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1、则有则有(B0 )推论推论 1 .( C 为常数为常数 )推论推论 2 .( n 为正整数为正整数 )温故知新：温故知新：2 .11)直接用四则法则；直接用四则法则；2) 恒等变形后用四则法则恒等变形后用四则法则3)利用无穷小的性质利用无穷小的性质;无限项无限项:约去零因式约去零因式通分通分分子分母有理化分子分母有理化总结：总结： 求极限的基本方法求极限的基本方法抓大头抓大头4)无穷小与无穷大的关系法无穷小与无穷大的关系法;5)复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则(变量代换变量代换法法);化无限为有限法化无限为有限法6)利用极限存在的充要条件求极限利用极限存在的充要条件求极限(如分段函
2、数如分段函数);7)利用夹逼准则和单调有界准则利用夹逼准则和单调有界准则.2第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则夹逼准则夹逼准则 ；单调有界准则；单调有界准则3一、极限的存在准则一、极限的存在准则1. 夹逼准则夹逼准则准则准则 ：准则准则 ：单调有界数列必有极限：单调有界数列必有极限4二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限设单位圆设单位圆O， 圆心角圆心角作单位圆的切线作单位圆的切线5注意：注意：注意：注意：（令（令 ）2) 作用：作用：6解：解：解：解：1. 1.=1=1例例
3、3.求求例例4.例例5.解：解：7例例6.解：解：思考思考 ：8我们从三方面来我们从三方面来我们从三方面来我们从三方面来认识这个极限：认识这个极限：认识这个极限：认识这个极限：1)1)函数：函数：函数：函数：第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数. .2)2)极限过程是：极限过程是：极限过程是：极限过程是： 指数指数指数指数3)3)极限值极限值极限值极限值= =e e( (e=e=2.718281828459045)2.718281828459045)括号内第一项是括号内第一项是括号内第一项是括号内第一项是1 1，中间是中间是中间是中间是“ “+”+”
4、号，号，号，号，如如如如: :9例例7.解解:10补例补例. .解解:经验经验 ：含幂指函数含幂指函数 型型 极限极限 常用第二个重要极限常用第二个重要极限解解:11思考与练习思考与练习12 第一章 都是无穷小都是无穷小,第七节引例引例 .但但 无穷小的比较可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的 . 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.131.定义定义:注：注：注：注：判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶, ,实际上就是求极限实际上就是求极限实际上就是求极限实际上就是求极限. .14注意：注意：1.无穷小
5、的比较是无穷小的比较是无穷小无穷小与与无穷小无穷小比较的；比较的；2. 零是阶最高的零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的一般是比较非零无穷小的;3.无穷小的阶的高低是相对的无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的并依赖于极限过程的;4.无穷小的比较是无穷小的比较是 型极限的另外一种型极限的另外一种说法；说法；5.有两个重要的符号有两个重要的符号例如例如15证证:例例1.则则16证证:即有等价关系即有等价关系: 1)上述证明过程也给出了关系上述证明过程也给出了关系: 例例2. 证明证明:2) 常用等价无穷小常用等价无穷小:说明说明:17证证:必要性必要性充分性充分性2.等价无穷小的性质等价无
6、穷小的性质18例如例如,（自反性）（自反性）（对称性）（对称性）（传递性）（传递性）P60 T519定理定理2 (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证：证：说明：说明：即定理条件满足时即定理条件满足时,可以只代换无穷小的可以只代换无穷小的分子分子或或分母分母.即定理条件满足时即定理条件满足时,可以代换可以代换积积中因式的无穷小中因式的无穷小.20 3. 由此知由此知:若未定式的若未定式的分子或分母分子或分母为若干个因子的为若干个因子的乘积乘积,这是求极限的又一种好方法这是求极限的又一种好方法, 注意适用条件注意适用条件.则可对其中的任意一个或几个则可对其中的任意一个或几个无穷小因子无穷小因
7、子作作等价无穷小等价无穷小代换代换,而不会改变原式的极限而不会改变原式的极限.例例3.求求解解:21只可对函数的只可对函数的只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换, ,对于对于对于对于代数代数代数代数和和和和中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别等价等价等价等价代换代换代换代换. .切记切记切记切记: :补例补例4.解解:错错解解: 22内容小结内容小结1. 两个重要极限：两个重要极限： 代表相同的表达式代表相同的表达式2. 无穷小的比较：无穷小的比较：设设 , 对同一自变量的变
8、化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小233.等价无穷小代换定理：等价无穷小代换定理：4.常用的等价无穷小：常用的等价无穷小：5.注意事项：注意事项：1)并不是所有的无穷小都可进行比较并不是所有的无穷小都可进行比较.不可比不可比.2)2)只可对函数的只可对函数的只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换, ,对于对于对于对于代数和代数和代数和代数和中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换. .24新增求极限的方法：新增求极限的方法：8.重要极限法重要极限法9.等价无穷小代换法等价无穷小代换法注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.作业作业: P56 1(4)(5);2(2)(3) P59 4 (2)(3)预习预习:P60-P70P59 题题3写在书上写在书上25
