领导或顾问方面的责任也过多，因此高斯宁肯留在格丁根。高斯此次柏林之行最大的收获是结识了年轻的、才华横溢的实验物理学家 W 韦伯(Weber)。 高斯正准备全力投入的物理学各学科原非他熟悉的领域，他正需要一个象韦伯这样的合作者。高斯一旦决定转变研究方向， 他进入新课题的加速度是惊人的，他发表的下述文章和发明就是明证： 1892年，发表了关于力
96、学的一个新的普遍原理 （Uber ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik)；1830 年，发表了论平衡状态下流体性质的一般理论原则(Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ-ilibrii)；1832年，发表了以绝对单位测定的地磁强度 (Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata) ；1833年，又与 1831年到格丁根工作的韦伯合作发明了电磁电报。高斯跟韦伯的合作对他深
97、入磁学研究影响颇大，1833 年他们在格丁根兴建了地磁观测站。洪堡曾设想建立全球的地磁测量网，高斯和韦伯的参与加速了这项计划的实施。 为使测量准确， 他们精心设计以铜材代替铁材，以免磁针受其他铁器的干扰。不久，格丁根的观测站成了地磁测量的中心，各国纷纷仿照他们的设计建站，到 1834 年欧洲已建起了几十处磁观测站。为促进交流，高斯和韦伯组织了磁学会 (Magnetisch Verein) ， 出版年刊磁学会年度观测成果 (Resultate aus den Beobachtungen des magne-tischen Vereins ，18361841 年间共出版 6 卷，其中有高斯的 15
98、 篇和韦伯的 23 篇文章 )。1837 年，他们改进了测量地磁强度的仪器，发明了双线地磁仪。 1839年， 高斯发表地磁的一般理论 (Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus) ，澄清、简化并发展了已有的地磁理论。1840 年，除和韦伯合作出版了不朽的地磁图(Atlas des Erdmagnetismus) ，高斯还发表了与距离平方成反比而发生作用的引力和斥力的普通原理（Allgemeine Lehrsatze in 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页学习必备欢迎下载Bezi
99、ehung auf die im verke hten Verhaltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anzi ehungs und Abstossungskrafte ）,首次将位势论作为数学对象进行系统讨论。在研究地磁学之余，高斯还探讨了若干光学问题。在高斯全力投入物理研究的时期，他的家庭生活和人事关系屡屡出现麻烦。夫人米纳在生育特雷泽后身体虚弱， 经常卧床不起； 儿子欧根纳在选择学业上跟高斯意见相悖。欧根纳是高斯所有孩子中最富语言和数学才能的一个，他想选读科学方面的学科， 但终拗不过父亲的威严， 不得不进大学去读法律； 于是在大学他
100、常放纵自己，时因赌博而负债。父子间的不睦最终导致欧根纳于1830 年出走，远度重洋移居美国。 米纳不堪这一打击， 次年便病故了。 高斯的另一个儿子威廉热衷务农，这在父亲眼里是无前途的职业，他因在德国生活不如意，于1832 年征得高斯的同意， 携妻去了北美。 此后父子们再未见面。 高斯的第二次婚姻不能说美满， 对高斯唯一的安慰是女儿特雷泽十分孝顺，在米纳去世后担起了全部家务，直到高斯去世后才出嫁。在30 年代初期，高斯还因一个地磁实验方案而对德高望重的洪堡进行严厉的抨击，造成两人感情上的疏远。纵观高斯一生， 他待人接物都极力避免感情用事，而且厌恶争吵， 即使在有人议论他有剽窃他人成果的嫌疑时也能
101、泰然处之，如高斯正式发表最小二乘法在法国数学家勒让德之后， 因而招来非议， 高斯对此并未拍案而起， 只是在给友人的信中摆明事情的原委。 前述争吵是发生在米纳长期患病之后，足见它对高斯造成的心理压力之重，使他无法控制自己的感情。这一时期的另一不测事件是由汉诺威的新君主压制民主引起的。受1830 年法国资产阶级革命的影响，汉诺威公国曾于1831 年通过了一部较为民主和自由的宪法。1837 年 11 月，新国王E(August)取消这部宪法，要求公职人员(包括大学教授 )对他本人宣誓效忠。遂有格丁根大学7 位教授奋起抗议，其中有高斯最亲密的合作者韦伯，以及高斯的大女婿、东方学专家GHAvon埃瓦尔德
102、 (Ewald)。人们期待高斯采取公开的行动，以其崇高的威望声援他的同事。但高斯保持了沉默。 七教授被解职， 其中三人被逐出境外。 此时高斯除私下请洪堡为韦伯说情外， 未对政府的行动表示异议。 实际上高斯不赞成政治上的任何激进行为，倾向于维持王室的统治。况且，时年高斯的母亲已95 岁高龄，他本人也年过 6 旬，高斯不愿因为这一事件改变习惯的生活方式(1848 年德国爆发革命时，高斯也是站在保守的保皇分子一边的)。韦伯的离去中断了高斯一生中最成功的合作研究，对他后期的物理研究带来了无法弥补的损失。从 19 世纪 40 年代初期开始， 高斯几乎完全退出了物理学的创新研究，只从事例行的天文观测， 计
103、算汉诺威测地工作中遗留下的问题，对老的研究课题、 发表过的评论或报告作些修饰， 解决一些小的数学问题。 此后的出版物正反映了他的这种状态。他对EE库默尔 (Kummer)新创立的理想论 (1845)没有强烈的反应，对海王星的发现 (1846)亦很漠然。 CG雅可比 (Jacobi)在参加纪念高斯获博士学位 50 周年大会后说，跟高斯谈数学问题时，他总是把话题叉开而谈些无聊的事。在 40 年代，高斯对格丁根大学的事务有了较多关注，担任过教授会的负责人； 花了几年时间，将大学丧偶者基金会的财务预算奠基于可靠的统计规律之上；他对教学的兴趣也比以前浓厚了。(我们注意到，高斯在大学开的课，大部分是天文学
104、方面的， 唯有在当教授的第一年讲过一次数论，他最常讲的课是最小二乘法及其在科学中的应用 ) 晚年的高斯在学术圈子以外的人眼里是位科学奇人，而高斯本人却极端热衷于从报纸、书本和日常生活中收集各种统计资料。在1848 年革命时期，他几乎每天精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页学习必备欢迎下载到学校守旧派成立的文学会(高斯是会员 )附属的阅览室寻觅各种数据。如果某个学生正在看的报是他所寻找的， 高斯会一直瞪着他直到对方递过来这份报纸。他因而被学生戏称为“阅览室之霸” 。据说这一习惯对他从事投资活动(主要是买债券，包括德国
105、以外发行的债券)大有裨益，他身后留下的财产几乎等于其年薪的200 倍，说明他是个理财的好手。高斯生命的最后几年仍保持学者风度，没有间断过阅读和参加力所能及的学术活动：1850年，心脏病加重，行动受到限制。1851年 7 月 1日有日蚀，高斯作了他最后一次天文观测。1851年，核准GFB黎曼 (Riemann)的博士论文，给予高度评价。1852年，改进傅科摆，解决一些小的数学问题。1853年，为黎曼选定为获讲师资格需作的答辩题目(几何基础 )。1854 年 1 月，全面体检诊断高斯心脏已扩大，将不久于人世。但病情奇迹般地得到缓解。1854 年 6 月，听了黎曼关于几何基础的答辩报告，出席格丁根到
106、汉诺威间铁路的开通仪式。1854年 8 月，病情恶化，下肢水肿。1855年 2 月 3日清晨，高斯在睡眠中故去。高斯的葬礼有政府和大学的高级官员出席，他的女婿在悼词中赞扬高斯是难得的、无与伦比的天才。送葬抬棺者中有24 岁的 JWR戴德金 (Dedekind)，他曾选修高斯的最小二乘法课。高斯的大脑有深而多的脑回，作为解剖标本收藏于格丁根大学。高斯全集 (Carl Friedrich GaussWerke) 的出版历时 67 年(18631929)，由众多著名数学家参与，最后在F克莱因 (Klein) 指导下完成。全集共分12 卷。前 7卷基本按学科编辑：第1、2卷，数论；第 3 卷，分析；第
107、 4 卷，概率论和几何；第 5 卷，数学物理；第6、7 卷，天文。其他各卷的内容如下：第8 卷，算术、分析、概率、天文方面的补遗；第9 卷是第 6 卷的续篇，包括测地学；第10 卷分两部分： .算术、代数、分析、几何方面的文章及日记，.其他作家对高斯的数学和力学工作的评论；第11卷也分两部分： .若干物理学、天文学文章，.其他作家对高斯测地学、物理学和天文学工作的评论；第12 卷，杂录及地磁图 。读书迷的机遇被称为数学王子的德国杰出数学家高斯（17771855）自小是个读书迷。 童年的高斯家境贫穷， 为节省灯油， 父亲在天刚擦黑时就让高斯睡觉去，可是高斯却暗自将芜菁（一种蔬莱）掏空了做成油灯，
108、躲在被窝后面看书。巴特尔斯是高斯中学时的数学老师，他只比高斯大八岁。 由于高斯的学业早已超出了教材内容的水平，巴特尔斯经常买一些较深的书籍与高斯一起阅读和钻研。教学相长，师生都有很大的进步， 后来巴特尔斯继续深造成了喀山大学的数学教授。高斯 14 岁时的一天，在回家的路上边走边看书，不知不觉误入了不伦瑞克公爵费迪南的别墅庄园，刚巧公爵夫人在那里。公爵夫人在盘问高斯时惊奇地发现，这个小孩子竟然能完全明白书中那些深奥的道理。分别时公爵夫人记下了高斯的姓名和他读书的学校（可能还顺便知道有位巴特尔斯老师），回宫后便告诉了公爵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
109、- - - -第 24 页，共 25 页学习必备欢迎下载费迪南德公爵从巴特尔斯老师那里知道了高斯的学业和家庭情况，又亲自召见高斯面对面地询问和考查。 公爵认定高斯是他管辖的领地内不可多得的天才、神童，便从此担负起了安排、资助、教育和支持高斯的责任。高斯 15 岁时，公爵安排和资助他进入卡罗林学院（相当于大学预科）学习。两年后公爵送高斯进入了颇负盛名的哥廷根大学学习，直到1799 年高斯获得博士学位，大学期间的费用都是费迪南德公爵资助的。在卡罗林学院和哥廷根大学读书期间，高斯接二连三地发表了他的高水平的出色论文，泉涌般地一个又一个地创造数学奇迹。1801 年，高斯出版了他的享誉世界的名著算术研究论文集，并在天文学上取得惊人的成就。这年正是高斯偶然误入公爵别墅庄园的十周年，当时高斯才24 岁。这只是高斯一生中杰出贡献的开始。为了支持高斯在天文学方面的研究，费迪南公爵筹资、 资助兴建了哥廷根天文台（隶属于哥廷根大学） 。1807年哥廷根天文台建成，高斯任台长（实际上是终生台长） ，这时高斯 30 岁，他是哥廷根大学教授，负责数学专题讲座，已经是世界驰名的数学家了。 人们在赞赏高斯的天才、 勤奋和伟大成就的同时， 也传诵着他的机遇。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页
