《2022年必修一函数知识点总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年必修一函数知识点总结（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、必修一函数知识点总结函数概念（一）知识梳理1映射的概念设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf :，f 表示对应法则注意： A 中元素必须都有象且唯一；B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。2函数的概念(1) 函数的定义：设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(2) 函数的定义域、值域在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫
2、做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。(3) 函数的三要素：定义域、值域和对应法则3函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1） 图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2） 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。4分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。（二）考点分析考点 1：映射的概念例 1 （ 1）AR，|0By y，:|fxyx；（2）*|2,Ax xxN，|0,By yyN，2:22fxyxx；（3）|0Ax
3、 x，|By yR，:fxyx上述三个对应是A到B的映射例 2若4,3 ,2, 1A，,cbaB，, ,a b cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个例 3设集合 1,0,1M， 2,1,0,1,2N，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象( )fx的和都为奇数，则映射f的个数是（）()A8 个()B12 个()C16 个()D18 个考点 2：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页（1）2)(xxf，3
4、3)(xxg；（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（nN*） ；（4）xxf)(1x，xxxg2)(；（5）12)(2xxxf，12)(2tttg考点 3：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)(xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 1已知二次函数)(xf满足564)12(2xxxf，求)(xf（三种方法）例 2 （ 09 湖北改编）已知)11(x
5、xf=2211xx，则)(xf的解析式可取为题型 2：求抽象函数解析式例 1已知函数)(xf满足xxfxf3)1(2)(，求)(xf考点 4：求函数的定义域题型 1：求有解析式的函数的定义域（1）方法总结： 如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0； 负分数指数幂中，底数应大于0； 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
6、例 1. （ 08 年湖北）函数)(xf)4323ln(122xxxxx的定义域为 ( ) A.),2)4,(;B.)1 ,0()0,4(；C. 1 ,0()0,4,;D. )1 ,0()0,4,题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域例 1 （ 2007湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（）A. 4, 00,4；B. 4, 11, 4；C. 2 , 11, 2；D. 4, 22,4例 2已知函数)(xfy的定义域为ba，求)2(xfy的定义域例 3已知)2(xfy的定义域是ba，求函数)(xfy的定义域例 4已知(21)yfx的定义域是（ -2， 0） ，求(21)yfx的定义
7、域考点 5：求函数的值域1 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数22122xxxy的值域2133,2133（4）分离常数法：常用来求“分式型
8、”函数的值域。如求函数1cos3cos2xxy的值域，因为（5）利用基本不等式求值域：如求函数432xxy的值域（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数)2, 1(2224xxxy的值域（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（8）导数法一般适用于高次多项式函数，如 求函数32( )2440fxxxx， 3,3x的最小值。（48）（9）对勾函数法像 y=x+mx， （m0）的函数， m0 就是单调函数了三种模型：（1）如4yxx，求（ 1）单调区间（2）x 的范围 3,5，求值域（ 3）x -1,0 )(0,4,求值域（2）如44yxx，求（ 1）3,7上的值
9、域（2）单调递增区间（x0 或 x4）（3）如123yxx， （1）求 -1,1上的值域（2）求单调递增区间函数的单调性（一）知识梳理1、函数的单调性定义：设函数)(xfy的定义域为A，区间AI，如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间。如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的增
10、函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：（1）定义法（取值作差变形定号）；导数法（在区间( , )a b内，若总有( )0fx，则( )fx为增函数；反之，若( )f x在区间( , )a b内为增函数，则( )0fx，（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax,0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)bbaa，减区间为,0),(0,bbaa. （3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
11、- -第 3 页，共 13 页（4） 若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数）。3、单调性的说明：（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间, 必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0 ,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和
12、),0(。4、函数的最大（小）值设函数)(xfy的定义域为A，如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立， 那么称)(0xf为)(xfy的最小值。（二）考点分析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 （ 1）求函数20.7log(32)yxx的单调区间；（2）已知2( )82,fxxx若2( )(2)g xfx试确定( )g x的单调区间和单调性例 2. 判断函数f(x)=12x在定义域上的单调性.题型 2：研究抽象函数的单调性例 1已知函数( )f x
13、的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()f xxf xf x，且当1x时( )0,(2)1fxf，（1）求证：( )f x是偶函数；（2）( )f x在(0,)上是增函数； （3）解不等式2(21)2fx题型 3：函数的单调性的应用例 1若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（，4 上是减函数，那么实数a的取值范围是 _ 例 2已知函数1( )2axf xx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围 _考点 2 函数的值域（最值）的求法求最值的方法： （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。（ 2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区
14、间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（ 3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。题型 1：求分式函数的最值例 1 （ 2007 上海）已知函数xaxxxf2)(2)., 1,x当21a时，求函数)(xf的最小值。题型 2：利用函数的最值求参数的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页例 2 （2008 广东）已知函数xaxxxf2
15、)(2)., 1,x若对任意1,),( )0xf x恒成立 ,试求实数a的取值范围。函数的奇偶性（一）知识梳理1 、 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 ： 对 于 函 数)(xf的 定 义 域 内 任 意 一 个x， 都 有)()(xfxf 或0)()(xfxf ，则称)(xf为奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称。对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf或0)()(xfxf ，则称)(xf为偶函数 . 偶函数的图象关于y轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）2.
16、 函数的奇偶性的判断：（1）可以利用奇偶函数的定义判断( )()fxfx（2）利用定义的等价形式,( )()0f xfx，()1( )fxf x（( )0fx）（3）图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称3函数奇偶性的性质：（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. （2）若奇函数( )f x定义域中含有0，则必有(0)0f. 证明：（3） 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）” 。 如设)(xf是定义域为R 的任一函数，( )()( )2f
17、 xfxF x，( )()( )2f xfxG x。（4）复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. （5）设( )f x，( )g x的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶 =偶，偶偶=偶，奇偶=奇（6）定义域关于原点对称是奇偶函数的前提，因此，判断奇偶性必须先看定义域是否是关于原点对称的数集。（7）既奇又偶的函数是存在的，而且不止一个；其解析式 一定可以化为0xf，但是定义域可以不同。证明：（二）考点分析考点 1 判断函数的奇偶性及其应用题型 1：判断有解析式的函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x） =|x+1| |x1|
18、 ； （2）f（x）=（x1）xx11；（3）2|2|1)(2xxxf； （ 4）).0()1 (),0()1 ()(xxxxxxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页题型 2：证明抽象函数的奇偶性例 1 .(09年山东 ) 定义在区间) 1 , 1(上的函数f(x) 满足：对任意的) 1 , 1(, yx， 都有)1()()(xyyxfyfxf. 求证f (x) 为奇函数；例 2 （ 1）函数)(xf，Rx，若对于任意实数ba,，都有)()()(bfafbaf，求证：)(xf为奇函数。（2）设函数)(xf定义在)
19、,(ll上，证明)()(xfxf是偶函数，)()(xfxf是奇函数。考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用例 1已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数，若0)12() 1(mfmf，求实数m的取值范围。例 2设函数)(xf对于任意的Ryx,，都有)()()(yfxfyxf，且0x时0)(xf,2) 1(f（1）求证)(xf是奇函数；（2）试问当33x时，)(xf是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由。例 3设函数f(x) 是定义在R 上的偶函数，并在区间( ,0) 内单调递增，f(2a2+a+1)0 时， 抛 物 线开 口 向 上， 函 数在2,(ab上 单 调 递 减 ，在
20、),2ab上 单 调 递 增，abx2时，abacxf44)(2min；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页（ 2） a0(0(0(0) 的解集为(,) ()或者是(, )( ,)（二）考点分析考点 1求二次函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足 f(2)= -1，f(-1)= -1且 f(x) 的最大值是8，试确定此二次函数。法一：利用一般式设 f(x)=ax2+bx+c(a 0) ，由题意得：84411242abaccbacba解得：744cbaf(x)= - 4x2+4x+7 法二：利用顶点式f(2)= f
21、(-1) 对称轴212)1(2x又最大值是8 可设)0(8)21()(2axaxf，由 f(2)= -1可得 a= - 4 7448)21(4)(22xxxxf法 三 ： 由 已 知f(x)+1=0的 两 根 为x1=2,x2=-1 ， 故 可 设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax2-ax-2a-1,又84)12(482maxaaaay即得 a= - 4或 a=0(舍 ) f(x)= - 4x2+4x+7 例 2已知二次函数的对称轴为2x，截x轴上的弦长为4，且过点(0, 1)，求函数的解析式解： 二次函数的对称轴为2x， 设所求函数为2( )(2)f xa xb， 又( )
22、f x截x轴上的弦长为4， ( )f x过点(22,0)，( )fx又过点(0,1)，4021abab，122ab，21( )(2)22fxx考点 2二次函数在区间上的最值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页例 1已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0x1 时有最大值2，求 a 的值。例 2已知 y=f(x)=x2-2x+3, 当 x-1,3时，求函数的最大值和最小值。考点 3一元二次方程根的分布及取值范围例 1已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0 (1) 若方程有两根，其中一根在区间（
23、-1 ，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围。(2) 若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围。思维分析：一般需从三个方面考虑判别式区间端点函数值的正负对称轴abx2与区间相对位置。【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负，列出不等式（组）求解。例 2 已知函数22( )(21)2f xxaxa与x轴至少有一个交点，求a的取值范围指数与指数函数（一）知识梳理1指数运算mnmnaa；1mnmnaa；01a；rsrsaaa(0,)arsQ、；()rsrsaa(0,)
24、arsQ、；()rrsaba b (0,)arsQ、2.指数函数：xay（0,1aa） ，定义域R，值域为（,0）.当1a，指数函数：xay在定义域上为增函数；当01a，指数函数：xay在定义域上为减函数 .当1a时，xay的a值越大，越靠近 y 轴；当 01a时，则相反 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页（二）考点分析例 1已知下列不等式，比较m，n的大小：（1）22mn(2)0.20.2mn变式 1：设111( )()1222ba，那么（）A.aa abbaB.aa ba abC.abaabaD.abbaa
25、a例 2函数xya在0，1上的最大值与最小值的和为3，则a的值为（）A12B.2 C.4 D.14例3 已 知 函 数)(xfy的 图 象 与 函 数xay（0a且1a） 的 图 象 关 于 直 线xy对 称 ， 记 1)2(2)()()(fxfxfxg若)(xgy在区间2,21上是增函数，则实数a的取值范围是（）A),2B)2,1 () 1 ,0(C)1 ,21D21,0(对数与对数函数（一）知识梳理1对数运算：log ()loglogaaaMNMN；logloglogaaaMMNN；loglognaaMnM；1loglognaaMMn；logaNaN；logloglogbabNNa换底公式
26、：；logloglog1abcbca推论：2对数函数：如果a（0,1aa）的b次幂等于N ，就是Nab，数b就叫做以a为底的 N 的对数，记作bNalog（0,1aa，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数 . 当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x轴；当01a时，则相反 .（二）考点分析例 1已知函数( )log (1)af xx，( )log (1)(0ag xx a，且1)a（1）求函数( )( )f xg x定义域（2）判断函数( )( )f xg x的奇偶性，并说明理由. 例 2已知(31)4 ,1( )log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是
27、A.(0,1)B.1(0,)3 C.1 1,)7 3D.1,1)7例 3若3log1(04aa，且1)a，求实数a的取值范围 . 变式 1：若011log22aaa，则a的取值范围是（）A),21(B), 1(C)1 ,21(D)21,0(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页幂函数（一）知识梳理1、幂函数的概念一般地，形如yx()xR的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数2、幂函数的图像及性质yx2yx3yx12yx1yx定义域R R R 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇在第象限的增减性在第象限单调递增在第象限单调递增在第象
28、限单调递增在第象限单调递增在第象限单调递减幂函数yx(,)xR是常数的图像在第一象限的分布规律是：所有幂函数yx(,)xR是常数的图像都过点(1,1)；当0时函数yx的图像都过原点(0,0)；当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c） ；当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c）当12时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c）当1时，yx的的图像不过原点(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c）3、重难点问题探析：幂函数性质的拓展当0时，幂函数yx有下列性质：（1）图象都通过点(0,0)，(1,1)；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内
29、，1时，图象是向下凸的；10时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。当0时，幂函数yx有下列性质：（1）图象都通过点(1,1)；（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；（4）在第一象限内，过点(1,1)后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页（二）考点分析考点 1：利用幂函数的单调性比较大小例 1已
30、知0，试比较1,0.2 ,22的大小；例 2已知点 (2 2)， 在幂函数( )f x 的图象上，点124，在幂函数( )g x 的图象上问当 x 为何值时有： （）( )( )f xg x ； （）( )( )f xg x ； （）( )( )f xg x 函数图象（一）知识梳理1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、 周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地
31、连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移： 函数()yfxa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x)h左移y=f(x+h)；2）y=f(x)h右移y=f(x h)；、竖直平移： 函数( )yfxa的图像可以把函数( )yf
32、x的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x) h上移y=f(x)+h；2）y=f(x) h下移y=f(x) h。对称变换：、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于y轴对称即可得到；y=f(x) 轴yy=f( x) 、函数( )yf x的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到；y=f(x) 轴xy= f(x) 、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点y= f( x) 、函数)(yfx的图像可以将函数( )yfx的图像关于直线yx对称得到。精选学习资料 - - - - - -
33、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页y=f(x) xy直线x=f(y) 、函数)2(xafy的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线ax对称即可得到；y=f(x) ax直线y=f(2a x)。翻折变换：、函数|( ) |yf x的图像可以将函数( )yf x的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方， 去掉原x轴下方部分，并保留( )yf x的x轴上方部分即可得到；y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx、函数(|)yfx的图像可以将函数( )yf x的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留( )yf x在y轴右边部分即可
34、得到y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx伸缩变换：、函数( )yaf x (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；y=f(x)ayy=af(x) 、函数()yf ax (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到。f(x)y=f(x)axy=f(ax) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面（二）考点分析例 1 （ 08 江苏理 14）设函数3( )31()f xaxxxR，若对于任意的1 ,1x都有0)(xf成立，
35、则实数a的值为点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；题型 3：函数的图象变换例 9已知10a，方程|log|xaax的实根个数为（）A2 B3 C 4 D2 或 3 或 4 点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页2.10 函数与方程（一）知识梳理1函数零点概
36、念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根， 亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程的根。2. 二分法二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零
37、点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10xax） ；若)(1xf)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx） ；（4）判断是否达到精度；即若|ba，则得到零点零点值a（或b） ；否则重复步骤24。（二）考点分析题型 1：方程的根与函数零点例 1 （1）方程 lg x+x=3的解所在区间为（）A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，+ ) （2）设 a 为常数，试讨论方程)lg()3lg() 1lg(xaxx的实根的个数。点评：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x+x=3 解所在的区间。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
