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1、名师精编优秀教案一、 E3中的曲线论.3)(),(),()(),(:Etztytxtrbatr0)( ),( ),( ),( ()( trtztytxtr时,)(tr称为正则的。定义弧长:0222( )| ( )| ,|( )| ( ) ( ) ( ).ts trt dtrtxtytzttRemark :弧长与参数的选择无关(即不依赖于参数的选择) 。事实上,设)(,0)( ),( 00utuut。则( )( ( ),( )( ( )( )( ),rr urudrurududr dtrtudt du以 u 为参数的弧长 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
2、 - - - - -第 1 页,共 16 页名师精编优秀教案)(|)( |)( | )( | )( )( |)( |)(0000tsttdttrduuuutrduuuutrduuuurus以 t 为参数的弧长。当以弧长为参数时,|,)( |)(srdsdsdstds即1|)( |sr。设曲线),()(tshtchttr,chttrchtshttr2|)( |),1 ,()( , 显然该曲线不是以弧长为参数。为研究曲线的弯曲情况,首先介绍曲线的曲率。对于不同的曲线其弯曲程度可能不同,如半径较大的圆弯曲程度较小,而半径较小的圆弯曲程度较大。从直观来看,曲线弯曲程度较大时,其切向量方向的改变也较快,
3、可以用曲线的切向量对弧长的旋转速度来刻划曲线的弯曲程度。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页名师精编优秀教案曲线)(sr以弧长 s为参数,故1|)( |)( |ssrsr。|2sin|2|2sin|)( |2|)( )( |srsrssr00|sin| ()( )|2|2|sin| ()( ) |2limlim(|( )|)|2ssrssrsssrssrsrsssksr|:)( |曲率。例1、直线:vuvussr,)(为常向量,.0, 1|ku例2、圆:.1),0 ,sin,cos()(akasaasasr对于一般参
4、数t, ),(),(),()(tztytxtr则:.|)( |)( )( |)(3trtrtrtk挠率 : 当空间曲线不是平面曲线时,即有扭曲时,考虑扭曲程度,即曲线偏离平面的程度。ssrsT),( )(为弧长参数。设kskNsT),()( 为曲率,)(sN为主法向量。设),()()(sNsTsB则)(sB也为单位向量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页名师精编优秀教案.0000TBBTBTBTBTBT而.01|BBBBB于是,./NTBB故设),()()( sNssB称)(s为曲线的挠率。例 求圆柱螺线),sin
5、,cos()(shsrsrsr的曲率和挠率,h和2122)(hr是常数。ssr, 1|)( |为弧长。),0,sin,(cos)( ),cos,sin()( )(2ssrsThsrsrsrsThsrsk22)()(均为常数。可得到:ssrsrsrsrs,|)( |)( ),( ),( ()(2为弧长参数。若以 t 为参数:.|),()(2223322dtrddtdrdtrddtrddtdrt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页名师精编优秀教案例 求圆柱螺线),sin,cos(baar的曲率和挠率,).,(.2222b
6、abbaak定理曲线的弧长、曲率及挠率是运动的不变量。即设 曲线,)(),(),()()(),(),()(1111tztytxtrtztytxtr且321321111,bbbbbbzyxAzyx为常数向量。A 为正交矩阵,且1| A运动,0| A仿射变换,1| A镜面反射。A=I ( 单 位 矩 阵 ) 为 平 移 变 换 ,cossin0sincos0001A时为旋转变换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页名师精编优秀教案因,111dtdzdtdydtdxAdtdzdtdydtdx|)( | )( | )( |)
7、( ),( )( )( )( )( )( )( ()( ),( )( ),( |)( |121121trtrtrtrtrtrtrtArAtrtArtArtArtArtrtrtr因222222212212212111,dtzddtyddtxdAdtzddtyddtxddtdzdtdydtdxAdtdzdtdydtdx,|,|222121dtrddtrddtdrdtdr,故).(|)(|)(|)(0011tsdtdttdrdtdttdrtstttt同理11kk略(作业)。3 Frenet 公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共
8、16 页名师精编优秀教案由前面曲线:),(),(),()(szsysxsrs为弧长参数 . 切向量:).( )(srsT).()()(),()()( ),()()( sNsTsBsNssBsNsksTBkTkTBBkNNTkNBTNssTsBsTsBsNsTsBsN)()( )()()( )( )()()(于是得:BNTBBNTkNBNkTT00000.00000BNTkkBNT对于曲线)(sr在每点 s处,)(),(),(sBsNsT两两单位正交,称)(),(),();(sBsNsTsr为曲线在 s处的 Frenet 标架。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
9、- - - - - -第 7 页,共 16 页名师精编优秀教案应用:例 设)(sr为单位球面2S上的一条曲线,s 为弧长参数,,k均不为零。则.)1()1(1BkNkr证:设)(,srcBbNaTr在2S上,则,0)()( , 1|)(|srsrsr即.0)(srT故aTcBTbNTaTTr0又, 0)(TTsrT即.11)()(kNrsNsrk故.1kbbNr对上式两边求导:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页名师精编优秀教案0)(0)1(TrBrTkrBkTrNrNTNrBkTNBkTNNBkTNTBTBNTBN
10、kbNrNr,1)1(kBr故,1)1(kcBr故.1)1(1)(BkNksr证毕。4 曲线在一点邻近的性质由 Tayler 展开:).()0( ! 3)0( ! 2)0( )0()(332sorsrssrrsr因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页名师精编优秀教案).()()( )( )0()0( sNsksTsrTTr(0)(0)(0)(0)( ) ( ) ( )( )( )( )(0),rTkNkNrsrsk s N sk s N skkTBBkNkTkBTkkNkr)0()0()0()0()0()0()0(
11、)0( 2代入得:),(! 3! 2)0()(3232soBkNkTkskNssTrsr).()0(! 3)0() ! 3! 2()0()! 3()0()(333223soBksNksksTkssrsr若以)0(),0(),0(,0BNTp为新生坐标系,则坐标分量为:)(62)(6332323soksksysokssx).(633soksz当0s时,只取上述每项中的第一项得:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页名师精编优秀教案Tsx,方向,Nsky,22方向,Bskz,63方向。曲线在0s附近在个平面上的投影:22
12、skysx,密切平面。36skzsx,从切平面(0) 。3262skzsky,法平面(0) 。5 曲线论基本定理曲线:).(sr直线:.0k平面曲线:.0, 0k螺线:k常数 .(例 P4的圆柱螺线,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页名师精编优秀教案hrk常数) 。定理设函数)(, 0)(ssk均为( a,b)上连续可微函数,则存在以弧长s 为参数的正则曲线),(sr使得)(sr以)(sk为曲率,)(s为挠率的曲线。证明: 用到解常微分方程组的问题,即要解.NdsdBBkTdsdNkNdsdTTdsdr二、 E3
13、中的曲面1 32),(),(),(),(:EvuzvuyvuxRDvur即),(),(),(),(vuzvuyvuxvur称为 E3中的二维曲面,(u,v)为参数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页名师精编优秀教案例如,椭球面1222222czbyax可以表示为)sin,sincos,coscos(),(vcuvbuvsavur,锥面0222222czbyax可以表示为),sin,cos(),(cvubvuavvur,单叶双曲面1222222czbyax可以表示为),sin,cos(),(cshuvbchuvac
14、huvur。当),()(.00vurvrconstuu成 为 一 条 曲线,称为 v-曲线。同样,当),()(.00vururconstvv为 u-曲线。在0p点),(000vup,在0p处定义:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页名师精编优秀教案,|,|),(),(),(),(0000vuvuvvuvuuvrrurr分别为两条参数曲线)(),(vrur在0p处的切向量。若vurr ,线性无关,则0vurr,称这样的曲面为正则曲面。切向量、切平面:曲面 S:S 上曲线 c:0,),(),()(pbattvturtr
15、处.0ttdtdvrdtdurdtdvvrdtduurdttdrvu)(,即曲线c 的切向量dttdr)(可由vurr ,线性表出。反之,设切向量:,uvcrr为常数。则,设0000( )()( )(),u tuttv tvtt则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页名师精编优秀教案,)(),()(),()(0000ttvtturtvturtr则( )uvdr trrcdt,即给定了一个切向量, 就存在 S 上以此向为切向量的曲线。定理曲面 S上所有过0p点的曲线的切向量构成一个二维线性空间,称这个空间为切空间,记为
16、vuprrT,0为0pT的一组基,0pT中的过0p点的向量称为切向量。在切空间中定义内积:babaTbap:),(.,0设,:vvvuuurrGrrFrrEvuvuvurrrrrr,cos|故.0vuvurrrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页名师精编优秀教案法向量:若在点, 0,vurrp则称其为曲面S(surface)的法向量。称|vuvurrrrn为 S 的单位法向量。例 设曲面).0,(),(yxyxr(平面)则).1,0,0(1001,0010,0100),0, 1 , 0(),0, 0, 1(yxyxrrrr故).1, 0,0(|vuvurrrrn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页