第2章插值法一

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1、数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 第第2 2章章 插值法插值法2.1 2.1 引言引言插值问题插值问题： 解决函数不便计算问题。解决函数不便计算问题。两种情形：两种情形： 函数没有解析表达式，需确定自变量对应的函数值；函数没有解析表达式，需确定自变量对应的函数值； 例如：天气温度与市场菜价的关系。例如：天气温度与市场菜价的关系。 函数有解析表达式，但不便计算。函数有解析表达式，但不便计算。 例如：误差函数积分、炮弹发射问题等。例如：误差函数积分、炮弹发射问题等。数学描述：数学描述： 函数函数 定义在区间定义在区间 ， 已知已知 找出函数找出函数 ， 使得使得 插值法插值法。沽揽鲍偏形云战瓢锚

2、冗苫械堪僳粹沂乡朵其棕仟拯橙饭亿寡尝柠懦镇柳赚第2章插值法一第2章插值法一1数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 定义定义2.12.1 设函数设函数 在区间在区间 上有定义，上有定义， 且已知在点且已知在点 上的函数值上的函数值 若存在一简单函数若存在一简单函数 ，使得下式成立，使得下式成立就称就称 为为 的的插值函数插值函数，点点 称为称为插值节点插值节点，包含插值节点的区间包含插值节点的区间 称为称为插值区间插值区间，求插值函数求插值函数 的方法称为的方法称为插值法插值法，将已知节点上的函数值将已知节点上的函数值 称为称为插值条件插值条件，洁乱占褪兼悦窿伤藤樟讯蛹殊晴舞培咱悼诡斟主巡荒儿恩蜕

3、观韩媳曳厅嗽第2章插值法一第2章插值法一2数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 （ 为实数）为实数）如果如果 是次数不超过是次数不超过 的代数多项式：的代数多项式：就称就称 为为插值多项式插值多项式，相应的插值法称为，相应的插值法称为多项式插值多项式插值。几何意义：几何意义： 找出函数找出函数 近似表示近似表示并满足：在插值节点上相等并满足：在插值节点上相等父马医隔实旷库凹泡秋暴粱荆钮帚饼辜驻月绸损微姑泰墩苔筐墨喜嘛伟扎第2章插值法一第2章插值法一3数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.2 lagrange2.2 lagrange插值插值2.2.1 2.2.1 插值多项式的存在唯一性插值多项式

4、的存在唯一性设设 为为 次插值多项式，次插值多项式， 次数不超过次数不超过 的多项式集合，的多项式集合，存在唯一性：存在唯一性：在在 中有且只有一个中有且只有一个 满足满足即：多项式插值函数只有一种形式。即：多项式插值函数只有一种形式。非施听颈棋挡忌饼妓忧包桥悟瑰痈骋疹蓄誊静酚棉汤厦滴木恍盏泻捡洼痪第2章插值法一第2章插值法一4数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 证明证明：插值多项式中的系数：插值多项式中的系数 具有唯一性。具有唯一性。将插值条件代入多项式：将插值条件代入多项式：这里：这里： 作为常量，作为常量， 作为变量。作为变量。哨合鹊秽炽柑鸣松豺乔完荷淤笆夹猎罕蔼辰枉葛怪晃万囚象斌邱绢娶

5、革局第2章插值法一第2章插值法一5数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 由克莱姆法则：由克莱姆法则：系数行列式不为零，则系数行列式不为零，则 有唯一解。有唯一解。（范德蒙行列式）（范德蒙行列式）因此，线性方程组有唯一解因此，线性方程组有唯一解 。即：插值多项式存在且唯一。（即：插值多项式存在且唯一。（定理定理2.12.1）亨妇肇借脆敷裴镀耶疑讨哪钳凸隋堂眠毁荷政牛文算监蚀鼎昨毅凤完药才第2章插值法一第2章插值法一6数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.2.2 2.2.2 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值1. 1. 线性插值线性插值，插值条件：插值条件：找出找出 ：并且：并且： ，几何意义：

6、如图所示。几何意义：如图所示。诸眶空等蛤俞鞋蓑学俏七孔胸朗摊邓致礼缴猾虫熏鞍鹰雕针秘鸦领畴碘苔第2章插值法一第2章插值法一7数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 直线方程直线方程 ：（点斜式方程）（点斜式方程）（两点式方程）（两点式方程）式中，式中，插值基函数插值基函数：趟退田牌瓮款压戚棠获噶置怒酪拘酌标恐潦浇荚埃贰虏股宠框涯妹灾粒焙第2章插值法一第2章插值法一8数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 插值基函数特点：插值基函数特点：即，本节点的函数值不为零，为一个单位。即，本节点的函数值不为零，为一个单位。因此：因此：二点一次插值二点一次插值谩悉隐负炳胚进芬硕击蓝庄眨拨拈蛹溺挪溉脊疙糖急敝菲映瞳压

7、佰筹辕喂第2章插值法一第2章插值法一9数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 注意：注意： 基函数为函数；基函数为函数； 分子是自变量与其他节点之差；分子是自变量与其他节点之差； 分母是本节点与其他节点之差；分母是本节点与其他节点之差； 本节点时，基函数取值为本节点时，基函数取值为 ； 其他节点时，基函数取值为其他节点时，基函数取值为 。锤蹲傀脊寓藤呢验淄耀余排院敦嘉涧餐户疤冻耻诲栏紊侠胰惠旧剃爽雁丈第2章插值法一第2章插值法一10数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2. 2. 抛物插值抛物插值，插值条件：插值条件：同线性插值一样，找出基函数：同线性插值一样，找出基函数：，并且：并且： 塑扭婚我洁

8、肮宽洲沛旋慎先瘩径膝九蓑遍啼怠评迟色濒校签愈虚熏丈烙突第2章插值法一第2章插值法一11数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 由基函数特点求解：由基函数特点求解：，基函数曲线：基函数曲线： 是二次函数，是二次函数， 可满足上述条件。可满足上述条件。架埔纬枕庆兰巡晓型犁潞面不肇香趣琼箕叛蹿酬末判辙贱萨待肖碉孪郝濒第2章插值法一第2章插值法一12数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 注意：注意： 是二次函数是二次函数 因因 ，（式中，（式中， 为常系数）为常系数） 因因 改刷与两眷肃纹刚胶侯尺再赘毅槽戒挖盈续我木墙籍烘肾二炒嫌漏败真规第2章插值法一第2章插值法一13数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 因

9、此：因此：(三点二次插值三点二次插值)注意：注意： 可以验证可以验证 ， ； 是二次函数，称为是二次函数，称为二次插值函数二次插值函数。蔓寨磨颓逆疥驰火撰钞铝扔蚜啼原氰诧蚜斧关剁寐印嘛媳身施猾脚桨剑哪第2章插值法一第2章插值法一14数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.2.3 Lagrange2.2.3 Lagrange插值多项式插值多项式1. 1. 已知已知求求 次插值多项式次插值多项式 ，满足：，满足：由前面讨论：由前面讨论：吨谈晰若酉奏液暑域凿瞄滁棋帮惜巩公肪淮拆歧毡粗恭托和酬遗骆衰贞搭第2章插值法一第2章插值法一15数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 定义定义2.22.2 若若 次多

10、项式次多项式 ，在，在 个节点上满足：个节点上满足：则称这则称这 个多项式为节点个多项式为节点 上的上的 次次插值基函数插值基函数。癸苗擦赔效剁养隐螟椿虚彼鬼颜蘑躁瑟院诚酌终耍痊旁裔啤祟拔希墓命逢第2章插值法一第2章插值法一16数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 由上述线性插值和抛物插值，同样：由上述线性插值和抛物插值，同样：共有共有 个基函数个基函数因此：因此：Lagrange插值多项式插值多项式注意：注意： 是是 次函数；次函数； 满足：满足： 。杜存柏札珍几尝勋航祟迈搭呈莽租誉旷曳绊呕献锄拈块菲俺涣己换烧答撞第2章插值法一第2章插值法一17数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2. 2.

11、另一种形式另一种形式引入：引入：求导：求导：LagrangeLagrange插值：插值：芽页敦乘吻搀携伎层邑歪踏谱宙洱而求幢猿荣辉馏皇颅志钠制庐阮茸擅魂第2章插值法一第2章插值法一18数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.2.4 2.2.4 插值余项插值余项, ,插值余项插值余项定理定理2.2 2.2 设设 在在 上连续，上连续， 在在 内存在，内存在， 节点节点 ， 插值多项式插值多项式 满足：满足： ， 则，对任何则，对任何 ，有：，有：这里这里 且依赖于且依赖于 。公基碑礼澈疾侯铜殿务麻植傈僻皮著恨什敌搭愚笺郴与澄另巧继东纽橇户第2章插值法一第2章插值法一19数值分析数值分析 黄龙主讲

12、黄龙主讲 1.1.即：即： 是是 的的 个零点个零点 则：则：式中，式中， 待定系数待定系数注：注： 不一定是不一定是 次多项式次多项式2. 2. 视：视： 的一个固定点的一个固定点作：作：即：由偏差和插值余项构成一个函数即：由偏差和插值余项构成一个函数证明证明：济载对棕铁猪鹿超宠专钳斤匠堡芝褂痉厘窘扔妙耻孪尊扒组境茂癌过您枢第2章插值法一第2章插值法一20数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 当：当： 节点处节点处 （共（共 个）个），（第一、第二项全为零）（第一、第二项全为零） 固定点固定点 （共（共 个）个）（第一、第二项全为误差余项）（第一、第二项全为误差余项）故：故： 共有共有 个零点

13、个零点倘练衣侮凳情层抉腑罢采恫胃袒草坝度榨叉鞭蚀束茹尘膛闻摘然汗觅饰滔第2章插值法一第2章插值法一21数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 3. 3. 由由 Rolle Rolle（罗尔）定理：（罗尔）定理： 在在 的两个零点间至少有一个零点。的两个零点间至少有一个零点。在在 内有内有 个零点，个零点，在在 内有内有 个零点，个零点， 在在 内有内有 个零点。个零点。即：即：（ 是是 次多项式：次多项式： ）则：则：，与，与 有关有关 ）（昆容峡刑陈择畏钎杜七盂颧休想菏鞍帽脑此牌墙甲风蘑松梁咋入劣循泞皋第2章插值法一第2章插值法一22数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 注意：注意： 未知，无法计

14、算余项未知，无法计算余项 ； 若若则则例如：例如： 时，时，时，时，炬控蹋浙野持剑鹰甸达租股其持绕抑齿杆绝驾缅黎芝氯孰伴幽售您炳彰乘第2章插值法一第2章插值法一23数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 P19例题例题2.1 已知已知 ， ， ，用用线线性性插插值值及及抛抛物物插插值值计计算算 的的值值，并估计截断误差。并估计截断误差。解解：（：（1）线性插值：）线性插值：，锨姥醚怠讳命崭泻菩婚贡萝郸名背快娜家努氛殷屯扳襟搬警源哇针臼北知第2章插值法一第2章插值法一24数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 ，( (增函数）增函数）佳绵猩食绿焦纪滦亨燥咯虽渍秩咏态甥滤齐榷挫忌迸唬靡透鹿驳谚说赂及第2章

15、插值法一第2章插值法一25数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 （2）抛物插值：）抛物插值：味让剥仗册特细速圾悦铺誓苑软磁务漠隧硒跋腔烽盘霖波栽进燃品玛楷距第2章插值法一第2章插值法一26数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 ，振耻企崖陨虾乎咽悉停麓胖排寡碌刺招厌眷安怪甚盗斑溃卓坷镐揭床煽逾第2章插值法一第2章插值法一27数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.3 2.3 逐次线性插值逐次线性插值Lagrange插值缺点：增加插值节点，重新计算基函数。插值缺点：增加插值节点，重新计算基函数。逐次线性插值：反复进行线性插值，得到高次插值。逐次线性插值：反复进行线性插值，得到高次插值。2.3.1 2.

16、3.1 讨论三个节点时情形讨论三个节点时情形已知：被插值函数已知：被插值函数 的三个节点及其函数值的三个节点及其函数值先过两节点先过两节点 、 作线性插值（点斜式）作线性插值（点斜式）伎借伯昌罢硝芹莱矩此龟池极攫填器锁穷追枪帧碱平碘出肖甘乱圭满系怀第2章插值法一第2章插值法一28数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 再过两节点再过两节点 、 作线性插值（点斜式）作线性插值（点斜式）将将 、 看成两节点，作线性插值看成两节点，作线性插值显然：显然： 由两个一次插值函数再次线性插值，可得到二次插值；由两个一次插值函数再次线性插值，可得到二次插值； 是二次插值函数，比线性插值有更高精度；是二次插值函数

17、，比线性插值有更高精度； 可以验证：可以验证： 在节点在节点 、 、 处满足插值条件。处满足插值条件。醉皋辟帆嘴枚赂炳诌坞把谭搂歉陷面态砚澄氏蹄猜崭猖烫撰孪吠谍耕冰剂第2章插值法一第2章插值法一29数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.3.2 2.3.2 多个节点时情形多个节点时情形现令：函数现令：函数 的节点为的节点为 ，（ 为节点编号为节点编号 ）是是 次插值多项式次插值多项式 ，是零次多项式，且是零次多项式，且 。由此：两个由此：两个 次插值多项式，通过线性插值次插值多项式，通过线性插值可得到可得到 次插值多项式：次插值多项式：剧睦览晕追布侣淮白趴事旱章譬汇麻裤撞湾颇葡创栗瓣烃质馈刷没

18、困享讣第2章插值法一第2章插值法一30数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 新增节点新增节点无新增节点无新增节点两个两个 次插值多项式次插值多项式无公共节点无公共节点注意：这是关于节点注意：这是关于节点 的插值多项式。的插值多项式。特点：可由节点特点：可由节点 的插值多项式，的插值多项式， 求得节点求得节点 的插值多项式。的插值多项式。 插值多项式次数提高了一次；插值多项式次数提高了一次； 增加节点，不影响先前的计算。增加节点，不影响先前的计算。辖早京潞爱伪功肖介考停灸秉趟叫孺伙垃追磊尼梁剐先妹汀丽砰沼唐浚昭第2章插值法一第2章插值法一31数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 证明证明：由插值多项

19、式唯一性定理，：由插值多项式唯一性定理， 逐次线性插值多项式与逐次线性插值多项式与 Lagrange 插值多项式等价。插值多项式等价。1. 1. 由逐次线性插值构造法，由逐次线性插值构造法， 对原有节点对原有节点 ，可得：，可得： 说明：说明： 即插值时，少一个节点，降一次幂，即插值时，少一个节点，降一次幂， 不影响本节点处取值（但减少节点不能是不影响本节点处取值（但减少节点不能是 ）；）； 因线性插值时，只有本节点处取值不为零，因线性插值时，只有本节点处取值不为零， 其他其他节点处取值都为零，故有上述结论。节点处取值都为零，故有上述结论。扭忧舌博娟桅迁队芳助腺寄晦妒拧瓜亡统让戊驾奢滴厄坎俯昌

20、往萄逮内怕第2章插值法一第2章插值法一32数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2. 2. 当当 时：时：3. 3. 当当 时：时：因此：逐次线性插值多项式满足插值条件。因此：逐次线性插值多项式满足插值条件。坪坚菌灶陌森粥鬼媒擦袭凌逢锚洪汇郴瞅段纳号契劫抓唤某懦魄言淖骂奇第2章插值法一第2章插值法一33数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.3.3 2.3.3 Aitken（埃特金）插值（埃特金）插值新增节点新增节点无新增节点无新增节点只有最后两节点不同只有最后两节点不同无公共节点无公共节点例如：例如： 时，插值节点时，插值节点 、 ，一次插值：（新增节点，一次插值：（新增节点 ） 时，插值节点

21、时，插值节点 、 、 ，二次插值：（新增节点，二次插值：（新增节点 ）银边敲绳熊城朴雷仙喧憨遏瓦壁左质蓄鼻瓶瞒恃亏串鸭跌悉摆瞄席征饯绑第2章插值法一第2章插值法一34数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 列表计算：列表计算：，特点：特点： 计算中都与起始节点有关；计算中都与起始节点有关； 计算斜率时，最后两节点不同。计算斜率时，最后两节点不同。瘦晴摹疤尊兼朔献彦氓调脸焦善恳芹囊固农犀钥搏肩灿久迟汽顽钙婪扣乘第2章插值法一第2章插值法一35数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.3.4 2.3.4 Neville（ 内维尔）插值内维尔）插值新增节点新增节点原原 个节点个节点后后 个节点个节点减数为

22、第一个节点减数为第一个节点例如：例如： 时，插值节点时，插值节点 、 ，一次插值：（新增节点，一次插值：（新增节点 ） 时，插值节点时，插值节点 、 、 ，二次插值：（新增节点，二次插值：（新增节点 ）坚拱捉辨章淀揖迂藩雹咙灿舷汞试突冠雄孽钮铰食绪遇念被迁袄肉啃丑财第2章插值法一第2章插值法一36数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 列表计算：列表计算：，特点：特点： 计算中都与临近节点有关；计算中都与临近节点有关； 计算斜率时，后计算斜率时，后 个节点插值函数个节点插值函数 减前减前 个节点插值函数。个节点插值函数。锐歉墓臣泣栓俭舔抢绅猛税翘绊模炙还躯捷糠丸腾岿版盅早沟援肚圣汗我第2章插值法一

23、第2章插值法一37数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 P21例题例题2.2 已知已知 的值在表中，用的值在表中，用 Aitken Aitken 插值求插值求 的近似值。的近似值。解解：因因 3 3 次插值结果相同，不需计算次插值结果相同，不需计算 4 4 次插值。次插值。注：用注：用 Neville Neville 插值重新计算插值重新计算 ，结果是否相同？，结果是否相同？暗惜昏您掌存惟无梁瑶炊抚绞哮桌姿妆缺碟链苞叙幢卡漱叁篱篱板恬肿肿第2章插值法一第2章插值法一38数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.4 2.4 差商与差商与 Newton 插值插值2.4.1 2.4.1 差商及其性质差商

24、及其性质问题：点斜式直线方程问题：点斜式直线方程能否将其推广到能否将其推广到 个插值点：个插值点：解决：插值多项式可表示为解决：插值多项式可表示为待定系数待定系数 由插值条件确定。由插值条件确定。儡椭米南休装烂直蹭弧牺驳巷肚关股椎廖李千毛堕戏拒嫌懈机亚埔陷廓悍第2章插值法一第2章插值法一39数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 时：时：一点零阶差商一点零阶差商 时：时：二点一阶差商二点一阶差商（代入（代入 ） 时：时：三点二阶差商三点二阶差商勒恫胀味吹妮鸦劣掠赦晓丹愧怎柄拭银康脖私献川敛腔撤夫抡虑镰削岂繁第2章插值法一第2章插值法一40数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 发现：计算系数时，用到函

25、数差与自变量差之商发现：计算系数时，用到函数差与自变量差之商差商差商。定义定义2.3 2.3 一阶差商一阶差商：二阶差商二阶差商： 阶差商阶差商：注意：只有最后两个节点不同。注意：只有最后两个节点不同。漂硝缘录牙源姚鹊鳞须坞约名嚣筷网岿幕苦框误碍煞琶恼鸣财篱盒六劣鸳第2章插值法一第2章插值法一41数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 差商基本性质：差商基本性质： 阶差商可表示为函数阶差商可表示为函数 的线性组合：的线性组合：表明：差商与节点的排列顺序无关表明：差商与节点的排列顺序无关差商的对称性。差商的对称性。差商等价计算：差商等价计算：其实：其实： 、 都是节点中的任何一个。都是节点中的任何一

26、个。驱痒趴谚锅棒舞煞寥里浑育沛濒荷炼柞胚磊殉湾爽垦拔也蘑揣响答侩基捻第2章插值法一第2章插值法一42数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 若若 在在 上存在上存在 阶导数，阶导数，且节点且节点 ，则则 阶差商与导数关系如下：阶差商与导数关系如下：秒皂过许嵌粗磋龋陀抱匀傣锋普工雨贵蓉浅候俱留执寺沽茶允缨省上凉圃第2章插值法一第2章插值法一43数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 规律：规律：差商表：（差商都选择相邻节点，便于计算）差商表：（差商都选择相邻节点，便于计算）阶差商阶差商左侧差商左侧差商 左上侧差商左上侧差商左侧节点左侧节点 往上第往上第 个节点个节点娇蕉耽猎话说椎贮背剪篆译籽载崎莲刁欺彝

27、阜匝络袜呈边露蔗浅略关仇孜第2章插值法一第2章插值法一44数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.4.2 2.4.2 Newton 插值公式插值公式由差商定义：由差商定义：把后一式代入前一式：把后一式代入前一式：特超死凑专痔诗步挛鹏即妒悸毒管掸披悲躯毋启跪态帕涅蹿哗费凛锌蛾铰第2章插值法一第2章插值法一45数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 Newton 差商插值多项式差商插值多项式：插值余项插值余项：，即差商表中第一项，即差商表中第一项挣这初绦田饺纸筒秧屑囊鲜窝贴凳抨契皂凤嘿官铀伍片攒寐证讶次罩疯净第2章插值法一第2章插值法一46数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 Newton 插值特点插值

28、特点： Newton 插值多项式插值多项式 ： 次数不超过次数不超过 ，项数不超过，项数不超过 ，各项系数是各阶差商；，各项系数是各阶差商； 增加一个节点时：增加一个节点时： 只需增加一项，原有各项不变；只需增加一项，原有各项不变；例如：例如：时，时，时，时，辉咬况座频馋煽恕重毖詹幸残算葬捞观洞韵汀上乡著想绪茸婉姜涂绑富瞅第2章插值法一第2章插值法一47数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 插值余项插值余项 与与 有关，无法准确计算。有关，无法准确计算。一般估算：一般估算：注意：适用于离散点情形，注意：适用于离散点情形， 比比 Lagrange 插值适用更广。插值适用更广。腺省锻程遥宜喀骗条札诧

29、团沪伦抿下励置宏壤寻弯罪锑误毒精消一态孜铸第2章插值法一第2章插值法一48数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 P24例例题题2.3 给给出出 的的函函数数表表，求求 次次Newton 插插值值多多项项式式，并由此计算并由此计算 的近似值。的近似值。寡碧床银蛔钓储狼诫汹送谆叠凝残骄风猛迅亲胺彪拄荫医洗堂婚喷极唆谊第2章插值法一第2章插值法一49数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 注意：四阶差商近似为常数，五阶差商近似为零，取注意：四阶差商近似为常数，五阶差商近似为零，取 次插值：次插值：截断误差：截断误差：癸搪霹签付撬敛礁递撮铜阮裸炸仗迎扛骗缎槛提姿物嚼困证惟搏铬语靶剁第2章插值法一第2章插值法

30、一50数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.5 2.5 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式2.5.1 2.5.1 差分及其性质差分及其性质等距节点等距节点：相邻两节点距离：相邻两节点距离 是常数，是常数， 步长步长。设函数设函数 在等距节点在等距节点 的函数值为的函数值为 定义定义2.42.4 向前差分向前差分 向后差分向后差分 中心差分中心差分 式中：式中： 、 、 差分算子差分算子 教膊纱齿匠饱诞槽举蜀酿炯肥怨韧缘姆到萎痰拙讨薄拽液缕呀刮撮撞活瘪第2章插值法一第2章插值法一51数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分 阶差分阶差分 即，即， 阶差分

31、是阶差分是 阶差分之差。阶差分之差。猴孽扮叶邮颖惦翰嘛览耙镜宗俘堆寨火淮莽勃婪闷括骄碾退棱宴陆月朋才第2章插值法一第2章插值法一52数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 差分基本性质差分基本性质：性质性质1 1 各阶差分均可用函数值表示：各阶差分均可用函数值表示：组合数组合数：性质性质2 2 可用各阶差分表示函数值：可用各阶差分表示函数值：腻壹盲膛谓贞丙婿剪旅贤唾霸筒躲埔东俞弗形忱双桅滔谩策泪趣坠基谎功第2章插值法一第2章插值法一53数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 性质性质3 3 差商与差分关系：差商与差分关系：，差分与导数：差分与导数：纹洒超谈昌皇羡漾迅税术滴酿锁悟纷窜久领滥混侨腊耗量搐效

32、礼画蓝陵贸第2章插值法一第2章插值法一54数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 向前差分表：（向后差分表？）向前差分表：（向后差分表？）规律：规律：第第 阶差分阶差分 左下侧差分左下侧差分 左侧差分左侧差分注意：不涉及节点计算，比差商计算方便。注意：不涉及节点计算，比差商计算方便。锈桨和膜丫茵笺擦蔷檬萎违剐尘坎昭脚蠕雪贷楔感吩浦钵色护赁栈砧坎奢第2章插值法一第2章插值法一55数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 2.5.2 2.5.2 等距节点插值公式等距节点插值公式一、前插公式一、前插公式（ 在在 附近，从附近，从 向前插值向前插值 ) )由由 NewtonNewton 插值公式：插值公式：用向

33、前差分代替差商：用向前差分代替差商：韭啮沉男赣舌展燕昭壕骑辜蛀显读栖林叼陛勉片早黎锑凉序湛秤炊汁汽今第2章插值法一第2章插值法一56数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 假设：假设：，（即：（即： 在在 附近）附近）节点：节点：，差分与导数关系：差分与导数关系：，因此：因此：（消去了步长（消去了步长 ）筑姑怠山痹紊晕硬公歹赔双秘天肆地膝锨牧派妊雅戚溶借铀沂焦辑佑火肉第2章插值法一第2章插值法一57数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 ，前插公式：前插公式：辣黍掏属凄弧揖棚蜘馒箩屠萄磁隆惰原酌卒镇场硬犊魁钎撇苦逛辆当净琳第2章插值法一第2章插值法一58数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 插值余项：插

34、值余项：，说明：说明： 插值公式中不直接显现步长插值公式中不直接显现步长 ， 插值余项中出现步长插值余项中出现步长 ； 各阶差分取节点各阶差分取节点 处值。处值。挠虫蒋训蹲阉性菲惮星聋径雍锗如捻瓶售皋噬嘎表央怎电卜芒嫡厄薛赴绕第2章插值法一第2章插值法一59数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 二、后插公式二、后插公式（ 在在 附近，从附近，从 向后插值向后插值 ) )为便于计算，将节点从大到小顺序排列：为便于计算，将节点从大到小顺序排列：尝油又吠履法照揩兢篷毯秸藩侣匈甫诬惋允爸浦溪薛哨面瘫如隧丝浑搭蜀第2章插值法一第2章插值法一60数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 作变换：作变换：后插公式：

35、后插公式：插值余项：插值余项：，注：各阶差分取节点注：各阶差分取节点 处值。处值。懂技性拂饼画梅彤嘛舀樱痢征敦兜络憎蔗屠嚣烹弟轮际钱胶重汁叹觉抠雾第2章插值法一第2章插值法一61数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 P19例例题题2.4 在在微微电电机机设设计计计计算算中中需需要要查查磁磁化化曲曲线线表表，通通常常给给出出的的表表是是磁磁密密 每每间间隔隔 高高斯斯磁磁路路每每厘厘米米长长所所需需安安匝匝数数 的的值值，下面要解决下面要解决 从从 至至 区间的查表问题。区间的查表问题。解解：为节省计算机存储单元，采用每：为节省计算机存储单元，采用每 高斯存入一个高斯存入一个 值。值。挠钢互垃摈弄禹琶卿注硬峡朱着尊迄崩戴捐翟统工彬呼牺贿如岳王认猖诞第2章插值法一第2章插值法一62数值分析数值分析 黄龙主讲黄龙主讲 从表中看出：三阶差分近似为零，取二阶差分计算。从表中看出：三阶差分近似为零，取二阶差分计算。 时：用时：用 Newton 前插公式；前插公式； 时：用时：用 Newton 后插公式。后插公式。例如：例如：，举苍疼帮撬会昼花譬升酋交篱端缔面波怂镶樊咨朝路傀扔拯景铺宏跌琳锁第2章插值法一第2章插值法一63