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1、专升本高等数学公式一、求极限方法:1、当 x 趋于常数0x 时的极限:02200xxlim(axbxc)axbxc;00000axbcxdax blimcx dcxdxx当;00000cxd,axbax blimcx dxx当但;2220020axbx fcxdx e,axbx flimxx cxdx e当且可以约去公因式后再求解。2、当 x 趋于常数时的极限:11nnaxbxfn m,limmmxcxdxenm只须比较分子、分母的最高次幂若则。若nm,则 =0。若n=m,则 =。3、可以使用洛必达发则:0f(x)f (x)xf(x)g(x)limlimg(x)g (x)xx当时,与都或;对0
2、x也同样成立。而且,只要满足条件,洛必达发则可以多次使用。二、求导公式:1、0c; 2、1nn(x)nx; 3、xx(a )aln x; 4、xx(e )e; 5、1(logx)axlna6、1(ln x)x;7、(sinx)cosx;8、(cosx)sinx;9、2(tanx)sec x10、2(cotx)csc x;11、(secx)secxtanx;12、(cscx)cscxcot x13、211(arcsinx)x;14、211(arccosx)x;15、211(arctan x)x;16、211(arccot x)x;17、(shx)chx;18、(chx)shx;19、2(thx)
3、ch x;20、211(arshx)x;21、211(archx)x;22、211(arthx)x;三、求导法则: (以下的 5、7、8 三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)v(x)u (x)v (x);2、(kv(x)kv (x);3、(u(x)v(x)v(x)u (x)v (x)u(x);4、2u(x)u (x)v(x)v (x)u(x)()v(x)v (x)4、复合函数yf(x)的求导: f =f (u)u (x),u= (x)(x)其中。5、莱布尼茨公式:0( n )k( n k )( k )nn(uv)=uvkc。6、隐函数求导规则:等式两边同时对x 求导,遇到含有y 的项
4、,先对 y 求导,再乘以 y 对 x 的导数,得到一个关于y的方程,求出y即可。7、参数方程x g(t)y f (t)的求导:dyf (t)dxg (t);22f (t)f (t)d()d yg (t)g (t)dxdxdxdt,高阶导数依次类推,分母总是多一个dxdt,这一点和显函数的求导不一样,要注意!四、导数应用:1、单调性的判定:导数大于零,递增;导数小于零,递减。2、求极值的步骤:方法一:求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。方法二:求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号,二阶导小于零,有极大值,二阶导大于零,有极小值。4、求最值的步骤:
5、求导、求驻点及使导数不存在的点、求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值,最小的是最小值。5、凸凹的判定:二阶导大于零则为凹;二阶导小于零则是凸。6、图形描绘步骤:确定定义域、与 x 轴的交点及图形的对称性;求出一阶导、二阶导及各自的根;划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点;确定水平及铅直渐近线;根据上述资料描画图形。五、积分公式:1、 kdx kx c;2、111x dxxc();3、1dx ln x cx;4、xxe dx ec;5、1xxa dxaclna;6、 cosxdx sinx c7、 sinxdxcosx c;8、 tanxdxln|cos x| c;9、 c
6、otxdx ln|sinx| c;10、 cscxcotxdxcscx c11、secxtanxdx secx c;12、2sec xdx tanx c;13、2csc xdxcotx c;14、shxdx chx c;15、chxdx shx c;16、secxdxln |secxtan x |c;17、cscxdxln |cscxcot x |c;18、211dx arctan x cx;19、211dx arcsinx cx;20、22110xdxarctanc,(a)axaa;21、221102axdxln |c,(a)axaax;22、221xdxarcsincaax;23、21ar
7、csinxdxxarcsin xxc;24、21arccosxdx xarccosxxc;25、21arctan xdx xarctan x lnxc; 26、21arccot xdxxarccot x lnxc;27、udvuvvdu;六、定积分性质:1、bbaakf(x)dxkf(x)dx;2、bbbaaaf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx3、bcbaacf(x)dxf(x)dxf(x)dx;4、badxba;5、baf(x)dxf(x)dxab;6、baf(x)dxf()(ba),(a,b);7、udv uvvdu;8、xa(f(t)dt)f(x);9、020xaf(x)dxa
8、xaf(x)dx是偶函数是奇函数;10、bbbudv (uv) |vduaaa;11、bf(x)dxlimf(x)dxaab;12、cbf(x)dxlimf(x)dxlimf(x)dxacab;七、多元函数1、 N 维空间中两点之间的距离公式:1212,n,np(x x . x ),Q(y y . y )的距离2221122nnPQ(xy )(xy ).(xy )2、多元函数zf(x, y)求偏导时,对谁求偏导,就意味着其它的变量都暂时看作常量。比如,zx表示对 x 求偏导,计算时把y 当作常量,只对x 求导就可以了。3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关,即22zzx yy x
9、。4、多元函数zf(x, y)的全微分公式:zzdzdxdyxy。5、复合函数zf(u, v),u(t), v(t),其导数公式:dzz duz dvdtu dtv dt。6、隐函数F(x,y)=0 的求导公式:XyFdydXF,其中xyF ,F分别表示对x,y 求偏导数。7、求多元函数z=f(x , y) 极值步骤:第一步:求出函数对x , y 的偏导数,并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值第二步:求出000000xxxyyyf(x ,y )A,f(x ,y )B,f(x ,y )C第三步:判断AC-B2的符号,若AC-B2大于零,则存在极值,且当A 小于零是极大值,当A 大于零是极小
10、值;若AC-B2小于零则无极值;若AC-B2等于零则无法判断8、双重积分的性质:(1)( , )( , )DDkf x y dkf x y d(2)( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d(3) 12( ,)( ,)( , )DDDfx y dfx y dfx y d(4)若( , )( , )f x yg x y,则( , )( , )DDf x y dg x y d(5)Dds,其中 s 为积分区域D 的面积(6)( , )mf x yM,则( , )Dmsf x y dMs(7)积分中值定理:( , )( , )Df x y ds
11、f,其中( ,)是区域 D 中的点11、双重积分总可以化简为二次积分(先对 y,后对 x 的积分或先对x,后对 y 的积分形式)2211( )( )( )( )( , )( , )( , )PxPybdDaPxcPyf x y ddxf x y dydyf x y dx,有的积分可以随意选择积分次序,但是做题的复杂性会出现不同,这时选择积分次序就比较重要,主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时,对谁积分,就把另外的变量都看成常量,可以按照求一元函数定积分的方法进行求解,包括凑微分、换元、分步等方法八、排列组合及概率公示1、排列数公式:(1)(2)(1)mnP
12、n nnnm。当 mn 时称作全排列,且其排列总数的计算公式是(1)(2)1n nn,简记作 n!。2、组合公式:(1)(2)(1)!mmnnmmPn nnnmCPm。特殊的,记1nnC。另有mnmnnCC,故记01nC。3、互斥事件:不能同时发生的事件。互斥事件A、B 中有一个发生的事件记作A+B,其概率等于事件A、B 概率之和,即 P(A+B)P(A)+P(B)。相互独立事件:有A,B 两个结果,且 A 事件的发生与否与B 事件是否发生没有关系。两个事件同时发生记作AB,其概率是()( ) ()p ABp A p B。相互独立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是相互独立事件。4、n 次独立重复试验:设A 事件发生的概率是p,则 n 次试验中 A 事件发生了k次的概率是()kknknpACpp。