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1、学习必备欢迎下载课题4.9 三角函数的最值1 基础知识(1)配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性,转化为二次函数在闭区间上的最值问 题 , 如 求 函 数2s i ns i n1yxx的 最 值 , 可 转 化 为 求 函 数21 ,1 , 1yttt上的最值问题。(2)化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值:22sinsin()axbcoxabx如函数12sinyxcox的最大值是()A212 B.212 C.212 D.212应选 B (3)数形结合常用到直线斜率的几何意义,例如求函数sin2xycox的最大值和最小值。函数sin2xycox的几何意义为两点( 2,0),
2、(cos ,sin)PQxx连线的斜率k,而 Q点的轨迹为单位圆,由图可知maxmin33,33yy(4)换元法求最值利用换元法将三角函数问题转化为代数函数,此时常用万能公式和判别式求最值。利用三角代换将代数问题转化为三角函数,然而利用三角函数的有界性等求最值。例如:设实数yx,满足, 122yx则yx43的最大值为 _. 解:由, 122yx可设sin,cosyx则)sin(5sin4cos343yx,则其最大值为5。2 重点难点 : 通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。3 思维方式(1)认真观察函数式,分析其结构特征,确定类型。(2)根据类型,适当地进行三角恒等变形或转化,这是关键的
3、步骤。(3)在有关几何图形的最值中,应侧重于将其化为三角函数问题来解决。4 特别说明注意变换前后函数的等价性,正弦、 余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响,含参数函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页学习必备欢迎下载二、题型剖析1、化为一个角的三角函数,再利用有界性求最值。例 1:P(66) 函数 Y=acosx+b (a.b 为常数 ),若71y,求 bsinx +acosx 的最大值 .练习 : 求函数2sin3sincos1yxxx的最值,并求取得最值时的x值。解:33(
4、1cos2 )sin 2122yxx=3111sin 2cos2sin(2)22262xxx当22,62xk即()3xkkZ时,y取得最大值,max12y当22,62xk即()6xkkZ时,y取得最小值,m x32iy。思维点拨:三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例 2 P(66) .2sincotsin2cot的最值求函数xxxxy解:8741cos2cossin2sincossinsincos12xxxxxxxxy时当41cos1cos0sinxxx,y 有最小值87, 无最大值 . 练习 : 是否存在实数a,使得函数2385cossin2axa
5、xy在闭区间2,0上的最大值是 1?若存在,求出对应的a 值?若不存在,试说明理由。解:2185421cos22aaaxy当20x时,1cos0x,令xtcos则10t,,218542122aaaty10t)(423121854,2cos2,20, 12012max舍或时即则当时即aaaayaxataa)(51212185,0cos0,0, 022max舍时即则当时即aayxtaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页学习必备欢迎下载)(132012385,1cos1,2, 123max舍时即则当时即aaayxtaa综上
6、知,存在23a符合题意。思维点拨:闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。3、换元法解决xxxxcossin,cossin同时出现的题型。例 3:求函数xxycos34sin34的最小值。解:xxxxycossin9cossin1216令2.2,4sin2cossintxxxt,则21cossin2txx273429219121622ttty,2.2t所以当34t时,27miny 思维点拨 :遇到xxcossin与xxcossin相关的问题,常采用换元法,但要注意sincosxx的取值范围是2,2,以保证函数间的等价转化。4、图象法,解决形如dxbcxaycossin型的函数。例 4、P
7、(66) 求函数2sin2cosxyx的最大值和最小值.。思维点拨: 此题为基本题型解决的方法很多,可用三角函数的有界性或万能公式,判别式法。这里以图象法的主求解。例 5、设2,0x,若方程ax)32sin(3有两解,求a的取值范围。解:设ayxy),32sin(3,要使两函数图象有交点(如图),则3233a。x O 62333 23ay65y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页学习必备欢迎下载 思维点拨 :在用数形结合法解题时,作图一定要准确。本题若改为方程有一解,则a的范围又该怎样呢?5、利用不等式单调性求最值。思维点拨:利用基本不等式求最值时,等号不能取得时,可利用单调性。三、课堂小结(1)求三角函数最值的方法有:配方法,化为一个角的三角函数,数形结合法换元法,基本不等式法。(2)三角函数最值都是在给定区间上取得的,因而要特别注意题设所给出的区间。(3)求三角函数的最值时,一般要进行一些三角变换以及代数换元,须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。(4)含参数函数的最值,解题要注意参数的作用和影响。四、作业:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页