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1、第六章第六章 FIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质数字滤波器的性质数字滤波器的性质F FIRIR滤波器的窗函数设计滤波器的窗函数设计滤波器的窗函数设计滤波器的窗函数设计FIRFIR滤波器频率采样法设计滤波器频率采样法设计滤波器频率采样法设计滤波器频率采样法设计F FIRIR数字滤波器的等波纹优化设计数字滤波器的等波纹优化设计数字滤波器的等波纹优化设计数字滤波器的等波纹优化设计1第六章第1讲1 FIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质【问题的引入问题的引入问题的引入问题的引入】IIR数字滤波器数字滤波器优点优点：能借助模拟滤波器已有成果设计； 简单方
2、便缺点缺点：相位非线性FIR数字滤波器数字滤波器优点优点：严格线性相位；系统十分稳定（传输函数为全零点型）；进行滤波时可采用FFT缺点缺点：幅度特性较差；设计繁琐版权所有版权所有 违者必究违者必究2第六章第1讲1 FIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质l l线性相位特性线性相位特性线性相位特性线性相位特性设FIRFIR系统的单位脉冲响应为实序列 （长度为N），则其Z变换为：显然为关于 的 N-1阶多项式，它在Z平面上有N-1个零点、在原点有 N-1个重极点。由第四章第3节知，若 满足下面的 “ 偶对称偶对称 ” 或 “ 奇对称奇对称 ” 条件：则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性线性相位特性
3、。版权所有版权所有 违者必究违者必究3第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质 下面推导下面推导下面推导下面推导FIRFIR滤波器的线性相位特性滤波器的线性相位特性滤波器的线性相位特性滤波器的线性相位特性 偶对称情形偶对称情形版权所有版权所有 违者必究违者必究4第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质其求和项全为实数其求和项全为实数则：显然：幅度函数是标量函数，可正可负；相位函数是幅度函数是标量函数，可正可负；相位函数是 的的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性。版权所有版权所有 违者必究违者必究5第六
4、章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质奇对称情形：奇对称情形：版权所有版权所有 违者必究违者必究6第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质显然：相位特性同样为一相位特性同样为一严格的直线，但在零点处严格的直线，但在零点处有有 的截距。的截距。则：幅度特性幅度特性相位特相位特性性版权所有版权所有 违者必究违者必究7第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质结论：结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，等于等于 个抽样间隔。个抽样间隔。l l线性相位线性相位线性相位线性相位FIRFIR滤波器的幅频特性
5、滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性滤波器的幅频特性分四种情况讨论分四种情况讨论情形情形1 1：偶对称，：偶对称，N N取奇数取奇数的各项相对于 对称的项相等。版权所有版权所有 违者必究违者必究8第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质将相等项合并，因N为奇数，余中间项令 ，则：改改换换记记法法其中版权所有版权所有 违者必究违者必究9第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质 该类滤波器适合于设计任何关于该类滤波器适合于设计任何关于 为偶对称为偶对称特性频率的滤波器。特性频率的滤波器。 对 皆为偶对称，所以幅度函数 对 也是偶对称。情形情形2 2：偶对称，：偶对称
6、，N N取偶数取偶数与情形情形1 1推导相同N为偶数，余项令 ，得：版权所有版权所有 违者必究违者必究10第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质改改换换记记法法其中因此这种情况不适合做在因此这种情况不适合做在 处不等于零的滤波处不等于零的滤波器，如高通滤波器。器，如高通滤波器。特点：特点：当 时， ，故 ，即 在 z = -1 为零点，且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。版权所有版权所有 违者必究违者必究11第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质情形情形3 3：奇对称，：奇对称，N N为奇数为奇数上式表明，当 时， ，相当于 在 z =1和z =
7、 -1有两个零点，并且由于 对 呈奇对称，因而 对 也呈奇对称。这种情况不适合做在这种情况不适合做在 处为偶对称的滤处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。波器，如低通和高通滤波器。推导方法与前面类似，可得： 对 为奇对称，版权所有版权所有 违者必究违者必究12第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质情形情形4 4：奇对称，：奇对称，N N为为偶数偶数这种情况不适合做在这种情况不适合做在 处为偶对称的滤波器，处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。如低通滤波器。上式表明：当 时， ，相当于 在z=1处有一个零点；并且由于 对 呈奇对称、对 呈偶对称，因而 也对 呈奇对称、对 呈偶对
8、称。版权所有版权所有 违者必究违者必究13第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质下表给出了上述4种类型的线性相位滤波器的相位响应相位响应、时时域幅度响应域幅度响应和频域幅度响应频域幅度响应的示意图。版权所有版权所有 违者必究违者必究14第六章第1讲l l线性相位线性相位线性相位线性相位FIRFIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性滤波器的零点特性滤波器的零点特性F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质 偶对称取偶对称取“” ” 奇对称取奇对称取“”设 是 的零点，则 也是 的零点。当 为实数时， 为实系数的多项式，此时 应是共轭成对的，则 也是零点。对于一个实线性相位对
9、于一个实线性相位FIRFIR滤波滤波器，其零点相对于单位圆镜像器，其零点相对于单位圆镜像共轭成对。共轭成对。版权所有版权所有 违者必究违者必究15第六章第1讲F FIRIR数字滤波器的性质数字滤波器的性质l lFIRFIR滤波器的性能特点滤波器的性能特点滤波器的性能特点滤波器的性能特点FIRFIR滤波器的主要优点滤波器的主要优点FIR滤波器能严格做到线性相位或群延时为常数，而IIR滤波器只能逼近线性相位；FIR滤波器是全零点型滤波器，总是稳定的，不会因滤波运算的舍入误差而产生极限环振荡现象。 对同样幅度相应的滤波器，用FIR滤波器实现比用IIR滤波器实现需要较高的节数，多达5-10倍。 当滤波
10、器的特性要求较高时，用FIR滤波器来实现，滤波过程需要较多的计算时间。FIRFIR滤波器的主要缺点滤波器的主要缺点版权所有版权所有 违者必究违者必究16第六章第1讲2 FIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法设滤波器要求的理想频响特性为 , 则FIR滤波器的设计问题就在于：寻求某一系统函数 ，使该系统频响特性 逼近 ；若要求FIR滤波器具有线性相位特性线性相位特性，则 必须满足上节所述的奇对称或偶对称条件。l l“ “线性相位线性相位线性相位线性相位FIRFIR滤波器滤波器滤波器滤波器” ”的常用设计方法的常用设计方法的常用设计方法的常用设计方法窗函数法（傅立叶级数法）窗函数法（傅立
11、叶级数法）、频率采样法频率采样法、等波纹最等波纹最佳逼近法佳逼近法版权所有版权所有 违者必究违者必究17第六章第1讲l l窗函数设计的基本方法窗函数设计的基本方法窗函数设计的基本方法窗函数设计的基本方法F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法1 1、设计思想、设计思想 在时域，设计在时域，设计 逼近理想逼近理想设理想滤波器的单位脉冲响应为 ，则：若 给定，即可求得 。但所求得的 为无限长且非因果。显然：显然：要得到一个“因果的有限长的滤波器因果的有限长的滤波器 ”，最直接的方法是截断 ，即用一个窗口函数 对 进行加窗处理，也就是： 选择窗口函数的形状和长度选择窗口函数的形状和
12、长度是窗函数法的关键。版权所有版权所有 违者必究违者必究18第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程为一 “ 以 为对称中心的、偶对称的、无限长的、非因果序列 ” 。设理想低通滤波器的频率响应 为：其中 为滤波器的截止频率； 为时延常数 单位脉冲响应为：版权所有版权所有 违者必究违者必究19第六章第1讲理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取版权所有版权所有 违者必究违者必究20第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法要
13、得到有限长的 ，最简单的方法是用一长为 的矩形窗 截断 。按照线性相位滤波器的要求， 必须偶对称，如上图。对称中心必须等于滤波器的延时常数2 2、吉布斯（、吉布斯（GibbsGibbs）效应）效应频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换矩形窗截取后滤波器的频率响应为：该式为有该式为有限项，限项，N N越大，误差越越大，误差越小。但对矩形窗截小。但对矩形窗截取还存在取还存在“吉布斯吉布斯（GibbsGibbs）效应）效应”，这将使滤波器的，这将使滤波器的特性很差。特性很差。版权所有版权所有 违者必究违者必究21第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法下面从频域卷积的角度来
14、分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应设矩形窗的频率响应为 为矩形窗的幅度响应。如下图版权所有版权所有 违者必究违者必究22第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法主瓣主瓣旁瓣旁瓣旁瓣旁瓣版权所有版权所有 违者必究违者必究23第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法将理想低通滤波器的频率响应 表示为：若用代表所设计的低通滤波器的幅度响应，则:可见：设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积应与理想低通滤波
15、器的幅度响应的卷积（过程见下图）版权所有版权所有 违者必究违者必究24第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法矩形窗的卷积过程矩形窗的卷积过程版权所有版权所有 违者必究违者必究25第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了以下两点影响：加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了以下两点影响： 使理想频率特性不连续点=c 处，形成了一个过过渡带渡带，过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应WR()的主瓣宽度= 4/N 在截止频率c的两边=c 2/N 处（即过渡带 的两边），H()出现最大的肩峰值最大的肩峰值，肩峰的两
16、侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于WR()波动的快慢。若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为： 随着x加大，函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。 这个相对比例由sinx/x决定, 即由矩形窗函数的形状决定。 版权所有版权所有 违者必究违者必究26第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法因而，当长度N增加时，只会减小过渡带宽(4/N )，而不会改变肩峰的相对值。 在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，增加时，4/N减小，起伏
17、振荡变密，但最大肩峰则总是减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是8.95%，这就是吉布斯这就是吉布斯(Gibbs)效应效应。 由于窗谱肩峰的存在，影响到H()通带的平坦和阻带的衰减，使阻带最小衰减只有21dB左右，因此在实际中，矩形窗很少采用。 为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用其他类型的窗函数 ，对 进行加窗处理。 版权所有版权所有 违者必究违者必究27第六章第1讲l l常用窗函数常用窗函数常用窗函数常用窗函数F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法1 1、三角形窗、三角形窗(Bartlett Window)(Bartlett Window)其频率响应为：主瓣宽度
18、为：版权所有版权所有 违者必究违者必究28第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法其频率响应 和幅度响应 分别为： 是三项矩形窗的幅度响应 的移位加权和，它使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩形窗的主瓣加宽了一倍，为2 2 2 2、汉宁、汉宁、汉宁、汉宁( ( ( (HanningHanningHanningHanning) ) ) )窗，又称升余弦窗窗，又称升余弦窗窗，又称升余弦窗窗，又称升余弦窗版权所有版权所有 违者必究违者必究29第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法其幅度响应为：同汉宁窗的主瓣宽度 相同，但旁瓣幅
19、度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%3 3、汉明、汉明(Hamming)(Hamming)窗，又称改进的升余弦窗窗，又称改进的升余弦窗版权所有版权所有 违者必究违者必究30第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法其窗函数中包含有余弦的二次谐波分量，幅度响应为：通过加入余弦的二次谐波分量，可进一步降低旁瓣，但其主瓣宽度变为4 4、布莱克曼、布莱克曼( (BlankmanBlankman) )窗，又称二阶升余弦窗窗，又称二阶升余弦窗版权所有版权所有 违者必究违者必究31第六章第1讲下图为N=31时，矩形窗矩形窗、三角窗三角窗、汉宁窗汉宁窗、汉明窗汉明窗及布莱布莱克曼克曼
20、这5种窗口函数的包络曲线F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法版权所有版权所有 违者必究违者必究32第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法下图为N=51时矩形窗矩形窗、汉宁窗汉宁窗、汉明窗汉明窗及布莱克曼布莱克曼4种窗口函数的幅度响应版权所有版权所有 违者必究违者必究33第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法下图为N=5时用矩形窗矩形窗、汉宁窗汉宁窗、汉明窗汉明窗及布莱克曼布莱克曼设计的低通滤波器的幅度响应版权所有版权所有 违者必究违者必究34第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方
21、法5 5、凯泽、凯泽(Kaiser)(Kaiser)窗窗是一个可选参数，用来选择主瓣宽度和旁瓣衰减之间的交换关系，一般说来， 越大,过渡带越宽，阻带越小衰减也越大。I I0 0( () )是第一类修正零是第一类修正零阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数一般取1525项就可满足精度要求。版权所有版权所有 违者必究违者必究35第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法若阻带最小衰减表示为As=-20lgs，的确定可采用以下经验公式：凯凯泽泽窗窗版权所有版权所有 违者必究违者必究36第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法滤波器通带和阻带波纹相等即p =
22、s时，滤波器节数可通过下式确定：p、s分别为数字低通滤波器的通带边频与阻带边频版权所有版权所有 违者必究违者必究37第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法l l几种常用的理想滤波器几种常用的理想滤波器几种常用的理想滤波器几种常用的理想滤波器1、理想高通滤波器、理想高通滤波器频率响应：单位脉冲响应：版权所有版权所有 违者必究违者必究38第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法频率响应：单位脉冲响应：2 2、理想带通滤波器、理想带通滤波器版权所有版权所有 违者必究违者必究39第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数
23、设计方法频率响应：单位脉冲响应：3 3、理想带阻滤波器、理想带阻滤波器版权所有版权所有 违者必究违者必究40第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法和低通时的情况一样，为了得到有限长的 ，需用一长为N的窗函数 截断 。 按照线性相位滤波器的要求， 必须是偶对称的，并且滤波器的时延常数因线性相位滤波器的幅度响应为：相位响应为：同时为了保证高通、带阻滤波器的可实现性，N必须为奇数，这样,就必须为整数.版权所有版权所有 违者必究违者必究41第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法频率响应： 幅度响应：相位响应：4、理想线性相位线性差分滤波器
24、、理想线性相位线性差分滤波器由于线性差分滤波器的幅度随频率作线性变化，在w=0 处为奇对称。为实现线性相位的特性，其单位脉冲响应为奇对称且节数N为奇数。即：版权所有版权所有 违者必究违者必究42第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法希尔伯特变换器的频率响应：单位脉冲响应：5、理想线性相位希尔伯特（、理想线性相位希尔伯特（Hilbert）变换器）变换器对于 的有限长N的实现，为了获得线性相位的特性，其单位脉冲响应必须具有 的延时，为了保证 为整数， N必须奇数 。版权所有版权所有 违者必究违者必究43第六章第1讲此时实际的相位响应为：F FIRIR滤波器的窗函数设
25、计方法滤波器的窗函数设计方法版权所有版权所有 违者必究违者必究44第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法l l窗函数法小结与实例窗函数法小结与实例窗函数法小结与实例窗函数法小结与实例若得不到 封闭式或不能用上式计算 时，可对 在 到 间等间隔采样M，用下式代替上式的积分利用窗函数设计利用窗函数设计FIRFIR滤波器的过程可总结如下：滤波器的过程可总结如下： 利用 ， 由给定的滤波器的幅频响应参数求出理想的单位脉冲 响应 。版权所有版权所有 违者必究违者必究45第六章第1讲F FIRIR滤波器的窗函数设计方法滤波器的窗函数设计方法当M足够大时，就可保证能足够好的逼
26、近按照频率采样定理， 与 的关系为： 按允许的过渡带宽度及阻带衰减 ，选择合适的窗函数，并估计节数N：其中A由窗函数的类型决定。 确定延时值 （即滤波器的对称中心） 求 必要时验算频率响应：版权所有版权所有 违者必究违者必究46第六章第1讲典典 型型 例例 题题l l例例例例1 1设计一线性相位设计一线性相位FIRFIR数字低通滤波器数字低通滤波器, ,截止频率截止频率 ，过渡带宽度，过渡带宽度 ，阻带衰减，阻带衰减 dBdB。解：解： 选择窗函数，估计节数 N。仅从要求阻带衰减 dB来说，可选择汉汉宁窗宁窗、海明窗海明窗、布拉克曼布拉克曼窗窗或凯凯塞窗塞窗等，若再考虑从滤波器节数最小的原则出
27、发，可选择汉汉宁窗宁窗或海明窗海明窗。 亦可取N=21，这时实际的过渡带宽将为：版权所有版权所有 违者必究违者必究47第六章第1讲典典 型型 例例 题题 确定延时值 采用汉宁窗 ，求得： 求频率响应 版权所有版权所有 违者必究违者必究48第六章第1讲典典 型型 例例 题题显然：显然：在通带范围内其相位为在通带范围内其相位为线性相位线性相位的；的； 在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。在阻带，滤波器满足了所要求的衰减特性。 幅幅频频响响应应相相频频响响应应版权所有版权所有 违者必究违者必究49第六章第1讲l l例例例例2 2典典 型型 例例 题题用凯塞窗函数设计一线性相位FIR数字高通滤波器，
28、截止频率 ，阻带边频 ，外阻带衰减 不小于60 dB。 确定节数 N，由式（6216），可求得： 再求得节数N：对于高通滤波器，N必须为奇数，故取N=27解：解：版权所有版权所有 违者必究违者必究50第六章第1讲 确定延时值 计算理想高通的单位脉冲响应: 求高通数字滤波器的单位脉冲响应： 计算凯塞窗函数，将所求 和N值代入下式即可典典 型型 例例 题题版权所有版权所有 违者必究违者必究51第六章第1讲典典 型型 例例 题题幅幅频频响响应应相相频频响响应应版权所有版权所有 违者必究违者必究52第六章第1讲l l例例例例3 3典典 型型 例例 题题分别用矩形窗和布拉克曼窗设计一个线性相位的希尔伯特
29、变换器，取N=29。解解： 计算对称中心： 按式（6-2-9）计算理想希尔伯特变换器的 单位脉冲响应 计算实际希尔伯特变换器的单位脉冲响应 分别取矩形窗和按式（6-2-14a）计算关于对称的按布拉克曼窗；从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点是十分简单实从以上的分析和例子可见窗口法设计的最大优点是十分简单实用，其频域特性容易满足要求。用，其频域特性容易满足要求。缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频率往往不能严缺点是在大多数情况，设计所得的频响的边界频率往往不能严格控制，同时等波纹最佳设计相比，由窗函数法设计的滤波器格控制，同时等波纹最佳设计相比，由窗函数法设计的滤波器长度往往较大。长度往往较大。版权所有版权所有 违者必究违者必究53第六章第1讲典典 型型 例例 题题用矩形窗设计的希尔伯特变换器（用矩形窗设计的希尔伯特变换器（N=29N=29）版权所有版权所有 违者必究违者必究54第六章第1讲用布拉克曼窗设计的希尔伯特变换器（用布拉克曼窗设计的希尔伯特变换器（N=29N=29）典典 型型 例例 题题版权所有版权所有 违者必究违者必究55第六章第1讲
