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1、3 双曲线一、一周知识概述本周学习了双曲线的两种定义，推导了双曲线两种标准方程，并要求能用待定系数法求双曲线的标准方程在数学思想和研究方法上与学习椭圆时类似，所以学习中可与椭圆的相关知识进行对比，注意它们的联系和区别接下来学习了利用双曲线的标准方程，研究双曲线的几何性质及性质的应用，最后又学习了应用这些知识解决有关双曲线的综合问题学习这些内容的时候，通过类比椭圆几何性质的研究方法，可以自主探究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，提高类比分析归纳的能力二、重、难点知识讲解1、双曲线的定义（第一定义）平面上，到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为一常数2a（2a2c 时， M 点不存在（
2、3）要注意是差的绝对值，否则只是双曲线的一支；（4）由定义可得双曲线上所有点的性质，即|MF1|MF2|=2a. 要学会运用此性质例 1、 若椭圆（mn0） 和双曲线（s、 t0） 有相同的焦点F1和 F2， 而 P 是这两条曲线的一个交点，则|PF1| |PF2|的值为多少？分析：由于点P 既在椭圆上，又在双曲线上，应符合椭圆和双曲线的定义，所以可依据椭圆和双曲线的定义求解解答：不妨设 |PF1|PF2|.由于 P 既在椭圆上，也在双曲线上，故由22有： 4|PF1|PF2|=4s4m |PF1|PF2|=ms. 2、双曲线的标准方程（中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的方程）如果双曲线的焦
3、点在x 轴上，标准方程为（a0,b0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页如果双曲线的焦点在y 轴上，标准方程为（a0,b0）. 双曲线标准方程中a0，b0，但 a不一定大于b如果 x2的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y2的系数是正的，那么焦点在y 轴上，有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点的位置要学会利用题设条件求a、b 并判断焦点所在的坐标轴求双曲线方程，或用待定系数法确定双曲线方程；另外，在方程Ax2By2=C 中，只要 AB0,b0）（a0,b0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
4、纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页图形范围|x| a,yR |y| a,xR 对称性对称轴： x 轴、 y 轴，对称中心：原点离心率顶点（ a,0）(a,0) (0,a),(0,a) 焦点(c,0)(c,0) (0,c)(0,c) 准线渐近线例 3、经过双曲线的右焦点 F2作倾斜角为30 的弦 AB ，（1）求 |AB|. （2）F1是双曲线的左焦点，求F1AB 的周长解： （1） F2（2，0） ， 直线 AB：代入，得 8x24x13=0. （2），A，B 在双曲线的两支上. 设 x10） 。例 5、当 k 为任值时，直线y=kx 1 与双曲线没有公共点；有两个公共点
5、；只有一个公共点解： （1）由直线与双曲线没有公共点，即方程无实数解. 由则 k 的取值范围为（2）直线与双曲线有两个公共点，等价于方程有两个不等的解. 由且 k 1，则 k 的取值范围为，且 k 1. （3）直线与双曲线只有一个公共点等价于方程只有一解. 当 1k2=0，即 k=1 时，方程只有一解；当 1k20 时，由 =4k220(1k2)=0，得 k=. 则 k 的值为 1 或. 小结：利用图形判断直线与双曲线的公共点的个数时，尤其要注意直线斜率与双曲线渐近线斜率大小的关系例 6、已知双曲线方程3x2y2=3. （1）求以定点A（2，1）为中点的弦所在直线方程；（2）以定点B（1，1）
6、为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线方程；若不存在，请说明理由解： （1）设过 A（2，1）的直线与双曲线3x2y2=3 相交于 P（x1，y1） 、Q（x2，y2）两点，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页则直线 PQ 的方程为 6xy11=0. 将 x=2 代入 3x2y2=3，得 y= 3， 点 A（2，1）在双曲线的内部，故过A 的直线必然与双曲线相交. 从而所求的直线方程为6xy11=0. （2）设过 B（1，1）的直线与双曲线3x2y2=3 相交于 M（x3，y3） 、N（x4，y4）两点，则同（ 1
7、）可得 3(x3x4)(x3x4)(y3y4)(y3y4)=0若 B（1，1）为线段 MN 的中点，则有x3x4=2，y3y4=2，代入，得=3，即 kMN=3，则直线 MN 的方程为 3xy2=0. 又 B 在双曲线的外部，故要检查MN 是否与双曲线相交. 将 y=3x2 代入 3x2y2=3，得 6x212x7=0，其根的判别式=240，这与直线和双曲线相交于两点矛盾. 从而以 B（1，1）为中点的弦不存在小结：解决中点弦问题应注意：如果点在双曲线的内部，则以该点为中点的弦一定存在；如果点在双曲线的外部，则以该点为中点的弦有可能存在，也可能不存在因此，中点在双曲线内部时无须检验，中点在双曲
8、线外部时必须检验5、有关双曲线的综合应用问题涉及到双曲线综合题，同学们要注意定义、几何性质以及函数，不等式等知识的综合运用例 7、已知双曲线=1 的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为，能否在双曲线的左支上求一点P， 使| PF1| 是 P 到 L的距离d 与| PF2| 的等比中项 ? 若能成等比中项，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由分析：存在性问题一般先假设存在，根据题意求出存在的点，如果得出矛盾则说明这样的点不存在解法 1：| PF1| =de,|PF2| |PF1| =2a,|PF2| =2ade, 又 | PF1| 是 d 与| PF2| 的等比中项 . d2e2 =d（2ade
9、）,de2 =2ade ,d =. d 是左支上一点到左准线的距离，应该大于左支顶点到左准线的距离，即 d a，也即a1=（e10）化简，得 e1. 又 e=2.61. 这样的点P（x，y）不存在 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页解法 2：| PF1| 是 d 与| PF2| 的等比中项 , 则有| PF2|=e | PF1| . 又 | PF2| | PF1| =2a=10, | PF1| PF1| =10, 即 | PF1| =, | PF2| =,| PF1| | PF2| =, 又| PF1| | PF
10、2| =| F1F2| =26，这与上述结果矛盾这样的点P不存在解法 3： 由已知得 a=5， b=12, c=13 e=,d=-x, | PF1| = aex,| PF2| =aex. | PF1| 是 d 与 | PF2| 的等比中项 , （-x） （aex）=（-aex）2, 即-（aex） （aex）=（aex）2, 也即-（aex）=（aex）, 或 aex=0，解得 x1=-=-5=-a, 或 x2=-=-5=-a, P(x，y)在双曲线的左支上，x1、x2均不合题意，舍去，这样的点P（x，y）不存在 . 小结： 这个题的三种解法都是在假设点P 存在的前提下，推出矛盾，否定点P的存
11、在这里关键是熟悉双曲线的两个定义，注意到双曲线上点到准线距离的范围，离心率的范围等几何特征否则这个题就难以入手或者导出错误的结果来例 8、已知梯形 ABCD 中，|AB|=2|CD|，ABCD，点 E 分有向线段所成的比为，双曲线过 C、D、E 三点，且以 A、B 为焦点，求双曲线的离心率解析：如图所示，以AB 的中垂线为y 轴，以 AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy，则 CDy 轴. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页 点 C、D 在双曲线上，且A、B 为双曲线的焦点， C、D 关于 y 轴对称 . 依题意，记A（ c，0） ，B（c，0）. |AB|=2|CD|， 记 C(，n) 其中 c 为双曲线的半焦距，c=|AB|，n 是梯形的高 . 点 E 分有向线段的所成的比为. 设双曲线的方程为，则离心率 e=由点 C、E 在双曲线上，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
