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1、精品资料欢迎下载习题 1 第一章复数与复变函数1.1313222zi求|z| ，Argz 解：1232122zArgz=arctan3212+2k=23k, ,2, 1,0k2已知211iz,2zi3,试用指数形式表示2121zzzz及解：211izie42zi3ie62所以21zzie62ie4ie12221zziiiieeee125)64(64212123 解二项方程440za)0(a解由440za得44za则二次方程的根为41kwa（k=0,1,2,3 ） =24kiea（k=0,1,2,3 ）0w4iea2a(1+i) 23441( 1)2iiaweaeai精选学习资料 - - - -
2、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页精品资料欢迎下载542( 1)2iaweai743(1)2iaweai4 . 设1z、2z是两个复数，求证：),Re(2|212221221zzzzzz证明：2121221zzzzzz2122212121222112212221Re2zzzzzzzzzzzzzzzz5 设123z ,z ,z三点适合条件：1230zzz及1231zzz试证明123z ,z ,z是一个内接于单位圆周1z的正三角形的顶点。证明：设111zxiy，222zxiy，333zxiy因为1230zzz1230xxx，1230yyy123xx
3、x，123yyy又因为1231zzz三点123z ,z ,z在单位圆周上，且有222222112233xyxyxy而2222112323xyxxyy2223231xxyy232321x xy y同理)(22121yyxx13132323221x xy yx xy y可知222222121223231313xxyyxxyyxxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页精品资料欢迎下载0 1 2 3 X y 即122313zzzzzz123z ,z ,z是一个内接于单位圆周1z的正三角形的顶点得证。6下列关系表示的点z 的轨
4、迹是什么图形？他是不是区域？（1）111zz令 zxiy , 由11zz得2211zz即2211xx, 所以0x, 故以虚轴为左界的右半平面 ; 是区域（2） 0arg(1)4z且 2Re3z解: 由 0arg(1)4z且 2Re3z得: 0arctan14yx且 23x即为如图阴影所示（不包括上下边界）; 不是区域。7. 证明： z 平面上的直线方程可以写成azazc(a 是非零复常数， c 是实常数) 证明：设直线方程的一般形式为：ax+by+c=0 (a,b,c均是实常数，a,b 不全为零 ) 因为： x = 2zz, y = 2zz代入简化得：11022abi zabi zc令102a
5、bi得zzc反之（逆推可得）设有方程zzc（复数0，c 是常数）用 zxiy 代入上式，且令12abi 化简即得。8. 试证：复平面上三点a+bi,0,1abi共直线。证明： 因为1()0()abiabiabi=221ab（实数）所以三点共直线。9求下面方程给出的曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页精品资料欢迎下载z=titasincos解: 令 z= iyx=titasincos得 x=ta cos,y=tbsin则有12222byax, 故曲线为一椭圆 .10函数 w=z1将 z 平面上曲线变成w平面上的什么曲
6、线ivuwiyxz,? （1）2x+2y =4解: 由于2x+2y=2z = 4 , 又由于 w=z1=iyx1=22yxiyx=iyx41所以4,4yvxu则411612222yxvu这表示在 w平面上以原点为圆心 ,21为半径的一个圆周 . （2）1x解: 将1x代入变换 uiv =1xiy, 得uiv =11iy=211iyy于是u=211y,21yvy, 且22222211.(1)1yuvuyy故220uuv解得2211()24uv这表示w平面上的一个以 (1,02) 为圆心,12为半径的圆周 . （3）221(1)xy解：因为221(1)xy即2220xyx即.0zzzz将1zw及1
7、zw代入得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精品资料欢迎下载1 111.0wwww即1.www ww w因此1ww12u(v可任意取值 ) 表示w平面上平行于虚轴的直线。11. 求证：( )arg (0)f zz z在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续 . 证设0z为全平面除去原点和负实轴的区域上任意一点.考虑充分小的正数,使角形区域00argargzz与负实轴不相交 ,从图上立即可以看出,以0z为中心 ,0z到射线0arg z的距离为半径所作的圆盘,一定落在上述角形区域内，这就是说 ,只要取00
8、sinz.那么当0zz时就有0argargzz.因此 argz在0z为连续 .再由0z的任意性 ,知( )argf zz在所述区域内为连续 . 设1x是负实轴上任意一点 ,则1Im0limargzzxz及1I m0l i m ar gzzxz故 argz在负实轴上为不连续 . （如下图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精品资料欢迎下载12. 命函数 fz22000xyzxyz试证： fz在原点不连续。证明： fz22000xyzxyz当点 zxyi 沿ykx趋于0z时，kkzf1当k 取不同值时， fz 趋于不同的
9、数fz 在原点处不连续。13. 已知流体在某点 M的速度 v=-1-i ，求其大小和方向。解大小： |v|=1 1=2；方向： arg v=arctan 1314。14. 412 cossin244iiie；21cossin22iie；011cos0sin0iie；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页精品资料欢迎下载22 cossin2iie；233 cossin322iie；还有22,1,1ik iiieee（ k 为整数）15. 将复数1-cos +isin 化为指数形式。解2=2sin +2isin cos222
10、原式 =2sin2sincos22i =2sin2cossin2222i=2sin2e22i16. 对于复数.，若=0，则.至少有一为零 . 试证之。证若=0，则必 |=0 ，因而 |=0. 由实数域中的对应结果知 |.| 至少有一为零 . 所以.至少有一为零 . 17. 计算38. 解因-8=-8( cosisin), 故3(8)k=38(2cos3k+2sin3ki). (k=0,1,2) 当 k=0 时, 30(8) =38(cossin)33i =132()13;22ii当 k=1 时, 31(8)2(cossin )2;i当 k=2 时, 3255(8)2(cossin)2(coss
11、in)13.3333iii，18. 设1z及2z是两个复数， 试证212221221Re2zzzzzz并应用此等式证明三角不等式 (1.2) 。证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页精品资料欢迎下载212221212122212121221121212121221Re2zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz其次，由所证等式以及212121Re2zzzzzz就可导出三角不等式 (1.2) 。19. 连接1z及2z两点的线段的参数方程为121zzt zz01t过1z及2z两点的直线的参数方程为121zz
12、t zzt由此可知 , 三点1z2z3z共线的充要条件为3121zztzz (t为一非零实数 ) 3121Im0zzzz20求证：三个复数1z，2z，3z成为一个等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式211332232221zzzzzzzzz。证 ：321zzz是等边三角形的充要条件为：向量21zz绕1z旋转3或3即得向量31zz，也就是iezzzz31213，即izzzz23211213，即izzzz23211213，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精品资料欢迎下载两端平方化简，即得211332232221
13、zzzzzzzzz。21. 试证：点集 E的边界E是闭集。即证EE。证：设 z 为的聚点。取z 的任意邻域zN，则存在zz0使得zNz0且Ez0。在zN内能画出以0z为心，充分小半径的圆。这时由Ez0可见，在此圆内属于 E 的点和不属于 E的点都存在。于是，在zN内属于 E的点和不属于 E的点都存在，故Ez。因此E是闭集。22. 设有函数=z2, 试问它把z 平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？（1）以原点为心， 2 为半径，在第一象限里的圆弧；（2）倾角3的直线（可以看成两条射线arg3z及 arg3z） ；（3）双曲线 x2-y2=4. 解设z=(cossin)xiyri, uivR( cossini), 则2Rr，2，由此， （1）当 z 的模为 2，辐角由 0 变至2时，对应的的模为 4，辐角由 0 变至. 故在平面上的对应图形为：以原点为心，4 为半径，在u轴上方的半圆周. （2）倾角3的直线在平面上对应的图形为射线23. （3）因2z222xyxyi，故22uxy，所以z平面上的双曲线224xy在平面上的像为直线4u. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
