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1、专升本高等数学公式一、求极限方法：1、当 x 趋于常数0x 时的极限：02200xxlim(axbxc)axbxc；00000axbcxdax blimcx dcxdxx当；00000cxd,axbax blimcx dxx当但；2220020axbx fcxdx e,axbx flimxx cxdx e当且可以约去公因式后再求解。2、当 x 趋于常数时的极限：11nnaxbxfn m,limmmxcxdxenm只须比较分子、分母的最高次幂若则。若nm,则 =0。若n=m,则 =。3、可以使用洛必达发则：0f(x)f (x)xf(x)g(x)limlimg(x)g (x)xx当时，与都或；对0
2、x也同样成立。而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。二、求导公式：1、0c； 2、1nn(x)nx； 3、xx(a )aln x； 4、xx(e )e； 5、1(logx)axlna6、1(ln x)x；7、(sinx)cosx；8、(cosx)sinx；9、2(tanx)sec x10、2(cotx)csc x；11、(secx)secxtanx；12、(cscx)cscxcot x13、211(arcsinx)x；14、211(arccosx)x；15、211(arctan x)x；16、211(arccot x)x；17、(shx)chx；18、(chx)shx；19、2(thx)
3、ch x；20、211(arshx)x；21、211(archx)x；22、211(arthx)x；三、求导法则： (以下的 5、7、8 三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)v(x)u (x)v (x)；2、(kv(x)kv (x)；3、(u(x)v(x)v(x)u (x)v (x)u(x)；4、2u(x)u (x)v(x)v (x)u(x)()v(x)v (x)4、复合函数yf（x）的求导： f =f (u)u (x),u= (x)（x）其中。5、莱布尼茨公式：0( n )k( n k )( k )nn(uv)=uvkc。6、隐函数求导规则：等式两边同时对x 求导，遇到含有y 的项
4、，先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数，得到一个关于y的方程，求出y即可。7、参数方程x g(t)y f (t)的求导：dyf (t)dxg (t)；22f (t)f (t)d()d yg (t)g (t)dxdxdxdt，高阶导数依次类推，分母总是多一个dxdt，这一点和显函数的求导不一样，要注意！四、导数应用：1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。2、求极值的步骤：方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。方法二：求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。4、求最值的步骤：
5、求导、求驻点及使导数不存在的点、求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值，最小的是最小值。5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。6、图形描绘步骤：确定定义域、与 x 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图形。五、积分公式：1、 kdx kx c；2、111x dxxc()；3、1dx ln x cx；4、xxe dx ec；5、1xxa dxaclna；6、 cosxdx sinx c7、 sinxdxcosx c；8、 tanxdxln|cos x| c；9、 c
6、otxdx ln|sinx| c；10、 cscxcotxdxcscx c11、secxtanxdx secx c；12、2sec xdx tanx c；13、2csc xdxcotx c；14、shxdx chx c；15、chxdx shx c；16、secxdxln |secxtan x |c；17、cscxdxln |cscxcot x |c；18、211dx arctan x cx；19、211dx arcsinx cx；20、22110xdxarctanc,(a)axaa；21、221102axdxln |c,(a)axaax；22、221xdxarcsincaax；23、21ar
7、csinxdxxarcsin xxc；24、21arccosxdx xarccosxxc；25、21arctan xdx xarctan x lnxc； 26、21arccot xdxxarccot x lnxc；27、udvuvvdu；六、定积分性质：1、bbaakf(x)dxkf(x)dx；2、bbbaaaf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx3、bcbaacf(x)dxf(x)dxf(x)dx；4、badxba；5、baf(x)dxf(x)dxab；6、baf(x)dxf()(ba),(a,b)；7、udv uvvdu；8、xa(f(t)dt)f(x)；9、020xaf(x)dxa
8、xaf(x)dx是偶函数是奇函数；10、bbbudv (uv) |vduaaa；11、bf(x)dxlimf(x)dxaab；12、cbf(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxacab；七、多元函数1、 N 维空间中两点之间的距离公式：1212,n,np(x x . x ),Q(y y . y )的距离2221122nnPQ(xy )(xy ).(xy )2、多元函数zf(x, y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如，zx表示对 x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导就可以了。3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22zzx yy x
9、。4、多元函数zf(x, y)的全微分公式：zzdzdxdyxy。5、复合函数zf(u, v),u(t), v(t)，其导数公式：dzz duz dvdtu dtv dt。6、隐函数F(x,y)=0 的求导公式：XyFdydXF，其中xyF ,F分别表示对x,y 求偏导数。7、求多元函数z=f(x , y) 极值步骤：第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值第二步：求出000000xxxyyyf(x ,y )A,f(x ,y )B,f(x ,y )C第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A 大于零是极小
10、值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断8、双重积分的性质：（1）( , )( , )DDkf x y dkf x y d（2）( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d(3) 12( ,)( ,)( , )DDDfx y dfx y dfx y d(4)若( , )( , )f x yg x y，则( , )( , )DDf x y dg x y d（5）Dds，其中 s 为积分区域D 的面积（6）( , )mf x yM，则( , )Dmsf x y dMs（7）积分中值定理：( , )( , )Df x y ds
11、f，其中( ,)是区域 D 中的点11、双重积分总可以化简为二次积分（先对 y，后对 x 的积分或先对x，后对 y 的积分形式）2211( )( )( )( )( , )( , )( , )PxPybdDaPxcPyf x y ddxf x y dydyf x y dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法八、排列组合及概率公示1、排列数公式：(1)(2)(1)mnP
12、n nnnm。当 mn 时称作全排列，且其排列总数的计算公式是(1)(2)1n nn，简记作 n!。2、组合公式：(1)(2)(1)!mmnnmmPn nnnmCPm。特殊的，记1nnC。另有mnmnnCC，故记01nC。3、互斥事件：不能同时发生的事件。互斥事件A、B 中有一个发生的事件记作A+B，其概率等于事件A、B 概率之和，即 P（A+B）P（A）+P（B）。相互独立事件：有A，B 两个结果，且 A 事件的发生与否与B 事件是否发生没有关系。两个事件同时发生记作AB，其概率是()( ) ()p ABp A p B。相互独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是相互独立事件。4、n 次独立重复试验：设A 事件发生的概率是p，则 n 次试验中 A 事件发生了k次的概率是()kknknpACpp。
