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1、1 / 14 （2008.12.09）经济数学基础学习辅导（二）（文本）顾静相： 现在是经济数学基础本学期第二次复习辅导活动，欢迎大家参加！这次活动主要有两项内容，一是对本课程第二部分积分学和第三部分线性代数进行复习辅导，二是给出本课程的综合练习，希望这些内容对大家的学习有些帮助。一、积分学部分复习第 1 章不定积分1理解原函数与不定积分概念。这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？若函数)(xF的导数等于)(xf，即)()(xfxF，则称函数)(xF是)(xf的原函数。（2）原函数不是唯一的。由于常数的导数是0，故cxF)(都是)(xf的原函数（其中c是任意常数）。（3）什么是不定积分？
2、原 函 数 的 全 体cxF)(（ 其 中c是 任 意 常 数 ） 称 为)(xf的 不 定 积 分 ， 记 为xxfd)(=cxF)(。（4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系。不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即)d)(xxf=)(xf,)d)(d(xxf=xxfd)(, cxfxxf)(d)(，cxfxf)()(d2. 熟练掌握不定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；幂
3、函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；第 2 章定积分 1了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式。奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 / 14 若fx( )是奇函数，则有f xxaa( )d0若f x( )是偶函数，则有f xxf xxf xxaaaa( )( )( )ddd22002. 熟练掌握定积分的计算方法。常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2
4、）第一换元积分法（凑微分法）；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）（3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；3知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。第 3 章积分应用1 掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积。求平图形面积的一般步骤：(1) 画出所围平面图形的草图；(2) 求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；(3) 利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分。2熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法
5、。3了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解。邰照波： 这些基本要求对这些学员来说只能从书上找到原样的，要应用可就有点难为他们了。顾老师出题时要手下留情呀。顾静相： 当然，一般考题是比较容易的，难度不会超过作业。二、线性代数部分复习第 1 章 行列式1了解或理解一些基本概念（1）了解 n 阶行列式、余子式、代数余子式等概念；（2）了解 n 阶行列式性质，尤其是：性质 1 行列式 D 与其转置行列式TD相等；性质 2若将行列式的任意两行（或列）互换，则行列式的值改变符号；性质 3 行列式一行（或列）元素的公因
6、子可以提到行列式记号的外面；性质 5若将行列式的某一行（或列）的倍数加到另一行（或列）对应的元素上，则行列式的值不变2掌握行列式的计算方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 / 14 化三角形法：利用行列式性质化成上（或下）三角行列式，其主对角线元素的乘积即为行列式的值。降阶法：利用性质将行列式的一行（列）化成只有一个（或两个）非零元素，然后按这零元素最多的行（或列）化成低一阶行列式，直至降到三阶或二阶行列式，最后直接计算。3知道克拉默法则第 2 章矩阵1了解或理解一些基本概念（1）了解矩阵和矩阵相等的概念；（2
7、）了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质；（3）理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；（4）了解矩阵秩的概念；（5）理解矩阵初等行变换的概念。2熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；3熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。第 3章线性方程组1了解线性方程组的有关概念：n 元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解。2理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。三、课程综合练习一、 单项选择题1若函数x
8、xxf1)(，,1)(xxg则)2(gf( )A- 2 B- 1 C - 1.5 D1.5 正确答案： A2下列函数中为偶函数的是（）Axxy2BxxyeeC11lnxxyDxxysin正确答案： D 3函数)1ln(1xy的连续区间是（）A），（），（221 B），（），221 C），（1 D），1 正确答案： A 李蓉： 为什么是A，答案 B 的前面有中括号的定义与答案A 区别是？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 / 14 顾静相： 答案 B 左边的是方括号，表示能取到端点，在左端点处函数没有意义。4曲线1
9、1xy在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）A21B21C3) 1(21xD3) 1(21x正确答案： B 5设cxxxxflnd)(，则)(xf=（）Axlnln Bxxln C2ln1xx Dx2ln正确答案： C 6下列积分值为0 的是（）A-dsinxxx B11-d2eexxxC11 -d2eexxx Dxxxd)(cos正确答案： C 7设)21(A，)31(B，I是单位矩阵，则IBAT（）A5232 B6321 C6231 D5322正确答案： A 8. 设BA ,为同阶方阵，则下列命题正确的是（）.A. 若OAB，则必有OA或OBB. 若OAB，则必有OA,OBC. 若秩OA)(
10、,秩OB)(，则秩OAB)(D.111)(BAAB正确答案： B 9. 当条件（）成立时，n元线性方程组bAX有解A.r An() B.r An() C.nAr)( D.Ob正确答案： D 蒋玉兰： 关于这题，上午我们一些辅导教师还在说难了点。因为按常规思维学生就理解成了非齐次线性方程组了，所以容易错选成B。10设线性方程组bAX有惟一解，则相应的齐次方程组OAX（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 / 14 A无解 B只有 0解 C有非 0解 D解不能确定正确答案： B 二、 填空题1函数1142xxy的定义
11、域是 .应该填写：2, 1()1,22如果函数)(xfy对任意 x1, x2，当 x1 x2时，有 ，则称)(xfy是单调减少的.应该填写：)()(21xfxf3已知xxxftan1)(，当时，)(xf为无穷小量应该填写：0x4过曲线xy2e上的一点（ 0，1）的切线方程为应该填写：12xy5若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e=.应该填写：cFx)e(6xxde03=应该填写：317设13230201aA，当a时，A是对称矩阵 .应该填写： 0 8.设DCBA,均为n 阶矩阵，其中CB,可逆，则矩阵方程DBXCA的解X应该填写：11)(CADB9设齐次线性方程组11mnnmOXA，
12、且)(Ar = r n，则其一般解中的自由未知量的个数等于应该填写： n r10线性方程组AXb的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 / 14 110000012401021dA则当d=时，方程组AXb有无穷多解 .应该填写： - 1 三、计算题1设xxy1)1ln(1，求)0(y. 解：因为2)1()1ln(1 )1(11xxxxy=2)1 ()1ln(xx所以)0(y=2)01()01ln(= 0 2设2ecosxxy，求yd解：因为21sin2 e2xyxxx所以2sind(+2
13、 e )d2xxyxxx3xxxd)2sin(ln解：xxxd)2sin(ln=)d(22sin21dlnxxxxx =Cxxx2cos21) 1(ln4xxxdln112e0解：xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=) 13(25 设 矩 阵021201A，200010212B，242216C， 计 算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 / 14 )(TCBAr解：因为CBAT=200010212022011242216 =042006242216 =200210且CBAT=
14、001002200210所以)(TCBAr=2 6设矩阵521,322121011BA，求BA1解：因为102340011110001011100322010121001011146100135010001011146100011110001011146100135010134001即1461351341A所以9655211461351341BA7求线性方程组03520230243214321431xxxxxxxxxxx的一般解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 / 14 解：因为系数矩阵111011101201
15、351223111201A000011101201所以一般解为4324312xxxxxx（其中3x，4x是自由未知量）8当取何值时，线性方程组1542131321321xxxxxxxx有解？并求一般解解 因为增广矩阵15014121111A26102610111100026101501所以，当=0 时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：26153231xxxx(x3是自由未知量四、应用题1某厂每天生产某种产品q件的成本函数为9800365. 0)(2qqqC（元） . 为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？解：因为C q( )=C qq( )=0 5369800.
16、qq（q0）C q( )=( .)0 5369800qq=0 598002.q令C q( )=0，即0 598002.q=0，得q1=140，q2= - 140（舍去） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 / 14 q1=140 是C q( )在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q1=140 是平均成本函数C q( )的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为C()140=0 5140369800140.=176 （元 /件）2已知某产品的销售价格p（单位：元件
17、）是 销量q（单 位：件）的函 数pq4002，而总成本为C qq( )1001500（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：由已知条件可得收入函数R qpqqq( )40022利润函数)1500100(2400)()()(2qqqqCqRqL150023002qq求导得L qq( )300令Lq( )0得q300，它是唯一的极大值点，因此是最大值点此时最大利润为L()30030030030021500435002即产量为300件时利润最大最大利润是43500 元 3生产某产品的边际成本为Cxx( )8(万元 /百台 )，边际收入为( )100R x
18、2x（万元 /百台），其中x 为产量，若固定成本为10 万元，问（1）产量为多少时，利润最大？（2）从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？解 （1）边际利润LxRxCx( )( )( )()1002810010xxx令Lx( )0，得x10（百台）又x10是L x()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x( )存在最大值，故x10是L x( )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 / 14 （2）利润的变化LLxxxx( )()101210121001
19、0dd()10052021012xx即从利润最大时的产量再生产2 百台，利润将减少20 万元。张丹丹： 经济数学基础与会计有什么关系？顾静相： 经济数学基础是会计学科的基础课程。李小琴： 请教一下老师这道题怎么做？求解下列微分方程的初值问题 y=e2X-y ，y(0)=0 顾静相： 请问方程中e2X 是指数函数吗，这是一个一阶线性非齐次方程，可以用教材中的公式求之。谭秀清： 计算题以哪方面为主？顾静相： 您可以看教案辅导栏目中的模拟试卷。刘赛新： 关于考试范围请问老师：今年的经济数学基础12 考试的应用题是考哪种类型的题？顾静相： 教材、作业册、期末复习指导和这几年的模拟试卷中的应用题。刘赛新
20、： 谢谢老师。几年考的应用题都是同一类型的题，而且都是20 分顾静相： 是 20 分。刘赛新： 今年数学考试难吗？老师：您好！我觉得数学学习起来很吃力，老师能否告知今年的考试卷型及所占分数比例，我想重点复习占分比较多的部分。顾静相： 关于考试的详细情况请您看本课程的考核说明和近两年的模拟试卷吧，您能知道题型和难度了。何静： 数学有很多题目都不是很会，考试卷目难度会不会很大？顾静相： 还可以吧，建议您到教案辅导栏目中看近两年的模拟试卷，您就会知道了。何静： 今年考试的应用题主要是求哪方面的内容？顾静相： 教材、作业册、期末复习指导和这几年的模拟试卷中的应用题岑荣康： 顾老师您好！请教考试复习问题
21、期末考试的题型和考试重点与上学期有什么变化没有？如有，请您说明一下，可以吗？是否还会有模拟试卷？顾静相： 题型和重点与上学期基本一样，模拟试卷已经挂在教案辅导栏目中。岑荣康： 谢谢您！顾静相： 不客气。刘赛新： 顾老师您好！请问今年的考试范围及题型，是不是很难？我个人觉得数学很难！顾静相： 您可以看本课程的考核说明和近两年的模拟试卷吧，能知道题型和难度了。邰照波： 你好，顾老师。今年考试有微分方程的计算题吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 / 14 顾静相： 没有微分方程的计算题。邰照波： 非常感谢。顾静
22、相： 不客气。岑荣康： 顾老师您好！应用题还是考利润最大和平均成本最低吗？其他考试点有何变化？顾静相： 这不好说，您可以看近几年的模拟试卷，再归纳一下。您就知道考试的重点了。刘赛新： 谢谢老师，最近两年的我都看了，也试着做了一些题目，觉得难度偏上。顾静相： 那您的基础是比较差的，因为这两年的及格率是比较高的，您要好好复习，加油！刘赛新： 谢谢老师的鼓励，我尽力加油！顾静相： 祝您取得好成绩。刘赛新： 老师：难道今年的考题和最近两年的考题大同小异？顾静相： 题型和难度是基本一样的。何静： 老师好！今年考试的范围主要是哪些，跟近两年的题目会有很大的区别吗？顾静相： 重点可以看期末复习指导，题型和难
23、度应该基本一样。唐敏： 顾老师您好！请教问题！设y=lg2x. 则 dy=？顾静相： 先求该函数的导数，再写出它的微分dy。刘慧芳： 顾老师您好！请问今年计算题的范围是哪些？“不定积分”吗？顾静相： 计算题有导数、积分、矩阵和方程组求解四种。刘慧芳： 谢谢顾老师！顾静相： 不客气。邰照波： 顾老师，今年考试，微积分计算题本期是否只考导数和积分，没有考极限和微分方程？顾静相： 是的。刘赛新： 用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法。老师，这样的题型出考题时请尽量考虑我们基础比较差的同学，请手下留情。谢谢老师！顾静相： 请不要太担心，您只要把作业和模拟试卷中的应用提做会了
24、应该就可以了。刘赛新： 多谢老师提醒。谢谢老师，您辛苦啦！学生心中有数啦。邰照波： 顾老师，我们提问最多的就是关于考试的问题了。线性代数计算题往年只考了2个题，求逆矩阵和解线性方程组，今年也是这样吗？顾静相： 是的，一般不会变的，按照作业和这两年的模拟试卷复习吧。刘田： 请问顾老师！今年考试的题型有哪些？顾静相： 与上一届一样，您可以看模拟试卷。张启林： 顾老师好！今天的文本挂网上吗？有模拟题吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 / 14 顾静相： 张老师，您好！活动结束后一两天就会挂在网上，模拟试卷已经挂
25、在网上。艾慧： 老师今年考试的题型会和往年的一样吗？我觉得经济数学这门课程比较难学，有什么更好的方法去学习它吗？顾静相： 一样的。建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。瞿炜： 顾老师，各位老师下午好。顾静相： 瞿老师，您好！最近忙吗？江枫： 经济数学基础学习辅导（二）顾静相： 现在是活动的时间，欢迎您参加！杨先林： 顾老师好！顾静相： 杨老师，您好！谢谢您这么关心我们的教案活动。周定： 顾老师你好！请问顾老师今年的应用题考试范围是哪一块？顾静相： 微分和积分的都有可能的，复习要全面。王惠书：
26、顾老师下午好。顾静相： 王老师您好！杨先林： 考试卷型与往届相同吧？顾静相： 是的。易丹： 请问老师，应用题会考什么样的题型呢？谢谢顾静相： 考试卷型与往年一样。杨先林： 行考作业题目占期末考试卷目70%吗？顾静相： 好像不是吧，但作业一定要重视。宋琼： 请问老师，为什么上课的时候我都懂，回家单独做就晕了？顾静相： 您应该听完课马上复习，并及时做作业，巩固学到的知识。宋琼： 谢谢老师，不管怎样我会努力的。蒋玉兰： 顾老师：您好！宁波电大前来报到。不知什么原因，我自己的电脑一直进不去。折腾了半天，现在借同事的电脑上线。顾静相： 蒋老师，辛苦了。蒋玉兰： 今天上午，我们召开了全大市该课程的研讨会。
27、各教案点辅导教师就本课程教案安排和实施进行了交流，对教案过程中存在的问题也进行了讨论，到时我整理一下，向顾老师汇报。顾静相： 太好了，请您务必发给我，谢谢。胡晶： 顾老师好！本学期课程考试有没有新情况？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 / 14 顾静相： 胡老师，您好！没有什么新变化，因为学校实行是卷库，这次的试卷以前就出好了。王惠书： 顾老师你好，隐函数求导数或微分期末考试中出题吗？顾静相： 现在一般不会考的。王惠书： 谢谢顾老师。刘田： 请问老师！今年的考试应用题，计算题所占的比例大概是多少？会有填空题
28、和选择吗？希望老师手下留情噢，作业本上好多题不会做。顾静相： 关于考试卷型您可以看模拟试卷。胡晶： 顾老师好！本学期考试有变化吗？王惠书： 胡老师好。本学期考试没有变化王惠书： 积分的几何应用掌握到什么程度？顾静相： 按大纲要求吧。宋琼： 老师，您好，刚学完微积分，这会要学线性代数了，好困难，基础差，怎么办？顾静相： 建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。蔡美香： 老师好，请问：考好多分及格？顾静相： 60 分及格。罗莎： 请问顾老师，我们马上就要考试了，主要考哪些方面的内容？一共有这么多书，
29、有很多都还不是很懂。顾静相： 您看了考核说明了吗？请看一下就知道考试的范围了。王惠书： 顾老师你的邮箱？我们写了一篇关于电大专科数学课程设置的设想，给您发过去，请您提意见。顾静相： 罗莎： 请问顾老师，考试主要有些什么样的题型？顾静相： 请您看模拟试卷吧。何静： 老师，我觉得数学有点难度，出题目的时候请手下留情噢。顾静相： 请您好好复习，要把作业的题都会做，考试不会太难的。尤观连： 老师下午好！请问老师期未复习指导书的题考试会占50%吗？谢谢！顾静相： 不能这么说吧，您可以把重点放在作业，模拟试卷和期末复习指导上。黄华： 请问顾老师，我们考试时有应用题吗？是跟第四次作业后面一样的吗？顾静相：
30、 有应用题题型，您可以看模拟试卷。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 / 14 蔡美香： 老师好请问：选择题占好多分？顾静相： 15 分。尤观连： 老师：请问应用题是考利润最大还是最低平均成本？谢谢！顾静相： 都有可能，都要复习。邓美兰： 老师，下午好！一学期快要结束了！顾静相： 您好！刘赛新： 老师，刚才的题目还没讲完吧？请老师再辛苦一下！顾静相： 没有时间了，过几天您从网上下载吧。付佑慧： 顾老师，您好！我是黑龙江电大付佑慧。刚才我们参加了黑龙江电大宋有校长的离任审计会议，所以才来参加网教。顾静相： 付老
31、师，您好！李蓉： 老师，你好！请问我们学了那么多的公式中，导数、极限、积分、不定积分和微分用的最多的公式是？顾静相： 都很有用，应该都要掌握。王晓丹： 请教老师不知道怎么输入公式，所以用附件方式传上来顾静相： 用导数的乘法运算法则求解。王晓丹： 请教老师。顾静相： 用分部积分法来求。彭宏： 如何学懂数学？顾静相： 建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。张玉婷： 学的行微积分不明白，要怎么才能明白一下呀？顾静相： 建议你阅读一下置顶的董楠同学的“浅谈如何学习经济数学”，和林丹同学“学习经济数学课程，一定要注意以下几点”的帖子，这对你的学习一定有帮助的。顾静相： 今天的活动到此结束，谢谢大家的参与。再见！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
