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1、名师总结优秀知识点高二数学圆锥曲线知识整理知识整理解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题， 化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。1、三种圆锥曲线的研究（1）统一定义，三种圆
2、锥曲线均可看成是这样的点集：0e, ed|PF|P，其中F为定点， d 为 PF因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。当 0e1 时，点 P轨迹是双曲线；当e=1 时，点 P轨迹是抛物线。（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：P|PF1|+|PF2|=2a ，2a|F1F2|0 ，F1、F2为定点 ，双曲线 P|PF1|-|PF2|=2a ，|F1F2|2a0 ，F1，F2为定点 。（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质， 不因为位置的改变而改变。定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及
3、双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。定量：椭圆双 曲 线抛 物 线焦距2c 长轴长2a 实轴长2a 短轴长2b（双曲线为虚轴）焦点到对应准线距离P=2cb2p 通径长2ab22p 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页名师总结优秀知识点离心率ace1 基本量关系a2=b2+c2 C2=a2+b2（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）举焦点在 x 轴上的方程如下：椭圆双 曲 线抛 物 线标准方程1byax2222（ab0）1byax2222（a0，b0）y2=2px（ p0）顶点（
4、a，0）（0， b）（ a，0）（0， 0）焦点（ c，0）（2p，0）准线X=ca2x=2p中心（0，0）有界性|x| a |y| b |x| a x 0 焦半径P(x0，y0) 为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 P在右支时： |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0P在左支时： |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+2p总之研究圆锥曲线，一要重视定义， 这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判
5、断：法（适用对象是二次方程，二次项系数不为0） 。其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或 y 方程的二次项系数为0。直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或 y 方程的二次项系数为0。（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页名师总结优秀知识点 4、圆锥曲线中参
6、数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。（1）与双曲线116y9x22有共同渐近线，且过点（-3 ，32） ；（2）与双曲线14y16x22有公共焦点，且过点（23， 2） 。分析：法一： （ 1）双曲线116y9x22的渐近线为x34y令 x=-3 ， y=4，因432，故点（ -3 ，32）在射线x34y（x0）及 x 轴负半轴之间， 双曲线焦点在x 轴上设双曲线方程为1byax2222， （a0，b0）1b)32(a)3(34ab2222解之得：4b49a22 双曲线方程为14y
7、49x22（2）设双曲线方程为1byax2222（a0，b0）则1b2a)23(20ba222222解之得：8b12a22 双曲线方程为18y12x22法二： （ 1）设双曲线方程为16y9x22（0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页名师总结优秀知识点16)32(9)3(2241 双曲线方程为14y49x22（3）设双曲线方程为1k4yk16x220k40k161k42k16)23(22解之得： k=4 双曲线方程为18y12x22评注：与双曲线1byax2222共渐近线的双曲线方程为2222byax（0） ，当
8、 0时，焦点在x 轴上；当 0，b2-k0 ） 。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。例 2、设 F1、F2为椭圆14y9x22的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2| ，求|PF|PF|21的值。解题思路分析：当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。法一：当 PF2F1=900时，由5c)c2(|PF|PF|6|PF|PF|22222121得：314|PF|1，34|PF|227|PF|PF|21当 F1PF2=900时，同理求得|P
9、F1|=4 ，|PF2|=2 2|PF|PF|21法二：当 PF2F1=900，5xP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页名师总结优秀知识点34yP P（34,5）又 F2（5 ，0） |PF2|=34 |PF1|=2a-|PF2|=314当 F1PF2=900，由14y9x)5(yx22222得： P （554,553） 。下略。评注：由 |PF1|PF2| 的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。例 3、设点 P到 M （-1，0） ，N （1，0）的距离之差为2m ，到 x 轴、y 轴的距离之比为2，求 m取
10、值范围。分析：根据题意，从点P的轨迹着手 |PM|-|PN|=2m 点 P轨迹为双曲线，方程为1m1ymx2222（|m|m ，x2m22222mm51)m1 (m又 0m20 55|m|且 m 0 )55,0()0,55(m评注： 利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页名师总结优秀知识点虑利用函数思想，建立函数关系式。例 4、已知 x2+y2=1，双曲线 (x-1)2-y2=1分析：M是弦 AB中点”翻译为关于参数的方程组。x=-1 满足；y=kx
11、+b O相切，设切点为M ，则 |OM|=1 11k|b|2 b2=k2+1 由1y)1x(bkxy22得： (1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0 当 k 1 且 0时，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则中点M （x0，y0） ，20221k1kb1x,k1)kb1 (2xx y0=kx0+b=2k1bk M 在 O上 x02+y02=1 (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2由得：332b33k或332b33k332x33y或33233y法二：设 M （x0，y0） ，则切线AB方程 x0x+y0y=1 当 y0=0 时， x0=1，显然只有x=-1 满足；当 y0
12、0 时，000y1xyxy代入 (x-1)2-y2=1 得： (y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0 y02+x02=1 可进一步化简方程为：(1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页名师总结优秀知识点由中点坐标公式及韦达定理得：200200x211xxx即 2x03-x02-2x0+1=0 解之得： x0=1( 舍) ，x0=21 y0=23。下略评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点” ）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读
13、能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。例 5、A、B是抛物线y2=2px（ p0）上的两点，且OA OB ，（1）求 A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线AB过定点；（3）求弦 AB中点 P的轨迹方程；（4）求 AOB面积的最小值；（5）O在 AB上的射影M轨迹方程。分析：设 A（x1,y1） ，B（ x2,y2） ，中点 P（x0,y0）（1）22OB11OAxyk,xyk OA OB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=2px20yyp2yp2y212221 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2（2） y12
14、=2px1， y22=2px2 （y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2) 212121yyp2xxyy21AByyp2k 直线 AB ：)xx(yyp2yy1211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页名师总结优秀知识点211121yypx2yyypx2y212112121yyyypx2yyypx2y221121p4yy,px2y21221yyp4yypx2y)p2x(yyp2y21 AB 过定点（ 2p， 0） ，设 M （2p，0）（3）设 OA y=kx，代入 y2=2px 得： x=0，x=2kp2 A
15、（kp2,kp22）同理，以k1代 k 得 B（2pk2，-2pk ）)kk1(Py)k1k(px02202)kkk1(k1k2222)py(px200即 y02=px0-2p2 中点 M轨迹方程y2=px-2p2（4）|)y|y(|p|)y|y(|OM|21SSS2121BOMAOMAOB221p4|yy|p2当且仅当 |y1|=|y2|=2p 时，等号成立评注：充分利用（1）的结论。（5）法一：设H （x3,y3） ，则33OHxyk33AByxk AB：)xx(yxyy3333精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10
16、页名师总结优秀知识点即3333x)yy(xyx代入 y2=2p 得0px2xp2yxpy2y3323332由（ 1）知， y1y2=-4p223323p4px2xpy2整理得： x32+y32-2px3=0 点 H轨迹方程为x2+y2-4x=0 （去掉（ 0，0） ）法二：OHM=900，又由（ 2）知 OM 为定线段 H 在以 OM 为直径的圆上 点 H轨迹方程为 (x-p)2+y2=p2，去掉（ 0，0）例 6、设双曲线12yx22上两点 A、B，AB中点 M （1，2）（1）求直线AB方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、 B、C、D是否共圆，为什么？分析：
17、（1）法一：显然AB斜率存在设 AB ：y-2=k(x-1) 由12yxk2kxy22得： (2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 当 0时，设 A（x1,y1） ，B（x2,y2）则221k2)k2(k2xx k=1 ，满足 0 直线 AB ：y=x+1 法二：设 A（x1,y1） ，B（x2,y2）则12yx12yx22222121两式相减得：(x1-x2)(x1+x2)=21(y1-y2)(y1+y2) x1x221212121yy)xx(2xxyy1212kAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10
18、 页名师总结优秀知识点 AB： y=x+1 代入12yx22得： 0 评注： 法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0是否成立。（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设 A、B、C、D共圆于 OM ，因 AB为弦，故M在 AB垂直平分线即CD上；又 CD为弦，故圆心 M为 CD中点。因此只需证CD中点 M满足 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由12yx1xy22得： A（-1，0） ，B （3，4）又 CD方程： y=-x+3 由12yx3xy22得： x2+6x-11=0 设 C（x3,y3） ，D（ x4,y4） ，CD中点 M （x0,y0）则63xy,32xxx00430 M（-3 ，6） |MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、C、 D在以 CD中点， M （-3 ，6）为圆心，102为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
