2022年第9讲数论之质数合数教师版

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1、本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。1 质数与合数一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数 ).一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数. 常用的 100 以内的质

2、数： 2、3、5、7、11、13、17、19、23 、29、31、37、41、43、47、53、59 、61、67、71 、73、79、83、89、 97，共计 25 个；除了2 其余的质数都是奇数；除了2 和 5，其余的质数个位数字只能是1，3，7 或 9. 考点：值得注意的是很多题都会以质数2 的特殊性为考点. 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意 . 2 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1 的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形

3、式表示出来，叫做分解质因数. 例如： 30235 .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数 .又如21222323， 2、3 都叫做12 的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式 .分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 知识点拨教学目标第九讲：数论之质数合数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页3 唯一分解定理任何一个大于1 的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123kaaaaknpppp其中为质数，12kaa

4、a 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数 . 分析：210=2 3 5 7，可知这三个数是5、6 和 7. 4. 部分特殊数的分解111337；1001711 13；1111141271；1000173137；199535719；1998233337 ； 200733223； 2008222251； 10101371337 . 5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数 q(均为整数 )，使得 q 能够整除p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算

5、量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么 p 就为质数 . 例如： 149 很接近14412 12，根据整除的性质149 不能被 2、 3、5、7、11 整除，所以149 是质数. 【系列一：质数合数的基本概念的应用】【例 1 】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌请你将诗中56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为156 号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它

6、们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；例题精讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌43 44 45 46 47

7、48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【巩固】( 2008 年南京市青少年“科学小博士”思维训练) 炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖” ， 只奖励 40 岁以下的数学家 华人数学家丘成桐、 陶哲轩分别于1982 年、 2006 年荣获此奖 我们知道正整数中有无穷多个质数( 素数 ) ，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k 个等间隔质数( 素数 ) 的数组例如，3k时， 3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数； 5， 11，17 是间隔为6 的 3 个质数：而，是

8、间隔为 12 的 3 个质数 ( 由小到大排列，只写一组3 个质数即可 ) 【解析】 最小的质数从2 开始，现要求每两个质数间隔12，所以 2 不能在所要求的数组中而且由于个位是 5 的质数只有一个5， 所以个位是3 的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：第一个质数第二个质数第三个质数满足要求打 5 17 29 7 19 31 17 29 41 19 31 43 29 41 53 37 49 61 47 59 71 【例 2 】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是 37 ，乘积为 74. 我们要善

9、于抓住此类题的突破口。【巩固】已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3 个质数的乘积是多少？【解析】 最小的合数是4，其平方为16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3 个质数中必然有2，那么其余2 个的和是14，只能一个是3 一个是 11，因此这3 个质数的乘积是23 1166 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页【巩固】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba，其中 ab ，而且 ab和 ba 都是质数 (a和 b是两个数字 )

10、具有这种形式的数共有多少个？【解析】若两位数 ab 、ba 均为质数， 则a、b 均为奇数且不为5，故有 1331 ，3113 ，1771 ，7117 ，7337 ，3773 ，9779 ，7997 共 8 个数【例 3 】(“祖冲之杯” 小学数学邀请赛) 九九重阳节， 一批老人决定分乘若干辆至多可乘32 人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐22 个人，就会有1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【解析】 仍按每车坐22 人计算，少开一辆车将有23 人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23 是质数，所以余下23 辆车，原有2

11、4 辆车，原有老人222232323529 (个)【巩固】( 全国小学数学奥林匹克) 从 19 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数 排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】 由于质数除了2 以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数” ，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件， 最高位选9，第二位选 8，第三位最大可以选7，但 7 与 8 之和不是质数，再改选5，8 与 5 之和是质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字6，如此类推十位可选 3，个位选

12、2所以，可以读到的最大数是98567432 数字排列如右图【例 4 】9 个连续的自然数，每个数都大于80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【解析】 我们知道任意连续9 个自然数中最多有4 个质数，本题考察对100 以外的质数的熟练情况，有101 ，103，107， 109 是 4 个质数。【巩固】( 我爱数学少年数学夏令营) 用 0，1，2，9 这 10 个数字组成6 个质数， 每个数字至多用1 次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6 个质数的方法请将所有方法都列出来【解析】 除了 2 以外，质数都是奇数，因为09 中只有 5 个奇数，所以如果想组成6 个质数，则

13、其中一34765892精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页定有 2又尾数为 5 的数中只有5 是质数，所以5 只能单独作为6 个质数中的一个数另4 个质数分别以1，3，7， 9 为个位数，从而列举如下：2，3，5，7，41，89，2，3，5，7，61，89 ，2，3，5，7，89，401 ，2，3，5，7，89 ，461 ，2，3， 5，7，61，409 ，2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89 ，2，3，5，67 ，89，401 ，2，5， 7，43 ，61，89 ，2，5，7， 61，83，

14、409即共有 10 种不同的方法【例 5 】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数.【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有1、4、8、9 可以组成质数41 、89，而 6 可以与 7 组合成质数 67所以这9 个数字最多可以组成6 个质数。【巩固】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写

15、出来. 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13， 21，23，31 ，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31. 【例 6 】7 个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是多少？【解析】 因为 7 个质数的和是偶数，所以这 7 个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这 7 个质数中必有一个是2.又因为 2 是最小的质数， 并且这 7 个连续质数是从大到

16、小排列的，所以2g.其他 6 个数从大到小依次是17、13、 11、7、5、3.这样7d. 【巩固】从 20以内的质数中选出6 个，然后把这6 个数分别写在正方体木块的6 个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【解析】小于 20的质数有2， 3， 5 ， 7 ，11， 13 ， 17， 19 ，其中 5197171113.每个木块掷在地 上 后 向 上 的 数 可 能 是 六 个 数 中 的 任 何 一 个 ， 三 个 数 的 和 最 小 是 55515 ， 最 大 是19191957 ， 经试验，三个数的和可以是从1

17、5 到 57 的所有奇数， 所有可能的不同值共有22个。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=（）+（）=（）+（）=（）+（）=（）+（）【解析】首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24 ，25，26，27 ，28 ， 因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想 A 尽量小， 这两个数也不能都同时为奇数，因 为 奇 合 数 比 较 少 ， 找 出8个 来 必 然 很 大 。

18、所 以 应 该 是 一 奇 一 偶 ， 经 试 验 得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即 A 的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。【例 7 】 将 60 拆成 10 个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少【解析】 最大的质数必大于5，否则 10 个质数之和将不大于50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即 8 个7 与 2 个 2 的和为 60，故其中最大的质数是7【巩固】将 50 分拆成 10 个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【解析】 若要求最大的质数尽可能大，

19、则其余9 个质数应尽可能小，最佳的方案是9 个 2。但是此时剩余的数为 32，不是质数，所以退而求其次，另其余9 个数为 8 个 2，1 个 3，那么第10 个数为 31 【巩固】将 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？【解析】 枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？1.数不大，种类比较少2.没有规律，不能用排列组合等方法3.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19 7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13

20、+17=2+7+11+17 共有 10 种不同的拆法，其中3 5 29=435 最小【系列二：分解质因数】【例 8 】两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【解析】 111555分解质因数： 1115553353767( 3337 )( 567 )333335 ， 所以和为 668.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337 。【巩固】把 40，44，45， 63，65，78， 99，105 这八个数平分成两组，使每组四个数

21、的乘积相等。【解析】34025 ，244211 ，24553 ，26373 ， 65513 ， 782313 ，299311 ，105357 ，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2，第一组含有 40，第二组含有44，78 ，再看 11,13，第一组应有40，99，65，再看 5 第二组应有44，78 ，45 ，105，最后看7，第一组应有40 ，99，65， 63【例 9 】4 个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4 个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【解析】 将 360 分解质因数得360222335，它是6 个质因数的乘积.因为题述的四

22、个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为633 个质因数的积，又只有3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4 个乘数分别为3，3， 5，8，所组成的最大四位数是8533. 【巩固】将 1 9 九个自然数分成三组，每组三个数. 第一组三个数的乘积是48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？【解析】 分解质因数 45335， 4822223 ，可知 45 只能是 1，5，9 的乘积，而48 可能是 2，4，6 或 2，3，8 或 1，6，8(舍去 )，则第三组的三个数可能是3，7，8 或 4，6，7，其中和最大的是 37818 . 【例 10 】 在面前有一个长方体，它的正面和

23、上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【解析】如下图，设长、宽、高依次为a、b、 c，有正面和上面的和为ac+ab=209 ac+ab=a (c+b)=209 ，而 209=11 19精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页当 a=11 时， c+b=19 ，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数2，则 c+b=2+17; 当 a=19 时， c+b=11 ，则 c+b=2+9 ，b 为 9 不是质数，所以不满足题意所以它们的乘积为11217=374 【巩固】一个长方

24、体的长、宽、高是连续的3 个自然数，它的体积是39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【解析】 39270=2 35 71117，为三个连续自然数的乘积，而 343434 最接近 39270 ，39270的约数中接近或等于34 的有 35、34 、33，有 3334 35=39270 所以 33、34、35 为满足题意 的 长 、 宽 、 高 则 长 方 体 的 表 面 积 为 ： 2( 长 宽 + 宽 高 + 高 长)=2(33 34+34 35+35 33)=6934( 平方厘米 )方法二： 39270=2 3571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果

25、 17 作为长、宽或高显然不满足当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与 34 接近的数32 36 中，只有35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的质因数中只剩下了3 和 1l，所以这个长方体的大小为33 3435长方体的表面积为2 (3927033+3927034+3927035)=2 (1190+1155+1122)=23467=6934( 平方厘米 )【巩固】一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【解析】 我们知道任意个已确定

26、个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小如3 个数的积为18 ，则三个数为2、3、3 时和最小，为81998=2 33337，37 是质数，不能再分解，所以233 3 对应的两个数应越接近越好有2333=6 9 时，即 1998=6 937 时，这三个自然数最接近它们的和为6+9+37=52( 厘米 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页【例 11 】 甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13 岁，那么乙今年多大？【解析】 个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有6

27、7，三位数中为167，再继续则不符合常理， 所以甲乙年龄有可能分别为40,27 岁，或者 90，77 岁，所以乙的年龄可能为27 岁或77 岁。【例12】 甲数比乙数大5 ，乙数比丙数大5 ，三个数的乘积是6384 ，求这三个数？【解析】将 6384 分解质因数， 6384222237 19 ，则其中必有一个数是19或 19 的倍数； 经试算，1951427 ，195242223，恰好 1419246384 ，所以这三个数即为14，19 ，24. 一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析. 如果这道题里19 不符合要求，下一个该考虑 38，再下一个该考虑57，依此类推【巩固】如果两数的

28、和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？【解析】4875=3 5 5 5 13，有 a b 为 4875 的约数，且这两个数的和为64发现 39=3 13、25=5 5这两个数的和为64，所以 39、25 为满足题意的两个数那么它们的差为39-25=14 。【巩固】 2004720 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【解析】首先分解质因数，20047202222357 167 ，其中最大的质因数是167，所以所要求 的 三 个 连 续 自 然 数 中 必 定 有167本 身 或 者 其 倍 数 .165351 ， 166283 ，16

29、822237 ，16913 13 ，所以 165 166167 ，166 167168 ，167 168 169 都没有 4个 2，不满足题意 .说明 167 不可行 .尝试 3341672， 335567 ， 336222237 ，3343353362222235767167 ，包括了 2004720 中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005. 【例13】 3个质数的倒数之和是16611986，则这 3个质数之和为多少精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页【解析】设这 3个质数从小到大为a、 b

30、、c，它们的倒数分别为1a、1b、1c，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为abc ，求和得到的分数为Fabc,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为a、b、c或它们之间的积. 现在和为16611986， 分母 198623331， 所以一定是2a，3b，331c，检验满足 . 所以这 3个质数的和为23331336 【巩固】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？【解析】有 140=2 2 5 7，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2 必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数

31、依次是2075227,2857225,3547522,140175221，倒数第三小的是285。【巩固】一个分数，分母是901，分子是一个质数现在有下面两种方法：分子和分母各加一个相同的一位数；分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是713那么原来分数的分子是多少【解析】因为新分数约分后分母是13，而原分母为901，由于 901 13694 ，所以分母是加上9 或者减去4若是前者则原来分数分子为7709481，但 4811337 ，不是质数；若是后者则原来分数分子是6974487 ，而 487 是质数所以原来分数分子为487 【例14】 在做一道两位数乘以两位

32、数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5 看成8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少?【解析】1872=2 2223313=口口 口口，其中某个口为8，一一验证只有：1872=48 39，1872=78 24 满足当为 1872=48 39 时，小马虎错把5 看成 8，也就是错把45 看成 48，所以正确的乘积应该是45 39=1755 当为1872=78 24 时，小马虎错把5 看成 8，也就是错把75 看成 78 ，所以正确的乘积应该是7524=1800 所以原来的积为1755 或 1800 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第

33、10 页，共 20 页【巩固】某校师生为贫困地区捐款1995 元这个学校共有35 名教师， 14 个教学班各班学生人数相同且多于 30 人不超过45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元? 【解析】这个学校最少有35+14 30=455 名师生， 最多有 35+14 45=665 名师生， 并且师生总人数能整除 1995 1995=3 5133，在 455665 之间的约数只有5133=665 ，所以师生总数为665 人，则平均每人捐款1995 665=3 元【例15】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”( 脱靶 )，或者是不超过10 的自然数甲、乙两名运动员各射了

34、5 箭，每人5 箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4 环求甲、乙的总环数各是多少？【解析】应对应为 5 个小于 10 的自然数乘积通常我们会考虑将1764 的 6 个质因数组合为5 个因数，从而这 5 个因数一定都是大于1 的，于是得到了如下几种分解情况1764=4 3 3 7 7 =2 6 3 7 7=2 2 9 7 7 但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1 环存在，从而要考虑含有因数1 的另外 2 种情况 1784=1 6 6 7 7=1 4 9 7 7所 以 总 的 情 况 对 应 的 和 依 次 为4+3+3+7+7=24，

35、 2+6+3+7+7=25， 2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有24， 28 相差 4，所以甲的5 箭环数为4、3、3、7、7，乙的 5 箭环数为1、4、 9、7、7所以甲的总环数为24，乙的总环数为28。【巩固】已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是589225，那么他们年龄的和为多少？【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到493725131589225，五个人的年龄和为125 岁。【系列三：质数合数综合型题目】【例16】P是质数，10P，14P，210P都是质数求P是多少？精选学习资料 - -

36、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页【解析】由题意知P是一个奇数，因为10331，14342 ，所以P是 3 的倍数，所以3P【巩固】已知P是质数，21P也是质数，求51997P是多少？【解析】P是质数，2P 必定是合数，而且大于1又由于21P是质数，2P 大于 1，21P一定是奇质数，则2P 一定是偶数所以P必定是偶质数，即2P55199721997P3219972029【例17】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少【解析】根

37、据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13 种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2 开始的第13 个质数要大。 从 2 开始数的 13 个质数分别是： 2，3，5，7，11，13 ，17，19，23，29，31 ，37，41。那么这个数一定要比41 大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从 3 开始的质数的差只要都是一个大于2 的偶数即可满足条件。【巩固】如果一些不同质数的平均数是21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？【解析】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均

38、数为21 的条件下数量尽可能多，且比21 大的质数只能有一个。21 以下的质数有2，3，5，7，11，13 ，17，19 ， 则 说 明 这 些 质 数 最 多 可 能 有8+1=9个 ， 则 大 于21的 那 个 数 为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112 不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了 21 以外的奇数19 ，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2，否则无法使得比21大的数是质数。去掉2 再次求和为112-19=93 ，仍然不是质数，则可以做微调93-4=89 ，即在原来的一组质数中再去掉一个17 即可，这组数为3，5，7， 11，1

39、3，19 ，89，最大的一个是89。【巩固】求 1-100 中不能表示成两个合数的乘积再加一个合数的最大数是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页【解析】考虑最小的合数是4，先把表示方法简化为4合数合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4 的偶数因此该表示方法进一步表示为4(2n)合数即 8n合数 (其中 n1 即可 ) 当该数被8 整除时，该数可表示为4(2n)8 ，n1,所以大于等于24 的 8 的倍数都可表示当该数被8 除余 1 时，该数可表示为4(2n)9，n1,所以大于等于25 的被 8 除余 1 的

40、都可表示当该数被8 除余 2 时，该数可表示为4(2n)10，n1,所以大于等于26 的被 8 除余 2 的都可表示当该数被8 除余 3 时，该数可表示为4(2n)27，n1,所以大于等于43 的被 8 除余 3 的都可表示当该数被8 除余 4 时，该数可表示为4(2n)4，所以大于等于20 的被 8 除余 4 的都可表示当该数被8 除余 5 时，该数可表示为4(2n)21，所以大于等于37 的被 8 除余 5 的都可表示当该数被8 除余 6 时，该数可表示为4(2n)6，所以大于等于22 的被 8 除余 6 的都可表示当该数被8 除余 7 时，该数可表示为4(2n)15，所以大于等于31 的

41、被 8 除余 7 的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43835经检验， 35 的确无论如何也不能表示成合数合数合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35 【例18】 已知 P,Q 都是质数，并且11932003PQ，则PQ= 【解析】本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2 个未知数， 但是都是质数，从结果上看2003 是一个奇数，那么前面2 个乘积必须为1 个奇数 1 个偶数，那么P 和 Q中必须有一个是2 才可以。由大小关系可以发现只能Q 是 2，解出 P=199,P Q=398 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

42、 - - -第 13 页，共 20 页【巩固】将 1 到 9 这 9 个数字在算式1的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数? 【解析】本 题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2， 3，5，7.将原始代入字母分析有cacaadcbcdab1，即有1adcb，那么很容易发现只有3 5-2 7=1。符合原式的填法为3515273。【例19】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数. 求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22 、33、44、55、66、77、88、99 共九个

43、，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如 331322313301617 ，共有 16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了 .可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777 、888 、999，每个数都是111 的倍数，而 111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37 的倍数， 但只能是37 的 2 倍(想想为什么？ )3 倍就不是两位数了. 把九个三位数分解：111373 、 222376743 、 333379 、

44、 4443712746 、5553715 、 6663718749 、 7773721 、 88837247412 、 9993727 . 把两个因数相加，只有( 743)77 和( 3718)55 的两位数字相同.所以满足题意的答案是74和 3， 37 和 18. 【巩固】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936. 如果正确的乘积不能被6 整除，那么它等于多少？【解析】注意 936 中有质因数13，故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有1372 ，2636，3924 ，5218 ，7812 这 5 种可

45、能， 由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页数字相同 .经枚举可知， 他们所抄错的算式可能是(1372，1852 )，(1372 ，1278)，( 2636 ，2439)或( 5218， 1278).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是1352 或 1872 ，后者乘积是6 的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是1352676 .对后三种情况作类似分析，可得出236种可能的原乘法算式，但它们的结

46、果都是6 的倍数，不合题意.因此 676 即为所求 . 【例 20 】 如果某整数同时具备如下三条性质： 这个数与1 的差是质数， 这个数除以2 所得的商也是质数，这个数除以9 所得的余数是5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【解析】 由条件可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p，则p的所有可能取值为5，7，11，13，17，19 ，23，29，31 ，37，41，43，47。于是2p-1的所有可能取值为9，13，21，25，33，37，45 ，57，61，73 ，81，85，93 。根据题目条件，2p-1 应为质数，因此2p-1 只可能为1

47、3，37，61 或 73。再由条件知2p-1 除以 9 所得的余数应为 4，于是 2p-1 只可能是13，从而这个幸运数只能是2p=14 。【巩固】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数如年份数1991，具有如下两个性质：1991 是一个回文数1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积在 1000 年到 2000 年之间的一千年中，除了1991 外，具有性质和的年份数，有哪些？（）【解析】这一千年间回文数年份共有10 个，除去 1991 外，还有 1001 ， 1111 ，1221 ，1331 ，1441 ，1551 ，1661 ，1771 ，

48、1881 符合条件的两位质数只能是11，所以符合条件的只有三个，即111011111 ， 111311441 ，1115l1661 【巩固】两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由 17，19 可得到一个四位数1719, 由 19，17 也可得到一个四位数1917. 已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除, 试写出所有这样的四位数。【解析】设这 2 个两位质数分别是a和 b ，则这个四位数是100ab ，根据条件可知：(100)2abab , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页即( ab)|(

49、 2002ab )，设2002abkab，则 2002abk （ ab） ，化简得 ( 200k )a(2k) b ，因此2002bkak,其中 k 是整数，a和 b 均为两位质数，设200kbm ,2kam ，则两式相加得( ab )198m，注意到a和 b 都是质数即也是奇数，所以 ab 是 198的约数 .21982311，由于a、 b 都是两位不同的质数，因为 11138997ab中的偶数，所以66ab【例 21 】 有人说： “任何 7 个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错的【解析】例如连续的7 个整数： 842、843 、844、845、846、847、848 分

50、别能被2、3、4、5、6、7、8整除，电就是说它们都不是质数有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到(n+1)!+2 ， (n+1)!+3 ，(n+1)!+4 ， (n+1)!+(n+1) 这 n 个数分别能被2、3、 4、 (n+1) 整除，它们是连续的n 个合数其中n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即 1 2 3 n【巩固】写出 10 个连续自然数，它们个个都是合数【解析】在寻找质数的过程中，我们可以看出100 以内最多可以写出7 个连续的合数：90 ，91，92，93 ，94 ，95，96我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了用筛选法可以求得在113 与

51、 127 之间共有13 个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121 ，122，123， 124， 125， 126同学们可以在这里随意截取10 个即为答案可见本题的答案不唯一【巩固】老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找200 个连续的自然数它们个个都是合数【解析】如果 10 个连续自然数中，第1 个是 2 的倍数，第2 个是 3 的倍数，第3 个是 4 的倍数第10 个是 11 的倍数，那么这10 个数就都是合数又2m， m3，m11 是 11 个连续整数，故只要m 是 2，3，11 的公倍数，这10 个连续整数就一定都是合数设m 为 2，3，

52、4，11 这 10 个数的最小公倍数m2，m3， m4，m11 分别是 2 的倍数， 3 的倍数， 4 的倍数11 的倍数，因此10 个数都是合数所以我们可以找出2，3，411 的最小公倍数 27720 ，分别加上2，3，411，得出十个连续自然数27722 ，27723 ，2772427731 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页他们分别是2，3，411 的倍数，均为合数说明： 我们还可以写出11!2,11! 3,11! 411! 11 (其中 n！123n)这 10 个连续合数来同样，(m+1)!+2,(m+

53、1)!+3,(m+1)!+m+1 是 m 个连续的合数那么200 个连续的自然数可以是：201! 2,201!3,201!201练习 1.如果 a， b 均为质数，且3741ab，则 ab_.【解析】 根 据题意a,b中必然有一个偶质数2， ，当2a时，5b，当2b时不符合题意，所以257ab. 练习 2.(2003年“祖冲之杯”邀请赛) 大约1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出的值在3.1415926和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把的值精确到7 位小数的人现代人利用计算机已经将的值计算到了小数点后515 亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第

54、一位3 是质数， 31 也是质数， 但 314 不是质数， 那么在 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927 中，哪些是质数？【解析】 注意到 3141 ，31415 ，3141592 ，31415926 ，31415927依次能被3，5，2，2，31 整除，所以，质数是 314159 练习 3.( 第五届“华杯赛”口试第15 题) 图中圆圈内依次写出了前25 个质数； 甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中质数列乙填 “ 积数”甲填 “ 和数 ”978913117532351561285.问：甲填的数中有多

55、少个与乙填的数相同?为什么 ? 【解析】 质数中只有一个偶数2，其余的质数均为奇数所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5 外，其余的均为不小于8 的偶数乙填的“积数”中除第一个是偶数6 外，其余所填的全是不小于15 的奇数所以甲填的数与乙填的数都不相同练习 4.从小到大写出5 个质数，使后面数都比前面的数大12. 这样的数有几组？【解析】 考虑到质数中除了2 以外其余都是奇数，因此这5 个质数中不可能有2；又质数中除了2 和 5，课后练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页其余质数的个位数字只能是1、3、7、 9.若

56、这 5 个质数中最小的数其个位数字为1，则比它大24的数个位即为5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为3，则比它大12 的数个位即为5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7 和 9，因此最小的数只能是5，这 5个数依次是5，17， 29，41，53.这样的数只有一组. 练习 5.( 保良局亚洲区城市小学数学邀请赛) 用 L 表示所有被3 除余 1 的全体正整数如果L 中的数 (1不算 )除 1 及它本身以外，不能被L 的任何数整除，称此数为“L质数”问：第8 个“ L质数”是什么？【解析】 “ L 数”为1，4，7，10，13，16 ，19，22 ，25，28，31，34，

57、 “ L质数”应为上列数中去掉1，16 ，28，即为4，7， 10，13，19，22，25 ，31，34，所以，第8 个“ L质数”是31练习 6.把 26，33，34， 35，63，85，91，143 分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1，那么至少要分几组.【解析】 要保证每组中的任意2 个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3 组. 练习 7.如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？【解析】 首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其

58、他自然数的“分界线” 。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8 ，它们的和是18, 则比 18 小的数一定都不是智康数，而比 18 大的数中，我们可以分为与18 的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与 18 的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n), 如果与18 的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为17 。练习 8.三个质数、，如果1，那么是多少？【解析】除了 2 以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以、必有一个偶质数 2，又因为 1，所以2 练习 9.三个质数的乘积恰好等于它们和的11

59、倍，求这三个质数. 【解析】设这三个质数分别是a、 b 、c，满足11abcabc() ，则可知a、 b 、c中必有一个为11，不妨记为a，那么11bcbc，整理得 (1b)(1c)12，又 121 122634，对应的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页2b、13c或3b、7c或4b、5c(舍去 )，所以这三个质数可能是2，11，13 或 3，7，11. 【备选1】(2004年全国小学奥林匹克) 自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】 这样的自

60、然数有4 个： 23，37 ，53，73【备选 2】A，B， C为 3 个小于 20 的质数，30ABC，求这三个质数. 【解析】 因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2，另两个奇质数之和为 28，又因为这三个数都要小于20，所以只能为11和 17 ，所以这三个质数分别是2，11，17 .【备选 3】( 俄罗斯数学奥林匹克) 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】 因为是质数所以个位数不可能为偶数0，2，4，6，8 也不可能是奇数5如果末位数字是3 或 9，那么数字和就将是3 或 9 的两倍，因而能被它们整

61、除，这就不是质数了所以个位数只能是7这个三位质数可以是167，257，347，527 或 617 中间的任一个【备选 4】某质数加6 或减 6 得到的数仍是质数，在50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【解析】 有六个这样的数，分别是11， 13，17，23 ，37，47. 【备选 5】三个连续自然数的乘积是210 ，求这三个数是多少？【解析】 210 分解质因数：2102357 ，可知这三个数是5 、 6 和 7 。【备选 6】4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13已知4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均

62、为质数，求最重的两瓶内有多少油？【解析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油 (连瓶 ) 重量之和的3倍，即4瓶油 ( 连瓶 ) 共重( 8910111213 )321( 千克 ) 而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只月测备选精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页瓶重12千克，最重的两瓶内的油为1132122( 千克 ) 油重之和为2千克，瓶重之和为 19 千克，每只瓶重194千克， 最重的两瓶内的油为197132

63、42( 千克 ) ，这与油重之和2千克矛盾 因此最重的两瓶内共有12千克油。【备选 7】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数【解析】设这三个质数分别是a、 b 、c，满足7()abcabc ，则可知a、 b 、c中必有一个为7，不妨记为a，那么7bcbc，整理得 (1)(1)8bc，又 8 1 82 4，对应的 b2、c9(舍去)或 b3、c5，所以这三个质数可能是3，5，7 【备选 8】四个连续自然数的乘积是3024，这四个自然数中最大的一个是多少？【解析】分解质因数433024237 ，考虑其中最大的质因数7，说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数 .若为 7，因 3024 不含有质因数5，那么这四个自然数可能是6、7、8、9 或 7、 8、9、10(10 仍含有 5，不行 )，经检验6、7、8、9 恰符合 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页