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1、第五章第五章 频率响应法频率响应法5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.2 5.2 系统的开环频率特性系统的开环频率特性5.3 5.3 频率法中的稳定性分析频率法中的稳定性分析5.4 5.4 系统的闭环频率特性系统的闭环频率特性5.5 5.5 频率特性与瞬态响应频率特性与瞬态响应其微分方程是 RC网络第一节 频率特性的基本概念式中T=RC（51）网络的传递函数为如果激励信号是一个正弦电压,即 由式(5-1)可得式中第一项为输出电压的瞬态分量, 第二项为稳态分量。 取拉氏反变换,得电容两端的输出电压（52）随着t趋于无穷大,瞬态分量趋于零,于是显见，和 都是输入电压频率w的函数
2、。前者称为RC网络的幅频特性,后者称为RC网络的相频特性。 0 1/T 2/T 3/T0 1/T 2/T 3/TRC网络幅频和相频特性将上式展成部分分式为 则系统输出c(t)的拉氏变换为 C(s) = 系统对正弦输入信号r(t)的响应为 假定输入信号其拉氏变换在一般情况下传递函数G(s)可写成下列形式 式中系统r(t)c(t)一般的线性定常系统系统的传递函数其中系统对正弦输入信号的稳态响应特性。系统对正弦输入信号的稳态响应特性。频率特性：频率特性：其振幅比依赖于角频率其振幅比依赖于角频率w w的函数的函数G(w w)称为称为系统的系统的幅频特性幅频特性；其稳态输出信号对正弦输入信号的相移其稳态
3、输出信号对正弦输入信号的相移f f(w w)称为系统的称为系统的相频特性相频特性。系统的频率特性系统的频率特性G(jw w)可以通过系统的传可以通过系统的传递函数递函数G(s)来求取：来求取：第二节系统的开环频率特性第二节系统的开环频率特性频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图系统的开环频率特性通常有三种表达形式系统的开环频率特性通常有三种表达形式:1.通过频率特性通过频率特性G(jw w)的模的模| G(jw w)|与相与相G(jw w)在在极座标中表示的图形极座标中表示的图形,称为称为极座标图极座标图(Polar plot)或奈魁斯特图或奈魁斯特图(
4、Nyquist plot)。2.通过半对数座标分别表示幅频特性和相频特通过半对数座标分别表示幅频特性和相频特性的图形性的图形,称为称为对数坐称图对数坐称图(Logarithmic plot)或或伯德图伯德图(Bode plot)。3.用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成用伯德图中的幅频特性与相频特性统一绘制成的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特的图形来表示系统的频率特性。这种表达频率特性的图形称为性的图形称为对数幅相图（对数幅相图（Log-magnitude-phase diagram）或尼柯尔斯图或尼柯尔斯图(Nichols chart)。一、 频率特性的极坐标图 开环系统的传递函
5、数是由一系列开环系统的传递函数是由一系列具有不同传递函数的典型环节所组成具有不同传递函数的典型环节所组成0（一）典型环节的极坐标图（一）典型环节的极坐标图1、比例环节、比例环节幅频特性幅频特性:相频特性相频特性:传递函数传递函数:G(s)= K2、惯性环节、惯性环节传递函数传递函数幅频特性：幅频特性：相频特性相频特性：（一）典型环节的极坐标图（一）典型环节的极坐标图0K03、积分环节、积分环节传递函数传递函数幅频特性：幅频特性：相频特性相频特性：（一）典型环节的极坐标图（一）典型环节的极坐标图4、微分环节、微分环节传递函数传递函数G(s)=Ts相频特性相频特性：0（一）典型环节的极坐标图（一）
6、典型环节的极坐标图幅频特性：幅频特性：01.05、振荡环节、振荡环节传递函数：传递函数：幅频特性幅频特性：相频特性相频特性：（一）典型环节的极坐标图（一）典型环节的极坐标图6、滞延环节、滞延环节0传递函数：传递函数：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：（一）典型环节的极坐标图（一）典型环节的极坐标图(二二)系统的开环幅相频率特性曲线系统的开环幅相频率特性曲线开环系统的频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积开环系统的频率特性通常是若干典型环节频率特性的乘积极坐标形式：极坐标形式：求系统的开环幅相特性：求系统的开环幅相特性：分别求出系统各串联环节频率特性的幅值及相角分别求出系统各串联环节频率
7、特性的幅值及相角,然后算出不同频率下开环系统频率特性的幅值及然后算出不同频率下开环系统频率特性的幅值及相角相角,从而就可绘制极坐标图。从而就可绘制极坐标图。020例例5-1系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。试绘制其奈氏图。当当时时幅值：幅值：相角：相角：当当时时幅值：幅值：相角：相角：例例5-2系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=,试绘制其奈氏图。试绘制其奈氏图。0KT当当时时幅值：幅值：相角：相角：当当时时幅值：幅值：相角：相角：渐近线横坐标：渐近线横坐标：例例5-3系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。试
8、绘制其奈氏图。0当当时时幅值：幅值：相角：相角：当当时时幅值：幅值：相角：相角：例例5-4系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。试绘制其奈氏图。K幅值和相角分别为幅值和相角分别为:先绘制惯性环节先绘制惯性环节G1(jw w)的极坐标的极坐标图图 在每一个频率w上幅值保持不变,相角再增加-wt,即得该系统的奈氏图 二、频率特性的对数坐标图二、频率特性的对数坐标图 ( (一一) ) 对数频率特性图的坐标对数频率特性图的坐标0.10.20.40.60.8124681020406080100一个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）一个单位（十倍频程）
9、0.10.20.40.60.812468102040608010040200-20-40若系统的开环传递函数为若系统的开环传递函数为G(s),则开环对数则开环对数幅频特性曲线的纵轴是幅频特性曲线的纵轴是20lgG(w w)。对数幅对数幅频特性的横轴是频率频特性的横轴是频率w w,采用采用lgw w分度分度,单位单位为孤度秒为孤度秒,用用rads表示。表示。表示频率特性的对数幅频特性曲线和对数表示频率特性的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线统称为伯德图。相频特性曲线统称为伯德图。1、比例环节、比例环节传递函数传递函数:G(s)= Kdb40200-20-400.11.0101000.010.11
10、.0101000.0120LgK对数幅频特性对数幅频特性20lgG(w w)=20lgK相频特性相频特性j j (w w) )=0（二）基本环节的（二）基本环节的BODEBODE图图1、比例环节、比例环节db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.012、积分环节、积分环节传递函数传递函数:G(s)=1/s对数幅频特性对数幅频特性20lgG(w w)=-20lgw w相频特性相频特性（二）基本环节的（二）基本环节的BODEBODE图图db40200-20-400.11.0101000.010.11.0101000.013、微分环节、微分环节传递函数传递函数
11、:G(s)=s对数幅频特性对数幅频特性20lgG(w w)=20lgw w相频特性相频特性（二）基本环节的（二）基本环节的BODEBODE图图db100-10-20-300.050.10.20.51.02.0510200.050.10.20.51.02.0510204、惯性环节、惯性环节传递函数传递函数:对数幅频特性对数幅频特性，为对数幅频特性的高频段，为对数幅频特性的高频段相频特性相频特性渐近线渐近线精确曲线精确曲线转角频率转角频率（二）基本环节的（二）基本环节的BODEBODE图图当当，为对数幅频特性的低频段，为对数幅频特性的低频段当当，为对数幅频特性的转角频率，为对数幅频特性的转角频率5
12、、振荡环节、振荡环节传递函数传递函数:db100-10-200.10.20.412410-30=0.1=0.5=0.2=0.3=0.7=0.2相频特性相频特性对数幅频特性对数幅频特性当当1时时,即高频段渐近线即高频段渐近线当当P, N为正值，包围方向为顺时针;若P, N为负值，包围方向为逆时针。 这种映射关系,称为映射定理。二、奈魁斯特稳定判据二、奈魁斯特稳定判据设系统的特征方程为设系统的特征方程为F(s)=1+G(s)H(s)=0系统的开环传递函数可以写为系统的开环传递函数可以写为代入特征方程代入特征方程,可得可得奈魁斯特轨迹映射图奈魁斯特轨迹映射图闭环系统稳定的充分和必要条件是：系统特征方
13、程式的根, 即F(s)的零点,都位于S平面的左半平面,或者说F(s)的所有零点都不在S平面的右半平面内。 F（jw）=1+G(jw)H(jw)G(jw)H(jw)奈魁斯特稳定判据:(1)对于开环稳定系统(即P=,G(s)H(s)在右(2) 半S平面无极点 ),当且仅当开环频率特性(3) 曲线G(jw)H(jw)不通过也不包围(-1，j0)(4) 点时,即N = 0,闭环系统才是稳定的。(2) 对于开环不稳定系统(即P0,G(s)H(s) 在右半S平面含有P个极点),当且仅当开 环频率特性曲线G(jw)（jw）逆时针包 围(-1, j0)点的次数N等于开环传递函数 G(s)H(s)在右半S平面的
14、极点数P时,即 N = -P, 闭环系统才是稳定的。 例例5-6系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。试绘制其奈氏图。0100例例5-7系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=试绘制其奈氏图。试绘制其奈氏图。0100例例5-8系统开环传递函数是系统开环传递函数是G(s)H(s)=(1)试分析不同试分析不同K值值时系统的稳定性时系统的稳定性;(2)确定当确定当T1=1，T20.2和和K=0.75时系统的幅值裕时系统的幅值裕量。量。当当K (T1+T2)/T1T2时时, G(jw w)H(jw w) )曲线包围了曲线包围了(- -1,j0)点点,此时闭
15、环系统是不稳此时闭环系统是不稳定的。定的。开环系统的幅相频率特性为开环系统的幅相频率特性为:(2)系系统统的的幅幅值值裕裕量量定定义义为为开开 环环 福福 相相 频频 率率 特特 性性G(jw w)H(jw w) )曲曲线线与与负负实实轴轴交点处幅值的倒数交点处幅值的倒数,即即将将T1=，T2=0.5和和K=0.75代入代入,则则以分贝数表示以分贝数表示,则则三、奈魁斯特判据三、奈魁斯特判据的的物理意义物理意义-1奈魁斯特稳定判据的数学表达式奈魁斯特稳定判据的数学表达式：当当G(jw w)H(jw w) )=- -180时，时，奈魁斯特判据奈魁斯特判据的的物理意义：物理意义：G(s)H(s)R
16、(s)C(s)G(s)H(s)1/H(s)R(s)C(s)把非把非单位负反馈变成单位负反馈单位负反馈变成单位负反馈-1Erttttrccec四、相对稳定性四、相对稳定性(Relative stability)开环系统特率特性开环系统特率特性G G( (jwjw) )H H( (jwjw) )与与( (-1, -1, j0j0) )点的点的远近程度可用来表示闭环系统的稳定程度。远近程度可用来表示闭环系统的稳定程度。w =0w =0w =w =Imw w cf f (w wc)w wg-1Rew w cw wg稳定系统稳定系统1/Kgf f (w wc)Imw w cw =0w =0w =w =w
17、 wg-1Re不稳定系统不稳定系统w w cw wg1/Kg2.幅值裕量（幅值裕量（Gain margin）Kg 频率频率w wg称为系统的相角交界称为系统的相角交界频率频率1.相角裕量相角裕量(Phase margin)g gg=180+f f (w w c)式中式中w w c称为系统的交界频率，称为系统的交界频率，或者剪切频率或者剪切频率例例5-10一单位反馈控制系统一单位反馈控制系统,试求当试求当K=10和和K=100时时,系统的相角裕量和幅值裕量。系统的相角裕量和幅值裕量。R(s)C(s)w w cw wg0.050.10.20.512510200.050.10.20.51251020
18、2、K100由图可得系统的相由图可得系统的相角裕量和幅值裕量角裕量和幅值裕量分别为分别为g g =- -25Kg =- -12db1、K10由由图图可可得得系系统统的的相相角角裕裕量量和和幅幅值值裕裕量量分别为分别为 g g=21 Kg=8db第四节第四节 系统的闭环频率特系统的闭环频率特性性闭环频率特性与开环频率特性关系闭环频率特性与开环频率特性关系 等等M圆图圆图 等等N圆图圆图 尼柯尔斯图尼柯尔斯图 （一）、闭环频率特性与开环频率特性关系（一）、闭环频率特性与开环频率特性关系对于单位反馈系统对于单位反馈系统,闭环频率特性与开环闭环频率特性与开环频率特性之间的关系为频率特性之间的关系为：O
19、AP-1,j0当当w w w w1时时,开环幅相频率开环幅相频率闭环频率特性闭环频率特性（二）、等（二）、等M圆图圆图 等M圆是在复平面上表示闭环频率特性等幅值的一族圆。如果将开环频率特性表示为G(jw)=U(w)+j(w)，则闭环频率特性为 幅频M为配方整理后得 圆心和半径分别为 43122112021ReIm0.80.6M0.4M1.21.61.43.01.32.0M5.0（三）三）、等、等N圆图圆图等N圆是复平面上表示闭环频率特性等相角的一族圆。 如果将开环频率特性表示为G(jw)=U(w)+j(w)，则闭环频率特性为 相角为令则整理后得 配方整理得 圆心和半径分别为 配方整理后得 圆心
20、和半径分别为 312211201ReIm（四）、（四）、尼柯尔斯图尼柯尔斯图 尼柯尔斯图可以用将等M圆和等N圆转换到对数幅值和相角坐标图上的方法获得。由两组曲线组成 ：一组是对应于闭环频率特性的幅值(20lgM)为定值时的轨迹;另一组是对应于闭环频率特性的相角(q )为定值的轨迹。尼柯尔斯图的横坐标是开环频率特性的相角,纵坐标是开环对数频率特性的幅值20lgG(w)。ReM=1.143122112021Im0.8M=0.6M1.2M=1.4M=1.1M=2.034由等由等M圆和等圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线圆画闭环系统频率响应曲线312211201ReIm由等由等M圆和等圆和等N圆画闭环系
21、统频率响应曲线圆画闭环系统频率响应曲线201.510.5由等由等M圆和等圆和等N圆画闭环系统频率响应曲线圆画闭环系统频率响应曲线 例例5-10 试绘制下列系统开环频率特性的试绘制下列系统开环频率特性的 闭环对数坐标图。闭环对数坐标图。 先作出该系统的开环对数坐标图。再利用该图绘制开环对数幅相图,并将它绘在尼柯尔斯图上。根据开环对数幅相图与等M线和等q线的交点或切点,可以求出闭环对数坐标图。用尼柯尔斯图由开环对数用尼柯尔斯图由开环对数幅相图求闭环对数坐标图幅相图求闭环对数坐标图开环对数幅相图与6.3dB等M线相切,即谐振峰值Mr为6.3dB,谐振频率wr为0.9rad/s,而带宽频率wb为1.7
22、rad/s。 第五节第五节 频率特性与瞬态响频率特性与瞬态响应应二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系 高阶系统的频域性能指标及高阶系统的频域性能指标及近似处理近似处理 （一）、二阶系统的频域性能指标（一）、二阶系统的频域性能指标与阻尼比的关系与阻尼比的关系二阶系统闭环传递函数的标准形式是二阶系统闭环传递函数的标准形式是式中式中z z 阻尼比阻尼比;w wn无阻尼自然频率。无阻尼自然频率。二阶系统的闭环频率特性二阶系统的闭环频率特性1.谐振频率谐振频率w wr当当0z z0.707时时,若若M()在在某某一一频频率率处处有有极大值。极大值。00.20.40.6
23、0.81.00.20.40.60.81.0二阶系统的二阶系统的w wr、w wd与与z z的的曲线曲线2.谐振峰值谐振峰值Mr二二阶阶系系统统超超调调量的计算公式是量的计算公式是00.20.40.60.81.0123M r,s s 与与z z的关系曲线的关系曲线3.带宽频率带宽频率w wb截截止止频频率率w wb 是是闭闭环环频频率率特特性性的的幅幅值值降降为为=0.707时的频率值，又称为时的频率值，又称为带宽频率带宽频率。二阶系统二阶系统w w b、t p随随z z 变化的曲变化的曲 线线00.20.40.60.81.00.20.40.61.00.81.21.41.6123546784.相
24、角裕量相角裕量g g相角裕量相角裕量g g ：开环频率特性幅值为开环频率特性幅值为1时的时的相角与相角与180之和之和。二阶系统的相角裕量为二阶系统的相角裕量为 当当z z 0.7的的范范围围内内,它它们们的的关关系系可可以以近近似似地地表示为表示为 z z =0.01g g 00.40.81.21.62.0g g 与与z z 的关系曲线的关系曲线 M/dB典型闭环幅频特性（二）、高阶系统的频域性能指标及近似处理（二）、高阶系统的频域性能指标及近似处理 (2) 谐振频率wr谐振峰值出现时的频率称为 谐振频率,它在一定程度上反映了系统瞬 态响应的速度。 0dB-3dB（1）谐振峰值Mr：闭环幅频特性M(w)的最大值。 通常希望系统的谐振峰值在1.1至1.4之间,相当于0.4 0.7。 (3) 截止频率或带宽频率wb当系统闭环幅频 特性的幅值M(w)降到零频率幅值的0.707 (或零频率分贝值以下3dB)时,对应的频率 wb称为截止频率。0至wb的频率范围称为 系统的带宽。 (4)剪切率 在剪切频率wc附近开环对数幅频特性的斜率称为剪切率。
